基于IGOWFPA算子的组合预测模型

刘　攀，冯长焕

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充　637009)

0　引　言

由于社会经济现象的复杂性，单项预测方法难以全面地反映经济指标的所有信息。1969年，Bates将两种单项方法的预测结果加权组合，首次提出了组合预测模型[1]，其结果的均方误差比单项方法的均方误差更小。组合预测的实质是对多个单项方法的预测结果进行加权组合，学术界把这种组合的方式(或集成的形式)称为“集成算子”。早期的集成算子主要有加权算数平均(WAA)算子、加权几何平均(WGA)算子和加权调和平均(WHA)算子等[2-4]。

基于早期集成算子的组合预测模型都是对各单项方法的预测结果赋予不同的权重，同一单项方法在各个时刻的权重相同。但单项方法可能在某一个或几个时刻的预测精度较高，而在另外一些时刻的精度较低，则其组合预测模型的精度也可能较低。文献[2,5]考虑使用变权的方法将各个单项方法组合，提出了有序加权平均(OWA)算子和诱导有序加权平均(IOWA)算子。文献[3-4,6-7]在文献[2,5]的基础上进行了推广，提出了有序加权几何平均(OWGA)算子、有序加权调和平均(OWHA)算子以及诱导有序加权几何平均(IOWGA)算子和诱导有序加权调和平均(IOWHA)算子。文献[8-11]将集成算子与对数函数结合，提出了广义有序加权对数平均(GOWLA)算子、广义有序加权对数比例平均(GOWLPA)算子和诱导广义有序加权对数平均(IGOWLA)算子。文献[12]将集成算子与指数函数结合，提出了广义有序加权指数比例平均(GOWEPA)算子。

文献[8-12]的研究表明：与对数函数(或指数函数)结合可以有效提高集成算子组合模型的预测精度。笔者将文献[8-12]中的 “对数函数”和“指数函数”推广到一般函数。推理过程中发现：只要是在定义域上单调的函数，都可以与集成算子结合，并且基于结合后集成算子的组合预测精度比其单项方法的精度更高。本文将“一般的单调函数”与“加权比例平均算子”结合，提出加权函数比例平均(WFPA)系列算子，建立新的组合预测模型，并以5类常见的单调函数为例，进行了实例检验，效果较好。

1　WFPA系列算子的定义

(1)

(2)

若f′(a)≠0，f(a)≠0，则

(3)

要计算组合值a，需要f(x)存在反函数(即f(x)在定义域上单调)，此时

(4)

因此单调函数可以与“加权比例平均算子”结合。我们定义加权函数比例平均(Weighted function proportional averaging)算子：

(5)

(6)

则称F为加权函数比例平均算子，简记为WFPA算子。

根据文献[2-12]提出的几种“有序型”、“诱导型”、“广义型”集成算子，本文给出类似定义。

定义2若

(7)

其中bi是a1,a2,…,am中第i大的数，则称F为有序加权函数比例平均算子，简记为OWFPA算子。其他符号含义同上。

定义3设(〈v1,a1〉,〈v2,a2〉,…,〈vm,am〉)为m个二维数组，令

(8)

其中v-index(i)是v1,v2,…,vm中第i大的数的下标，则称F是由v1,v2,…,vm引导产生的诱导有序加权函数比例平均算子，简记为IOWFPA算子。其他符号含义同上。

定义4若

(9)

其中λ∈(-,0)∪(0,+)为参数，则称F为广义加权函数比例平均算子，简称为GWFPA算子。其他符号含义同上。

定义5若

(10)

则称F为广义有序加权函数比例平均算子，简称为GOWFPA算子。符号含义同上。

特别地，当f(x)=x时，GOWFPA算子退化为GOWPA算子[11]；当f(x)=lnx时，GOWFPA算子退化为GOWLPA算子[9]；当f(x)=ex时，GOWFPA算子退化为GOWEPA算子[12]。

定义6若

(11)

则称F是由v1,v2,…,vm引导产生的诱导广义有序加权函数比例平均算子，简记为IGOWFPA算子。符号含义同上。

特别地，取λ=1，GWFPA算子退化为WFPA算子。而OWFPA算子和IOWFPA是WFPA算子的特殊形式，GOWFPA算子和IGOWFPA算子是GWFPA算子的特殊形式。下面只研究GWFPA算子的性质，定义1—6中的其他算子也具有类似性质。

2　GWFPA算子的性质

(12)

(13)

(14)

λlnG(a1,a2,…,am)关于ai求导得：

(15)

若λ>0，式(15)≥0，所以λlnG(a1,a2,…,am)关于ai单调递增，从而F(a1,a2,…,am)关于ai单调递增；若λ<0，式(15)≤0，所以λlnG(a1,a2,…,am)关于ai单调递减，从而lnG(a1,a2,…,am)关于ai递增，F(a1,a2,…,am)关于ai单调递增。

(16)

(17)

性质3(幂等性)设F为GWFPA算子，若ai=a,i=1,2,…,m，则F(a1,a2,…,am)=a。

证明：若ai=a，则

(18)

性质4(有界性)设F为GWFPA算子，则

(19)

证明：根据性质1和性质3，有

(20)

3　组合模型

一般而言，基于诱导广义有序型集成算子的组合模型预测精度比基于其他算子(有序型、广义型、诱导性)的精度更高[4-5,10-13]，因此本文只基于IGOWFPA算子建立新的组合预测模型。

设某个指标序列的实际值为xt,t=1，2，…，n，存在m种单项方法对其进行预测，xit为第i种方法在第t时刻的预测值，vit为第i种方法在第t时刻的预测精度。

定义7令

(21)

(22)

整理得

(23)

为了使组合模型最优，以IGOWFPA误差平方和s最小为目标函数，建立最优化模型。其中

(24)

上式利用LINGO、MATLAB等软件可以计算各单项方法的权重，再根据式(21)可以求得IGOWFPA预测值。

4　实例分析

为了说明IGOWFPA算子的有效性，利用文献[13]中的数据进行验证，数据如表1所示。

表1　某指标的实际值与各单项方法预测值[13]

因为本文定义的IGOWFPA算子中的f(x)可以是任意在定义域上单调的函数，不失一般性且为了计算简便，分别取f(x)为一次函数、幂函数、对数函数、指数函数和反三角函数等5类中常见的单调函数进行验证。本文分别取f(x)=2x+1，x2,2x/10000，log2x，arctanx，arcsin(x/10000)。由于文献[8-13]中广义型集成算子的参数λ的取值均为1、2和3，为了便于比较，本文λ的取值也取1、2和3。

对表1的数据建立基于IGOWFPA算子的组合预测模型。为了检验模型的好坏，本文选择5种误差指标作为评价体系[4,10,13]：

具体结果如表2所示。

表2　单项预测方法和不同参数下IGOWFPA算子组合模型预测误差比较

表2显示，当f(x)为单调的一次函数、幂函数、对数函数、指数函数和反三角函数等时，基于IGOWFPA算子的组合预测模型的各项误差指标均明显小于单一模型的误差指标，并且在一定程度上比文献[13]的各项误差指标更小。

5　结　语

本文将与“加权比例平均算子”结合的“指数函数、对数函数”推广到一般的单调函数，提出了加权函数比例平均系列算子：WFPA算子、OWFPA算子、IOWFPA算子、GWFPA算子、GOWFPA算子和IGOWTA算子，研究了该系列算子的性质，建立了基于IGOWTA算子的组合预测模型，并以5类常见单调函数为例验证了该模型的有效性。

组合预测和组合决策是相互联系、相互发展的。文献[2,8-9,11-12]等是将集成算子用于多属性组合预策，本文提出WFPA系列算子也可以用于组合决策，相信也可以取得较好的效果。

从表2可以看出，不同参数下组合模型的预测效果不同。本文仅考虑了与文献[8-13]中参数的相同取值，其他取值情况没有考虑到。因此本文的λ可能不是最优的，如何寻找最优参数以及最优模型仍是今后研究的方向。

参考文献：

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