中学数学习题变式教学之我见

陆秀良

[摘  要] 承载着数学思想方法、解题技能技巧的习题变式教学能够更好地帮助学生运用数学思维考虑和解决问题并使之能力提升，教师在具体的习题变式教学中应注意控制变式的难易程度并鼓励学生主动参与，使学生能够在紧扣考纲的变式训练中获得知识的掌握、能力的提升与思维的拓展.

[关键词] 习题变式教学;原则;方法;条件特殊化;改变背景

承载着数学思想方法、解题技能技巧的习题变式教学能够更好地帮助学生运用数学思维考虑和解决问题并使之能力提升，但面对随处可得的教学资料，教师与学生往往在选择上都存在颇大难度.笔者以为，源于课本，并将其变式使之能够高于课本的习题不失为有意义的练习. 当然，教师始终不能忘记高考题源于课本的这一命题思想，应紧扣考纲落实有针对性的变式教学，使学生能够在加深基础知识理解与掌握的基础上不断提升自身数学学习所需的各方面素养.

习题变式教学的原则

首先，与新授课、习题课、复习课相互交融并存的习题变式教学与习题课的教学相比明显存在着较大的区别.习题变式教学单独成课的现象一般极为少见，习题变式教学在各类课型中的教学侧重也各有不同. 例如，在新授课的习题变式教学中，教师始终不能忘记其为本课教学目标达成而设计的目的;在习题课的习题变式教学中，教师又始终不能忽略数学思想、方法的适当渗透;在复习课的习题变式教学中，教师又要注意在数学思想方法渗透的同时适当进行纵向、横向的联系与拓展并使学生所掌握的知识体系更为丰满. 根据教学目标与学生现状而设计、落实的习题变式教学才能更好地促成教学目标的顺利实现，随意、盲目的习题变式有时甚至会适得其反.

其次，难易有度的变式才能令学生欣喜数学变化之余建立学习信心，过于简单的变式也会影响学生思维的质量，过于繁难的变式又会挫伤学生的学习积极性，因此，难易程度的把握在习题变式教学中也是极为重要的.

再次，学生主动参与的变式训练才能令其创新意识与精神大力发展，因此，教师应启发、引导、激励学生“变”并自主解决这些变化所带来的問题.

习题变式教学的方法

以具体习题为例进行如下方法的思考.

原题1：画出函数f（x）=x2-5x+6的图像，根据图像说出函数y=f（x）的单调区间以及函数y=f（x）在各单调区间上的增减性.

1. 条件特殊化

把原题中的一般条件改成具有特定性的条件并使题目变得特殊的方法即为这里所说的条件特殊化. 针对原题1，我们可以引导学生对题中条件进行挖掘并使其条件特殊化来考查特定的概念. 例如：

变式1：画出函数f（x）=x2-5x-6的图像，根据图像说出函数y=f（x）的单调区间以及函数y=f（x）在各单调区间上的增减性.

绝对值概念、一元二次方程均在这一变化中得到了考查，学生在一般到特殊的变化中也更易掌握知识.

2. 改变背景

在某些条件不变之时对另一些条件的形式进行改变并令问题深化的方法即为这里所说的改变背景.学生的探求欲望在习题形式的不断变换中也会得到大大的激发. 例如：

变式2：画出函数f（x）=x2-5x-6的图像，根据图像说出函数y=f（x）的单调区间以及函数y=f（x）在各单调区间上的增减性.

函数的图像、偶函数的定义与性质在这一变式中都得到了有效的考查.

变式3：求函数f（x）=x2-5x-6在区间[-3，5]上的最值.

学生可以通过画图或数学方法得出这样的变式，学生学习兴趣、成就感大大提升的同时也令基础知识与常规的解题方法得以更好地掌握.

原题2：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，若an-an-1=5，则数列{an}为等差数列，那么数列{an}的通项公式如何？

变式1：在数列{an}中，当n≥2时，若a1=1且an-an-1=n，则数列{an}的通项公式如何？

数列{an}中的常量d变成变量n之时已经不能称其为等差数列了，此时可以运用叠加法对数列{an}的通项公式进行探求. 方法如下：

因为n≥2时，

对变式1继续探索并进一步深化可得：

（1）若数列{an}满足a1=1，an-an-1=3n-1（n≥2），则数列{an}的通项公式如何？

变式2：在数列{an}中，当n≥2时，若a1=1，且an-can-1=d，则数列{an}的通项公式是怎样的？

解析：当c=1时，数列{an}为等差数列.

当c≠1，d=0时，数列{an}为等比数列.

当c≠1，d≠0时，数列{an}的通项公式可以借助构造等比数列的方法对其进行探求.

方法如下：

设an+1+λ=c（an+λ），得an+1=can+（c-1）λ.

变式3：在数列{an}中，若a1=1，且an+1-can=qn+1，则数列{an}的通项公式如何？

解析：当c=1时，形式与变式1相同，因此对数列{an}通项公式的求解也可以运用叠加法来解决.

当c≠1时，求解数列{an}的通项公式也可以运用构造等比数列的方法来解决，方法如下：

学生的数学学习兴趣在这样的变式训练中一定会大大提升，不仅如此，基础知识的掌握以及常规解题的熟练都会因为这样的变式训练而顺利实现.

注意事项

1. 源于课本且高于课本

教师在习题变式教学中应将经过专家学者多次编选后的这些精品习题进行精心的设计与挖掘，使学生在这些以课本习题为主的经典“源题”的不断变化中逐步提升灵活运用知识的能力.

2. 循序渐进且有的放矢

例如：一个动圆分别与圆C1：（x+2）2+y2=1、圆C2：（x-2）2+y2=9外切和内切，则动圆圆心M的轨迹方程应该怎样？

变式2：已知圆C1：（x+2）2+y2=1和圆C2：（x-2）2+y2=9，如果动圆M同时与C1，C2两圆相外切，那么该动圆的圆心M的轨迹是什么？

变式3：已知圆C1：（x+2）2+y2=1和圆C2：（x-2）2+y2=9，如果动圆M同时与C1，C2两圆相内切，那么该动圆的圆心M的轨迹是什么？

上述三个变式将一道比较经典的常规题一一进行了改变，学生在三个变式题中学会了利用圆锥曲线的定义对各轨迹进行探索与求解，这对于学生来说，无疑是更具创造性与挑战性的思维经历.

3. “变式”要有度

与新授课、习题课、复习课相互交融并存的习题变式教学与习题课的教学相比明显存在着较大的区别. 习题变式教学单独成课的现象一般极为少见，习题变式教学在各类课型中的教学侧重也各有不同. 例如，在新授课的习题变式教学中，教师始终不能忘记其为本课教学目标达成而设计的目的;在习题课的习题变式教学中，教师又始终不能忽略数学思想、方法的适当渗透;在复习课的习题变式教学中，教师又要注意在数学思想方法渗透的同时适当进行纵向、横向的联系与拓展并使学生所掌握的知识体系更为丰满. 因此，教师在各种课型的习题变式教学中应根据其不同侧重点进行适当有度的变化以促使教学目的达成.

总之，紧扣《考试说明》并围绕考纲进行的适度变式往往能更好地促进教学既定目标的顺利实现，因此，教师应尽量避免那些偏离考纲的“繁、难、杂”题目以预防教学轨迹的偏离和学生学习的消极，事实上，浪费学生宝贵时间、挫伤学生数学学习兴趣的变式也确实难以保障教学目标的顺利达成，具体教学中应尽量避免.