论初中生数学逻辑思维能力的培养

王潇雅，夏吾才让

王仲春教授认为，数学逻辑思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学具体解决各种实际问题的思考过程.［1］特级教师张乃达经过多年教学实践对数学逻辑思维的理解，是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系本质的一般性认识的思维过程.［2］本文将数学逻辑思维界定为一种严密的理性思维能力，它以数学哲学为理论基础，通过分析、综合、归纳、演绎、类比等方法进行推理的过程，并在整个过程中表现出极强的抽象化、系统化特征，是数学思维能力的核心.

1　数学逻辑思维的作用

数学逻辑思维的形成就是使学生能够在头脑中自觉地进行逻辑的建构，遇到数学问题能选择合适的数学方法求解，能将新旧数学知识相结合形成知识块，能够对数学信息进行高效的检索，学会合情推理，最后能将数学知识合理地应用到现实生活的过程.

初中阶段的数学学习需要较强的空间思维与转换思维的能力，而逻辑思维恰恰扮演了这些思想的基础，它以固有的抽象性、条理性及高度变通性对数学知识进行加工整理，使得思维在不同空间水平及反应速度上得到了提升，从而促进了空间思维与转换思维的形成.并且，通过反复的数学练习，在提高空间思维与转换思维水平的同时也反作用于整体逻辑思维能力的增强，它们是相互作用、共同存在的.因此，数学逻辑思维对于初中生学习数学有着重要作用.

数学逻辑思维的形成还有着应用数学以外的作用，即培养理性思想.学生步入社会后，在实际生活中可能很少使用数学公理化方法解决问题，而怎样能够有条理、有逻辑地行为处事，这种数学思想与方法会自觉地成为他们解决问题的核心，即理性行为的一种手段.因此，教师在数学教学中尤其要注重逻辑思维的培养，它不是在数学教育之外单独的教育，而是贯穿于数学教与学过程中形成的一种数学思想.

2　反思数学思维培养中存在的问题

2.1　忽视学生思维差异，教学方式缺乏针对性

初中生处于形式运算发展的阶段［3］，能够脱离具体事物进行大脑的逻辑性假设，洞察事物内部的一致性或逻辑联系.这是每个学生都会经历的认知发展阶段，但不是每个学生都能适时地进入相对应的阶段，因此就会出现同一班的学生进行不同阶段思维活动的现象.在初中数学教学中，教师可能会由于学生数量较多而不能考虑到每个人的逻辑思维差异，教学上明显表现为刻板划一性.因而，导致认知水平强的学生能很快地融入数学学习中，较好地形成逻辑思维能力，而认知水平相对落后的学生，在逻辑思维的转换和反应上相对较弱，不能很快地进行形式运算.例如，在学习了三角形、四边形的内角和求解后，逻辑思维较强的学生就会容易归纳出正多边形的内角和公式（n-2)×180∘，而逻辑思维相对较弱的学生可能还需要教师进行一步步的讲解才能掌握.

传统教学采用“灌输式”“填鸭式”教学方式，并没有完全与初中生的身心发展特点紧密结合，没有较好地遵循因材施教的原则.因此，由于教师的教学方式缺乏针对性及过于传统性，可能会导致学生数学逻辑思维能力的止步不前.

2.2　学生思维定势的消极影响

思维定势可以理解为人的思维活动在过去知识经验影响下，心理上处于一种准备状态，在解决当前问题时经常有一定的倾向性，从而决定后继活动的趋势.合理地使用思维定势可以通过类比建立相似问题间的联系，把未知转变成已知条件解决问题.而不适当的思维定势，仍会让人用习惯的方式解决不同的问题，特别是对于一些形似而质异的问题，思维定势往往会给解题者较大的迷惑性.初中生的学习，特别是数学学习，大多通过操作模仿完成，这便于数学思维定势的形成，但难以将知识灵活应用、举一反三，即便形成了一定的逻辑思维能力，也会缺乏较强的应用能力.例如，化简，由于受分数约分运算思维定势的影响，学生会错误的化简为

2.3　数学创造性思维与逻辑思维的“矛盾”对教学的影响

在数学发展中形成的问题——“策略智慧”与“逻辑刻板”之间的矛盾，即数学在发展中需要创造性思维与发散思维，而数学在表达上又强调条理和逻辑.这种矛盾的形成使得人们错误地认为，创造性思维的发展就要摒弃数学逻辑思维的严谨与刻板性.通过查阅文献，我们发现，在新课改的大力倡导下，初中数学教师开始更多注重学生创造思维的发展，将逻辑思维视为思维狭隘的象征.他们可能会为了使学生能够在学习上进行创新而简化数学本身的逻辑关系，减弱了该有的严谨性，却忽视了逻辑思维本身的创造性，它既是创新思维的出发点，又是其归宿和工具.

3　数学逻辑思维能力的培养途径

3.1　形成问题意识，培养学生数学逻辑思维能力

数学的核心在于问题的发现，而数学的发展在于问题的解决.问题的不断提出与解决有利于提高学生思维的活跃性，培养学生的求知心理，增强学生的自我效能感.教师要注重培养初中生的问题意识，在质疑中由表及里、由浅入深厘清数学问题，形成数学逻辑思维，建构数学知识体系.

案例1在学习一元二次方程求解后，通过巩固练习，培养学生的问题意识.

分析：师：我们已经学习了一元二次方程的求解，谁能告诉我一共有几种求解方法？

生：四种，有配方法、公式法、因式分解法与开平方法.

师：对，下面我们来看这样一道题，已知关于x的方程（m-2)x2-2x+1=0有实根，则m的取值范围是什么？我的求解过程是这样的，因为m-2≠0，以及 a2-4ac=4-4(m-2)≥0，所以m的取值范围为m≤3，且m≠2.

生：这个结果不正确.

师：为什么呢？计算没有错误啊.

生：因为题目只是说方程有实根，并没有说有几个实根.所以两种情况，第一种是此方程为一元二次方程时，解为m≤3,且m≠2；第二种情况是此方程为一元一次方程时，m-2=0,，有实根.综上，m≤3.

师：同学们解答得非常正确，我们在思考问题时，要从宏观角度出发，全面地思考问题，想一切可能的结果进行一一验证，再下结论.

通过培养学生的问题意识与质疑精神，运用启发式教学法，不仅可以以问题为启发的基点，也可以用问题作为教学的结束，转变成学生独立思考的过程，最终促进问题意识的形成.［4］此外，数学逻辑思维的抽象性要求学生不仅能够在头脑中用内部语言进行知识的重组，而且能够用外部语言进行知识的概述.综上，问题意识能够促进学生数学逻辑思维的形成，同时，数学逻辑思维能力的提升也会反作用于数学问题的理解.

3.2　利用归纳法，培养学生数学逻辑思维能力

归纳法源于归纳推理，是其思维的结果是培养数学逻辑思维的主要手段.

案例2是否存在a、b、c使得等式

假设存在a、b、c使题设的等式成立.这时令 n=1,2,3，有，于是得出a=3,b=11,c=10.则对n=1,2,3下面的等式成立

记Sn=1·22+2·32+…+n·(n+1)2，设n=k时上式成立，即那么

即等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3，b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.

归纳法就是把个体的本质特征提取出来，进行普遍推广应用，从而把个性进行共性化的过程.以上题为例，在解题过程中，运用了分析（找联系、抓本质）、假设、综合、归纳、演绎的方法，从而得出结论.它是以归纳法为主，其他方法为辅，共同促进学生数学逻辑思维能力的发展.

3.3　建立数学模型，培养学生数学逻辑思维能力

初中生建立数学模型的过程就是提取已知条件，通过与问题之间的关联，以数字为基点，搭建图形，转换成几何求解的过程.这种以分析概括、形式转换进行思维的过程，也是锻炼数学逻辑思维能力的过程.

案例3某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°，已知原楼梯长4m，调整后的楼梯会加长多少米？（结果精确到0.01m）

针对该问题，可以采用建立图形的方法求解，图形如图1所示.

图1　楼梯长度变化图

我们可以把问题转换成已知 ∠C=35∘,AD=4m,求AC-AD.

以上就是使用了建模的方法，将文字表述转换成图形求解，图形的解也就是问题的解.看似简单，其中却包含了观察、分析、转换、类比、作图、求解的过程.这样一种层层递进，根据条件之间的逻辑关系，建立数学模型解决问题的方式，也是培养学生逻辑思维能力的另一种途径.

3.4　合理使用信息技术，有效培养学生数学逻辑思维能力

中学的课堂中，多媒体已经成为必备的辅助工具，这种以动态演示的形式展现教学内容的教学模式，既能方便教师备课，又能吸引学生注意，调动学生的学习兴趣，成为教师们的“得力助手”.但是相对的，多媒体演示以直接呈现解题过程与结果的方式，简化了教师的教学操作，同时也简化了学生逻辑思考的过程，造成学生脱离了具体形象就无从下手的状况.合理使用信息技术进行教学，对于学生逻辑思维的培养大有帮助，它能帮助学生建立知识间的联系，促使学生达到顿悟状态，提供学生问题解决的方向.

多媒体导课能够激发学生的积极思维，缩短学生进入学习情境的时间.在教学中以信息技术为媒介，启发式教学为手段，将观察、分析、比较、综合、概括运用在教学的过程中，逐步引导学生归纳出“垂直平分线”的定义，整个过程要注意遵守“开而弗达”的原则.多媒体教学以一种更加直观的方式提升学生的逻辑思维能力，它可以将以上的问题式、归纳式、建模式的培养方法都纳入到自身体系中，通过教师灵活运用，共同作用于学生数学逻辑思维能力的培养.

最后，关注初中生数学逻辑思维能力的培养，除了其培养过程外，还要对阶段性成果进行及时的反馈.这个过程仅仅是穿插在数学教学活动中就可以进行，不一定是单独的教育活动.此外，改变传统的单一以成绩作为评价载体的形式，转为采用定性与定量相结合的方式进行教学评价.在上课时，可以根据学生回答问题的情况，判断学生思维的灵活性；根据学生动手操作能力，检验他们思维的逻辑性；最后，根据解题的严谨性与条理性，评判他们整体的逻辑思维能力.上述的过程也可以使用统计分析软件对学生的逻辑思维水平进行客观评价，把相关的问题数字化，以量化的方式表现出来，从而分析逻辑思维能力的表现强度，并通过定性描述丰富数据的现实性.结合这样一种科学、有效的方式对学生的逻辑思维能力进行评价，进而有针对性地改进培养方案，提升培养学生逻辑思维能力的效率.

4　结论

培养初中生的数学逻辑思维能力，数学教师就要抓好逻辑思维培养的主干线，针对学生不同的数学逻辑思维水平，找到相应的培养方法，将逻辑思维视为提高学生整体思维水平的基础与工具.并且教师在整个培养过程中要经常进行教学反思，及时地调整培养方案，作出科学合理的评价，才能更好地促进数学的教与学.

参考文献：

［1］王仲春，李元中，孙名符，等.数学思维与数学方法论［M］.北京：高等教育出版社，1989.

［2］张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.

［3］皮亚杰.儿童的心理发展［M］.傅统先，译.济南：山东教育出版社，1987.

［4］张英伯，曹一鸣，徐利治，等.数学方法论选读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.