例谈逆向思维在数学解题中的应用

冯芳伟

在数学问题的求解过程中，若能开拓逆向思维的天地，反弹琵琶，不仅能使学困生学到更多的解题方法，而且常常会有新颖独到的发现。所以在数学解题中加强对学困生逆向思维的培养，能使他们逐步养成追求新知、探索问题的习惯，从而产生新颖的、前所未有的思维成果。数学解题逆向思维形式、方法很多，针对学困生，本文结合实例介绍几种方法，以达到抛砖引玉之功效。

一、逆向运用数学定义、定理、公式

由于学困生习惯于用正向思维去思考问题，一碰到需要逆用定义、定理、公式才能解决的题目往往会束手无策，因此我们要在解题中利用定义、定理、公式的逆用有意识地培养学困生的逆向思维能力。如逆向运用两角和（或差）正弦、余弦、正切公式解题等。

评注：从例1的解答看到，在解题中加强逆向运用数学公式的解题训练，有利于培养学困生的逆向思维能力。通过对公式的正用和逆用，使学困生在解题时灵活应变，一些公式正向运用不能解决的问题，就考虑逆用，这样问题可以得到快速解决，而且很可能有绝妙的方法。

二、利用命题的逆否命题

由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题。因此，当直接证明原命题困难时，可以转化为证明与其等价的逆否命题，这种证法是间接证明命题的方法，也是逆向思维的一种重要形式。

例2 已知：p2+q2=2，求证：p+q≤2.

分析：因直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若p2+q2=2，则p+q≤2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p+q>2，则p2+q2≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。

证明：若p+q>2，则

所以p2+q2≠2.

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

评注：本题利用原命题与它的逆否命题的同真同假性，出奇制胜、轻而易举地将问题得到解决。常规思维难以解决的问题，通过逆向思维却可能轻松破解。

三、正难则反——利用补集思想

当题目正面思考求解较繁杂，甚至不能求解时，考虑通过先求得问题的反面情况，进而求其补集，以达到解决问题之目的。

例3 已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2+2ax+2-a>0成立”为真，试求参数a的取值范围。

解：命题？劭p∶？坌x∈[1，2]，x2+2ax+2-a≤0，是假命题，

令f（x）=x2+2ax+2-a，

则f（1）≤0，f（2）≤0，即1+2a+2-≤0，4+4a+2-a≤0.

解得a≤-3.

故命题p中，a>-3.

即参数a的取值范围为（-3，+∞）.

四、变换主元

这一思想方法运用的核心是确定“主元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向。

例4 設不等式mx2-2x-m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求x的取值范围.

分析1：可以将原不等式化为（x2-1）m<2x-1①，采用分离变量法，视x为主元，通过讨论x2-1的符号来求解.

分析2：视m为主元，将原不等式看成关于m的不等式，进而将不等式的左边看成关于m的函数，利用函数的性质解题.

综上所述，在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，并且能够对数学定义、公式、定理、运算之间的关系理解得更清楚，可以形成反思和换位思考的思维素质，对培养数学思维灵活性，提高数学能力有重要的意义。

（作者单位：河南省滑县职业教育中心）