统筹优化：“烙饼”教学的目标定位与价值指向

黄秀梅

（尤溪县城关小学，福建 尤溪 365100）

“烙饼”是义务教育小学数学人教版四年级上册第八单元“数学广角——优化”的内容。作为让小学生体会数学思想方法的一个特殊的领域，“烙饼”教学受到小学数学界广泛关注，只要在网上键入“烙饼”一词，其教学内容和教学视频比比皆是。“烙饼”的教学资源虽然很多，但是，在教学目标定位和教学主张方面却存在较大分歧，即“烙饼”教材的教学实施到底是聚焦规律探寻，以期建立烙饼省时的数学模型？还是聚焦方法比较，以期感悟统筹优化思想方法？或者是二者兼得而进行某些平衡？

一、“烙饼”教学三大类型分析

在众多的“烙饼”教学认知中，笔者对教学目标定位相对明确、教学主张相对鲜明的文章进行检索，归纳了三类有代表性的主张：第一类以刘婷、袁颖杰等为代表，通过强化烙饼活动的实施过程，在活动中促进学生积累基本活动经验，发展学生解决问题能力，姑且称之为“活动经验积累型”。刘婷在教学中先让学生通过计算烙饼的时间，并让学生将饼的正反面依次作上标记方便观察，再实际演示，画图表示，在表格中记录数据来弄清烙三张饼的最优过程，在动手操作中积累活动经验并解决问题。［1］第二类是通过强化烙饼活动的实施过程，在活动中促进学生归纳总结烙饼省时的规律，发展学生发现问题并提出问题能力，姑且称之为“规律探索型”。持这一教学主张的较多，如：王增强主张让学生通过烙饼活动，找到烙饼问题最优化的规律建立数学模型，感悟烙饼问题中的模型思想。［2］针对“要不要引导学生用字母表示烙N张饼的最短时间？”这一问题，曹培英主张：让学生跳一跳够得着，让部分学生提前进入他们的最近发展区也是可以的。［3］张小燕通过教学实例指出：烙饼问题，仅关注如何让学生理解优化思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识不够，还应该通过比较，总结出一般的数学模型，提升学生的数学思维，提高学生解决问题的能力。［4］黄玉香认为：教学若只概括——“烙的饼数是双数，可以2张2张地烙；烙的饼数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按最优的方法烙，就可以达到整体的最优”。这样的规律，并没有真正从数学的角度揭示烙饼规律。“看到张数就能算出时间”，这样的发现才更具有数学意义。［5］第三类是通过烙饼活动来探寻省时方法，在方法的探寻中来体验问题解决的多样性，初步感悟统筹优化的数学思想，笔者将其称之为“统筹优化型”。张卫星基于教材分析指出：此课教学的主要目标是让学生通过操作、模拟的过程，初步体会运筹思想在解决简单生活问题中的应用，从而形成寻找解决问题最优方案的意识。［6］黄迪主张在知识形成过程中初步感悟“优化”， 解决问题中提炼“优化”，反思中明晰“优化”，强调每个环节要聚焦优化三大要素：一是优化有前提，在经历中找到多种解决问题的方案，感悟“统筹”；二是优化有方向，在比较中选择一种最优方案，感受“至少”；三是优化有方法，在思考中发现要充分利用锅的空间，领悟“充分利用资源”。［7］

三大类型各有明确的价值主张和目标定位，但侧重点却有明显的区别，因此，教学过程虽有类似之处，但设计意图却大相径庭。对此，笔者拟从课程标准和教材两方面对其理念再作分析。

二、“烙饼”教学理念形成

课程标准决定课程内容，课程内容决定教材组织。由此可见，从课程标准和课程内容层面来理解教材编排意图才是最直接、最可信的教材解读，这样的教学定位才最具权威性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）“总目标”第二条要求“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。这里与“烙饼”直接联系的内容是“数学与生活之间联系”，是“运用数学的思维方式进行思考”。因此，“烙饼”的课程价值应该是聚焦“统筹优化”这一思想方法的感悟。

新课标第二学段“学段目标”中“数学思考”第四条要求“会独立思考，体会一些数学的基本思想”；第二学段“学段目标”中“问题解决”第二条要求“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”。“课程内容”的要求具体表现在“综合与实践”第三条上：“在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程”。从中可看出，两条学段要求都指向“烙饼”问题解决方法多样性中的统筹与优化思想。这里“给定目标”“感受”和“方案”是关键词，就“烙饼”活动而言，目标就是省时，策略就是具体方案的比较，并在设计思路、制定方案中感受具体的数学思想、积累数学活动经验。

以上是依据课程标准得到的分析情况。显然，从分析中可以明确“烙饼”的目标定位是初步体会运筹思想在解决简单生活问题中的应用，从而形成寻找解决问题最优方案的意识。教学重点是利用学具动手操作尝试探索烙3张饼的规律。基于活动经验，让学生经历“三张饼”的烙法优化的过程。

人教版义务教育数学四年级上册的“烙饼”一课中，教材编排了三幅情景图：讲述两个生活事例和一个古代故事。

一是“沏茶”问题。“怎样才能尽快让客人喝上茶”？沏茶有六道工序，每一道工序用时不同，怎么组织工序才能节省时间是问题的核心。“哪些事情可以同时做，哪些不能？”“哪些要先做，怎样的顺序较合理？”教材情境图对这些使用流程图提示。流程图本质就是工序组织具体方案图，需要将不同工序进行组合形成不同沏茶方案，有不同的方案才有比较，然后才有条件进行优化。

二是“烙饼”问题 。“怎样才能尽快吃上饼？”是问题解决的核心，它涉及每烙一面饼的时间以及一个锅能烙几张饼的问题。对此，教材将重点放在烙三张饼的情境上，在此基础上再探寻烙4、5、6……张饼情况。在教材的情境图中，有2个烙饼思维引导问题“为什么烙2张饼和烙1张饼都是6分钟？”“每次总烙（ ）张饼，别让锅（ ），这样应该最省时间”，他们直接指向了“最省时”的基本策略（双数2张2张烙，单数先2张后3张烙），也就是说，不同的烙饼方法，烙一样多张的饼时间是不一样的，因此，烙饼不只是活动经验积累或规律的发现，而是烙饼多钟策略的统筹和优化问题。

三是“田忌赛马”问题：“田忌是如何赢了齐王的？”是核心问题。教材情境图中有2个问题是相互关联的，“田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？”是“田忌共有多少种可采用的对应策略？”的“药引子”，引领学生去探索和掌握所有策略，也就是填写完教材提供的表2内容，然后再比较结果。如此看来，田忌赛马问题还是与前两例一脉相承的。虽然，在“有序排列、列举填表、比较对照”活动中有分析问题、解决问题的经历，也会积累相应的基本活动经验，但是，感悟问题解决多样性中的统筹和优化思想却是更加核心的任务。

从一脉相承的三个例题的编排看，教材的意图是明确的，那就是要通过生活事例让学生初步体会统筹优化策略在解决现实问题中的价值作用，初步领会数学优化思想方法；而让学生在自主探究活动中体验解决问题策略的多样性，并寻求最有方案的过程本质上就是一个统筹和优化的实施过程。

三、“烙饼”教学的价值指向

虽然，对于四年级学生而言，具体、形象情境和富有挑战性的可操作的活动是教学过程得以顺利开展的保障。但是对“烙饼”这节课而言，无论从课标去理解这一领域（数学与生活之间联系、数学综合与实践）的课程目标和课程内容，还是直接从教材编排的逻辑上去理解“烙饼”问题的教学价值定位，笔者以为，“烙饼”教学的核心价值就是“感悟数学优化思想”。而在教学过程中开展的列表、方法比较、顺序安排等活动只是具体的教学手段和过程，此过程中形成的体验和经验自然地只是“烙饼”教学的副产品。至于发现和探索烙4、5、6、7张或更多饼的规律（甚至是数学建模），探索一锅烙3张或4张饼的烙法或规律，则更是“烙饼”问题的拓展和迁移，不能因为他们能够促进学生的思维发展，积累数学基本活动经验，而忽略了统筹优化思想的感悟和理解（虽然只是初步的），甚至出现“耕种别人的田”而不务正业的情况。对此，笔者认同这样的观点：《烙饼》是一节统筹优化的探究课，对优化思想应用的体会和感悟是这节课的目标之一，但优化的前提是统筹，而且统筹过程的本质是各种数量关系和空间形式的逻辑梳理，需运筹到位优化选择才有可能。因此,让学生尽情地去体会求异、求优的优化思想，体验问题解决策略的多样性，将积累基本活动经验、统筹和抽象、数学建模结合融于具体的教学活动之中，为感悟优化思想目标服务才是理想的教学过程。［8］

因此，“烙饼”教学目标定位就是“初步体会优化思想”“体会统筹方法在解决问题中的作用和意义”；“烙饼”教学的根本任务就是组织学生在具体活动中去感悟解决问题多样性之存在；去把握多样性中的统筹策略（优化方法、优化程序、优化过程）；去逐步明了“优化”的目标可以指向“合理、经济、省时、省力、更方便、更有效、更科学”等效率价值，“统筹”的目标指向是“比较、平衡、组合”等方法选择，进而去感悟数学的价值，发展分析和解决问题的能力。