Hermite-Hadamard不等式的一个q-模拟

时统业,陈正义

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

0　引言和引理

著名的Hermite-Hadamard不等式[1]是凸函数理论中被广泛研究的不等式之一，它是Jensen不等式的加细：

(1)

其中f是区间I上的凸函数，a，b∈I，a

有关不等式(1)的推广和加细以及各种类型凸函数的Hermite-Hadamard型不等式，可参阅文献[2]．王良成给出式(1)的如下推广：

定理1[3]设f是[a，b]上的连续凸函数，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，则

(2)

引理1[4]设f(x)是区间I上的凸函数，(a，b)I，则f(x)在(a，b)内的各点处都存在左、右导数(从而处处连续)，且对x，y∈(a，b)，x

定义1[5]设f：[a，b]R→R是连续函数，x∈[a，b]，则称

定义2[6]设f：[a，b]R→R是连续函数，x∈[a，b]，定义f的Riemann型q-积分为

由定义经简单计算可知，对任意α∈R{-1}，x∈[a，b]，有下面公式[5]

(3)

引理2[7]设f，g：[a，b]R→R是连续函数，α∈R，则对任意x∈[a，b]有

引理3设f：[a，b]R→R是连续函数，则有

证由q-积分的定义得

引理4[8](q-Hermite-Hadamard不等式)设f：[a，b]R→R是连续凸函数，则有

(4)

当q→1时，由式(4)得到式(1)．

当q-导数的绝对值是凸函数时，文献[9]给出由式(4)右端部分所产生的差式的估计．本文将给出式(1)的一个新的q模拟，使用的方法可见文献[3]和文献[8]．本文还仿照文献[9]的方法，在q-导数的绝对值是凸函数、q-导数有界这两种情况下，对由右端部分所产生的差式进行估计．当q→1时，得到已有文献的结果．先引入下面记号：

f1(x)=f(pa+(1-p)x)，f2(x)=f(px+(1-p)b)，

Q(a,b;p,q;f)=

R(a,b;p,q;f)=

为证明本文的主要结果，需要下面q-积分的恒等式．

引理5设f：[a，b]→R是连续函数，aDqf在[a，b]上可积，则

(5)

证不妨设

由q-导数的定义有

于是有

由引理2得

又由引理3得

综上所述，得

(6)

同理可得

(7)

注1设f是可微函数，在式(5)中令q→1得

1　主要结果

定理2设f：[a，b]→R是连续的凸函数，0

(8)

pa+(1-p)x=(1-λ(x))a+λ(x)b，px+(1-p)b=μ(x)a+(1-μ(x))b，

由凸函数的定义有

f(pa+(1-p)x)≤(1-λ(x))f(a)+λ(x)f(b)，

(9)

f(px+(1-p)b)≤μ(x)f(a)+(1-μ(x))f(b)，

(10)

对式(9)和式(10)中的x在[a，b]上求q-积分得

(11)

(12)

其中用到下面事实：利用引理2和公式(3)得

(13)

(14)

对式(13)、(14)中的x在[a，b]上求q-积分得

(15)

(16)

注2设f：[a，b]→R是连续的凸函数，在定理2中令p=1/2，q→1则有

q2|aDqg2(a)|+(1+q)|aDqg2(b)|]．

(17)

证由引理5及|aDqg1|和|aDqg2|的凸性得

由引理2和公式(3)得

同理可得

综合以上结果，则式(17)得证．

注3在定理3中令q→1，则由式(17)得到下面梯形不等式[10]：

定理4设f：[a，b]→R是连续函数，函数g1(x)和g2(x)的定义同定理3，0

aDqg2在[a，b]上可积，且存在常数m1，M1，m2，M2，使得m1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，则有

(18)

证因为m1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，由引理5得

式(18)的右端部分得证．同理可证式(18)的左端部分．

参考文献：

[1] Mitrinovic D S．Analytic inequalities[M]．New-York，Heidelerg，Berlin： Springer-Verlag，1970．

[2] Dragomir S S，Pearce C E M．Selected Topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D]．Victoria：Victoria University，2000．

[3] 王良成．凸函数的Hadamard不等式的若干推广[J]．数学的实践与认识，2002，32(6)：1027-1030．

[4] 刘三阳，李广民．数学分析十讲[M]．北京：科学出版社，2011：89．

[5] Tariboon J，Ntouyas S K．Quantum integral inequalities on finite intervals[J]．J．Inequal．Appl．，2014(1)：121．

[6] Stankovic M S，Rajkovic P M，Marinkovic S D.Inequalities which includesq-integrals．Bull．Acad．Serbe Sci．Arts，Cl．Sci．Math．Natur．，Sci．Math．，2006，133(31)：137-146．

[7] Tariboon J,Ntouyas S K．Quantum calculus on finite intervals and applications to impulsive difference equations[J]．Advances in Difference Equations， 2013(1)：282．

[8] Marinkovic S D，Rajkovic P M，Stankovic M S．The inequalities for some types ofq-integrals[J]．Computers and Mathematics With Applications，2008，56(10)：2490-2498．

[9] Sudsutad W，Ntouyas S K，Tariboon J．Quantum integral inequalities for convex functions[J]．Journal of Mathematical Inequalities，2015，9(3)：781-793．

[10] Dragomir S S，Agarwal R P．Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and trapezoidal formula[J]．Appl．Math．Let．,1998，11(5)：91-95．

[11] Ujevic N．New bounds for the first inequality of Ostrowski-Grüss type and applications[J]．Computers and Mathematics with Applications，2003，46(2)：421-427．