美国高中教科书概率专题的设计特色①——以9年级CPMP教科书为例

陈雪梅 蔡金法

(1.河北师范大学数学与信息科学学院 050024；2.特拉华大学数学系19716)

1 背景与问题

美国CPMP[1](Core-Plus Mathematics Project，核心加数学项目)高中数学教科书是以《美国学校数学教育的原则和标准》(Principles and Standards for School Mathematics,简称为《原则和标准》)、《美国州际核心数学课程标准》(Common Core State Standards for Mathematics,简称为CCSSM)为指导进行设计、发展与评价的教科书，从20世纪90年代初一直得到美国国家科学基金CPMP的支持. 这套教科书以问题为基础，以探究为导向，面向全体学生，2013年得到美国数学与科学教育专家组、商务高等教育论坛的共同推荐，成为从所有面向大学与职业准备的学科领域中选出的32个教育示范项目之一. 在过去的20年中，一些关键的对比评价与独立的研究都表明，使用CPMP教科书的学生，在问题解决、应用与概念性理解测试方面明显表现更好[2].

本文对9年级CPMP教科书概率专题设计特色的分析归为如下一些问题： 1.教科书如何发展学生的概率推理与素养？2.教科书怎样帮助学生建构随机性与概率观念？ 因为CPMP-9年级的概率单元与我国《普通高中数学课程标准(实验)》必修3的概率知识在内容上有许多相似的要求，所以作为分析介绍的主要内容.

2 CPMP教科书概率专题的整体介绍

CPMP教科书以“问题—探究”为导向组织内容，每一册的内容都由代数与函数、几何与三角学、统计与概率、离散数学、关联的数学五部分构成.“统计与概率”的首要目标是发展学生的能力，包括分析数据，认知与测量差异，理解概率情境中的模式. 最终目标是学生能理解如何通过考察一个样本得到关于总体的推断. 9年级概率是第8单元“机会中的模式”.这个单元共有3课，第1课“概率计算”，包括5个主题：(1)构造等可能机会情境的样本空间；(2)利用公式，计算结果是等可能事件的概率；(3)根据一个样本空间，构造概率分布；(4)确定互斥事件；(5)利用加法公式或者它的特例，计算P(AorB). 第2课“机会情形的建模”，包括5个主题：(1)两个等可能结果的模拟模型；(2)利用大数定律理解机会情境；(3)多个等可能结果与结果非等可能的模拟模型；(4)代表结果的随机数字来自一个连续区间的模拟模型；(5)利用几何概型解决涉及连续区间的概率问题.第3课“回顾”.这个单元共涉及469个问题. 如果例题是指为了显示一些具体技术或技巧的应用而呈现解法步骤和最终解法的话，那么CPMP教科书没有例题. 所有的问题分为：伴随概念、方法的引入与发展的问题任务、要求学生独立完成的问题任务. 其中要求学生独立完成的习题由五部分组成：应用(应用与巩固知识)、关联(促进数学主题之间的联系)、反思(重新检验个人的观念与思维)、拓展(探究更深度的数学，例如，利用排列算法计算所有可能结果的数量)、复习(保持程序运算的流畅性).“复习”中的任务涉及学习概率测量所需要的一些预备知识(例如小数、百分数、分数、几何、函数等相关知识).

3 如何发展学生的概率推理与素养

许多研究者认为，应把概率素养(Probability Literacy)看作统计素养的构成要素[3]. 以色列著名数学教育研究者Gal提出[4]，概率素养应包括认知性知识元素(Cognitive knowledge elements)与倾向性元素(Dispositional elements)两个结构单元，前者包括：(1)核心概念：包括变异性、随机性、独立性、可预测性/不确定性；(2)计算概率：发现或估计一个事件的概率的多种路径；(3)语言：用于交流与机会有关的情形的术语与方法；(4)情境：理解各种情境中以及个人与公共话语中，概率问题与信息的作用和意义；(5)批判性问题：处理概率时反思的问题. 从概率素养的视角分析，CPMP教科书有如下特色.

3.1 提供了丰富的概率与统计语言

“机会的模式”单元涉及样本空间、等可能、概率公式(古典概型)、概率分布、互斥事件、加法公式、大数定律、模拟模型、几何概型等主要概念与公式，多伴随问题解决的过程，以归纳描述的形式呈现.除了新引入的概念，教科书还重视发展概率与已有统计知识的联系.特别是在模拟概率建模的过程中，强调根据频率分布表绘制直方图，分析统计特征值(均值、方差)，再估计概率.

在学生初步经历用表格列出所有可能的结果，讨论事件的概率后，教科书用描述性语言引入样本空间、等可能两个概念，并总结概率公式.例如：“在问题1中你完成的那张表被称作滚动两枚骰子情境下的一个样本空间.一个样本空间就是列出所有可能的结果.”在要求学生探索样本空间，求一个事件的概率之后，教科书引入概率分布概念：“一个概率分布是指随着每一个结果发生的概率，对一个随机情形中所有可能用数字表示的结果的一个描述. 不同于样本空间，一个概率分布中所有的结果必须是单个数字，并且概率是明确的.”学生再经历列出样本空间、判断等可能性、根据条件整理概率分布表、计算某事件的概率的思维过程.

大数定律的引入是伴随两个等可能结果的模拟概率模型.在讨论掷一枚硬币的正面比例随模拟次数的图像变化时，指出：“大数定律是指试验的次数越多，概率的估计会趋于更好.”在其后的许多模拟建模任务中，都包含根据大数定律，解释图表信息的要求.

3.2 任务的组织与发展突出数学本质与联系

在CPMP教科书中，每一个学习目标的实施都由调查开始，一段简要的旨在呈上启下地明确任务的介绍都以一个问题结束，然后再开始具体的调查.“机会的模式”单元，是按照不同的模型以及建模来促进概率的概念化.这个单元共包括六个调查任务，第一课的两个调查依次是：“你如何发现并组织与滚动两枚骰子类似的随机事件的概率”“在什么条件下，你可以把各个概率加起来作为一个相关事件发生的概率”.教科书并未出现古典概型的概念，代替以样本空间、等可能性来强调这种机会情形的特征.加法法则开始于利用实例讨论“事件A或事件B”的意义，然后依次引入互斥事件，互斥事件的加法公式；再通过实例讨论分析非互斥事件，最后给出一般的加法公式.

第二课“机会情形的建模”包括四个调查：依次是“你怎样模拟设计两个等可能结果的机会情境”“当遇到多于两个等可能的结果，或两个结果不是等可能的情境，你怎样利用随机数表或计算器设计模拟的模型”“当表示结果的数字来自一个连续的区间，你怎样设计模拟的模型来解决问题”“怎样利用面积模式而不是模拟方法，来解决连续区间的概率问题”.这些问题反映了各种机会情境的实质及其发展.

“机会的模式”单元的内容组织从整体上体现了从理论概率向试验概率的发展，同时又符合从特殊到一般，从简单到复杂的认知规律.

3.3 呈现模式探索的推理过程

CPMP教科书重视通过问题或问题组呈现概率理论特有的性质，包括模式探索与模型建构的推理要素、方法、步骤等. 在探索古典概型时突出：第一，列出样本空间；第二，判断所有结果是否等可能发生；第三，根据条件整理概率分布表；第四，计算概率.例如：“假设你掷一枚硬币三次.(1)列出所有8个可能结果的样本空间，例如正面、反面、反面.(2)这些结果都是等可能的吗？解释你的回答.(3)根据正面的数量制作一张概率分布表.(4)你准确得到2次正面的概率是多少？至多得到2次正面的概率是多少？”.

在探索几何概型时突出：第一，转化为一个面积区域(例如正方形)；第二，绘出事件对应的面积区域；第三，计算概率.例如：“Al在12点至1点之间随机休息10分钟一次，Alice独立于Al做同样的事情.考虑如何利用一个面积模型准确计算概率.(1)在下面的图中，确定那些对应Al与Alice在相同的时间开始休息的点.(2)对于Al开始休息的任何一个时间，Alice如果要与Al的休息交叠，Alice开始休息的时间是哪些？(3)在会导致两人的休息产生交叠的那些开始时间涂上阴影.(4)两人休息产生交叠的概率是多少？”.

3.4 利用模拟试验经历概率建模

CCSSM强调从建模的视角理解概率与统计，数学建模包括数据收集、表征、解释、预测与模拟的过程.因此，在CPMP教科书中，模拟不仅仅是一种解决概率问题的方法，也是反思现实世界的一种思维方式与建模的过程.模拟建模的思维过程突出：第一，明确所有可能结果，确定每个结果的概率以及一次试验与下一次试验的概率是否发生变化；第二，选择一种随机发生器，并描述如何利用它进行一次试验；第三，利用选择的随机发生器进行多次模拟试验，并利用频率表、频率直方图记录结果，当频率分布的形状、中心、伸展的范围趋于稳定时停止试验；第四，估计概率，得出结论或推断.例如问题：“Jeffrey 正在进行一项包含10个对错问题的测试。他事先没有研究，甚至对任何一个问题都没有合理的猜测，他随机回答“正确”或“错误”.(1)描述如何用一枚硬币来建立这项测试结果的模型，并实施一次模拟.(2)实施5次模拟.下面的频率表已经给出495次模拟的结果，把你的结果加进这个频率表，使总数达到500次.(3)下面给出了495次结果的频率直方图，加进你的(5次)结果重新做出直方图.描述它的形状，并估计它的均值与标准差.(4)利用他的随机猜测方法，Jeffrey应该期望平均能正确回答多少问题？这个结果怎样与模拟方法得到的均值进行比较？(5)如果通过这次测试要求正确回答70%的问题，请你估计Jeffrey通过这次测试的概率是多少？(6)考虑大数定律，Jeffrey应该选择包含大量问题的对错测试，还是包含少量问题的对错测试？”

许多研究表明，把概率推理看作模型构造的过程对教与学是更适宜的. 模拟方法可以让学生来控制：设计试验、根据他们的愿望确定试验次数、查看结果的图形表示. 这些会促进他们对于一次随机试验与独立性概念的理解，并深刻认识理论概率、经验概率与样本大小如何用于做出推论. 无放回事件(without-replacement event)的概率只在模拟情形下出现，不需要学生进行复杂的运算.

3.5 利用现实世界的问题情境发展批判意识

在CPMP教科书中不仅包含大量的学生生活、社会等现实世界情境的问题，而且许多情境蕴含了“叙事的锚”，要求学生分析真实的背景，给出合理的假设，再模拟建模.例如：“当被问到机会以什么方式影响她的生活时，来自洛杉矶一所大型高中的9年级学生的回答是：学生被随机抽查是否携带武器.假设这项政策已经宣布，一名新闻记者怀疑这所学校的学生不是被随机抽查，而是男生比女生有更大可能被抽到.然后这名记者观察了第一次的调查，发现所有被调查的学生都是男生.如果学生是随机抽取的，那么估计所有10名学生全是男生的概率是多少？”.

许多问题还关注数据的来源、建模与估计的合理性，试图通过引导学生反思来发展他们的统计观念与批判意识.例如：“一所学校正在推销杂志订阅来筹钱. 一组学生想模拟这个情境：询问10个人，他是否愿意买一本杂志，如果这个人回答“是”就记录这个数据. Jason建议：掷一枚硬币10次，计算正面朝上的次数. 因为一个人或者说“是”(正面)，或者说“不”(反面).Jason的模拟模型合理吗？解释你的观点.”

4 如何促进学生建构随机性概念

理解“随机性”是理解随机试验、随机数、随机变量、随机事件、随机抽样等概念的前提与条件. 但在中学教材里，“随机性”的意义并不清晰、明确. 许多心理学与数学教育的研究表明，机会与随机性的学习对所有年龄段的学习者都充满困难与挑战. 例如：学习者不能解释蕴含在重复试验中的模式的不确定性；学习者存在一种信念：个人或器材(例如转盘)可以对一个随机事件施加控制，或者一些随机事件包含某种顺序、目的或原因. 已故美国著名数学教育家Fischbein曾断言，在学习概率过程中，学生必须创造新的直觉[5].

4.1 引入分布概念促进随机性概念的具体化

在CPMP教科书中，“分布”概念随处可见：在古典概型的探索中引入概率分布表；在模拟建模中，更是强调通过频率分布表、频率分布直方图进行统计特征分析，得到更好的概率估计.教科书中有这样的话，概率分布可以给学生提供一个概率情境的完整画面，是组织分析的最佳途径.

这种设计的目标在于：(1)分布概念架起沟通概率与统计的桥梁，形成概率与统计之间非常紧密的联系.特别是通过可重复的模拟试验，可以产生各个结果的分布. 这就包含了通向统计学基本概念的线索，例如关于分布形状、分布中心、分布差异的各个测量.《原则和标准》也强调，全面而深刻地理解统计与概率的基础以及统计与概率的关联是形成能力的关键.(2)使得随机性概念更容易感悟. 虽然各类词典中对随机与随机性都有许多说法，但与概率、统计意义有联系的只有“机会”“具有因果关系的”. 在口语表达上，随机性只能限于作为“不可预测的”. 全美数学教师理事会(NCTM)2009年发布的文件《高中数学的焦点：统计与概率》(Focus in High School Mathematics: Statistics and Probability，简称为《焦点》)的主编Shaughnessy认为[6]：“很难给随机与随机性一个清晰的定义. 因为，定义随机必然涉及概率，而概率同时涉及随机性。但独立性、变异性、分布这些概念比随机与随机性容易定义，并且可以促进对学生概率思维与学习的调查.”(3)促进学生从比例推理(Proportional Reasoning)向更高层次的分布推理(Distributional Reasoning)发展.

4.2 渗透变异性感悟随机

在9年级CPMP教科书中，对变异性的感悟伴随在模拟建模过程中经历理论概率分布与经验的抽样分布以及理论概率与试验概率之间的相互作用、样本大小对估计的影响等等，反思数据的来源、一次试验与下一次试验的概率是否发生变化，体会实施大样本试验的价值.

例如，“有一种流行的早餐麦片，曾经每箱中都有一套魔术(道具)，不同类型的一共有7套.

a. 为了集齐全部7套魔术道具，你至少买几箱？

b.如果你买了一箱麦片，得到7套魔术之一的‘乘币魔术’的概率是多少？为了得到答案，你的假设是什么？

c.假设你想在得到全部的7套魔术之前估计要买多少箱麦片，描述一个模拟模型，包括怎样利用随机数表实施一次试验.

d.把你的模拟模型与其他同学的进行比较. 确定一种模拟模型，并让全班同学都应用.

e.利用这种模拟模型实施5次试验，并记录你将要必须买的箱数. 把全班同学的数目加起来，形成下面的频数表(表略).

f.统计结果，形成柱状图(图略). (1) 描述分布的形状. (2) 比较这个分布与前面的其他分布的形状.

g.根据模拟(结果)，为了得到7套不同的魔术，必须买15箱或者更多箱麦片是不常见的吗？请解释理由.

h.事实上，一个人最终买的箱数通常是比根据模拟期望的数量大的多的数目，对此可能的解释是什么？”

《焦点》中多次强调变异概念是统计与概率学习的核心内容，批判性推理是处理数据与统计判断的必要能力. 例如[7]：“统计推理集中于一个焦点，即理解数据的变异，并能进行推理. ……统计推理是通过合并来自数据与机会的各种观点寻求对变异性(Variability)的理解和解释.” CCSSM也强调[8]：“对统计试验随机过程的理解和评价. ……判断一个具体模型是否与从某一给定的数据产生过程中获得的结果相一致.”变异性的产生主要与数据、随机性两个因素有关. 一个统计学家感兴趣的是某个具体样本中的数据或分布、或者一项统计中的抽样分布等等，所以数据、样本与分布是彼此相互影响的，而不是独立的. 分析数据的变化、样本的变化、分布的变化以及作出统计推断不仅是指导学生感悟随机性的一条有效途径，而且有利于发展学生的批判性推理能力(Critical Reasoning Skills).

5 反思与探讨

5.1 反思

CPMP概率课程的设计是采取概率与统计的整合视角. CPMP教科书是在《原则和标准》、CCSSM等重要数学课程文件的指导下进行设计的，其中概率与统计是以“推断性数据分析”为课程目标.与传统的数据分析的理念不同，探索性数据分析的观念认为， 离开了概率的数据分析是没有意义的，只是在程序化地应用统计知识.因此，概率课程的设计除了这个领域特有的概念与技能之外，教科书还强调概率与统计的相互补充，把概率的计算、估计与建模置于数据分析以及非正式的统计推断的情境之下.

CCSSM对于随机性与统计概率的联系也有阐述.“随机化对于得出统计结论有两个重要的用途. 第一，从总体的一个随机样本中收集数据，考虑了数据变异的因素，得出的结论可作为总体的有效结论. 第二，将个体随机分配到不同的处理方法中，能保证公平性，使得不同的处理方法都能有效地参与.统计意义下的显著性结果不太可能仅仅由偶然性造成，而这一点只有在随机性的条件下才能进行评价.”

5.2 探讨

当前，数学学科核心素养如何在教科书的编写中落实是一个普遍关注的热点问题. 这也是笔者研究CPMP教科书的初衷. 关于核心素养的讨论还在继续，但是核心素养的培养要求给学生提供更加有活力的知识，摒弃惰性的知识的观点得到许多研究者的肯定. 中国概率课程的设计比较注重概率理论自身的知识演绎与发展，表现为概念界定严谨，概念之间的逻辑关系与结构较清晰. 另一方面，如何理解统计与概率的关联，重视不同的概率建模过程中的推理方式与批判性思维，关注在现实情境下进行模拟建模，等等，这些都是需要深入思考的问题.