单调函数在M/M/1/WV排队模型中的应用*

艾合买提·卡斯木，热娜·阿斯哈尔

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

近年来，排队论中具有休假规则的排队系统受到了广泛的关注.[1-3]经典的休假策略，是服务员在休假期间完全停止工作,但可以从事辅助任务.2002年,L D Servi等[4]首次引入了具有工作休假(Working Vacation,简称WV)的排队模型,即服务员在休假期间并没有完全停止工作,而是以较低的速率为顾客服务.之后,V M Chandrasekaran[5]研究了这种休假策略的排队模型.2010年,Zhang Mian等[6]研究了具有工作休假和休假中止的M/G/1排队模型.2016年，Ehmet Kasim[7]对该模型进行了动态分析,即运用C0-半群理论得到了其适定性,当服务率为常数时,再得到了时间依赖解的渐近性质.笔者拟讨论在文献[7] 中出现的3个不等式.

根据文献[6]，当服务率为常数时具有工作休假和休假中止的M/G/1排队模型(即具有工作休假和休假中止的M/M/1排队模型)可写为:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

P1，0(0,t)=λP0，0(t),Pn，0(0,t)=0 ∀n≥2,

(6)

(7)

P0，0(0)=1,P0，1(0)=0，Pm，0(x,0)=Pm，1(x,0)=0 ∀m≥1.

(8)

其中：(x,t)∈[0,∞)×[0,∞);P0,0(t)为t时刻系统空闲且服务员处于工作休假状态的概率;Pn,0(x,t)dx(n≥1)为t时刻服务员处于工作休假状态、系统中有n个顾客且正在接受服务的顾客已逝去的服务时间在[x,x+dx)内的概率;Pn,1(x,t)dx(n≥1)为t时刻服务员处于正常工作状态、系统中有n个顾客且正在接受服务的顾客已逝去的服务时间在[x,x+dx)内的概率;λ为顾客的平均到达率;θ为服务员的休假间隔时间;μ0为服务员处于工作休假状态时的服务率;μ1为服务员处于正常工作状态时的服务率.

Ehmet Kasim[7]将方程(1)—(8)转化成Banach空间的抽象Cauchy问题，即

并得到如下结论：

定理1集合

属于(A+U+E)*的豫解集.这里(A+U+E)*表示A+U+E的共轭算子.

笔者将利用单调函数与导数之间的关系证明定理1蕴含:在虚轴上，除了0之外的所有点都属于(A+U+E)*的豫解集.这等价于当γ=iω∈R{0}时,如下不等式同时成立：

(9)

(10)

(11)

(12)

(9)式显然成立.对(10)—(12)式，分别引入如下函数：

容易看出，f(ω),g(ω)和h(ω)都是初等函数,它们对所有ω都连续可导.根据导数的运算法则，有：

(13)

(14)

(15)

由(13)—(15)式且

可得f(ω)

在排队论的动态分析中，求相应主算子的豫解集时经常出现与(9)—(12)式类似的不等式[3,8],一般仿照上述证明方法即可验证.

[1] DOSHI B T.Queueing Systems with Vacations：A Survey[J].Queueing Systems,1986,1:29-66.

[2] TIAN Naishuo,ZHANG ZHE GEORGE.Vacation Queueing Models:Theory and Applications[M].New York:Springer Science,2006.

[3] GUPUR GENI.On the M/M/1 Queueing Model with Compulsory Server Vacations[J].International Journal of Pure and Applied Mathematics,2010,64:253-304.

[4] SERVI L D,FINN STEVEN G.M/M/1 Queues with Working Vacations (M/M/1/WV)[J].Performance Evaluation,2002,50(1):41-52.

[5] CHANDRASEKARAN V M,INDHIRA K,SARAVANARAJAN M C,et al.A Survey on Working Vacation Queueing Models[J].International Journal of Pure and Applied Mathematics,2016,106(6):33-41.

[6] ZHANG Mian,HOU Zhengting.Performance Analysis of M/G/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234:2 977-2 985.

[7] KASIM EHMET.Semigroup Methods for the M/G/1 Queueing Model with Working Vacation and Vacation Interruption[J].Journal of Mathematics Research,2016,8(5):56-77.

[8] GUPUR GENI,LI Xuezhi,ZHU Guangtian.Functional Analysis Method in Queueing Theory[M].Hertfordshire:Research Information Ltd.,2001:139.