探索画圆求解线段最值的简便方法

姚跃贞

摘 要：近年来，关于线段最值问题受到名地中考试题的青睐，利用画圆求解线段最值，会使此类问题化难为易。

关键词：动点；线段最值；圆；基本模型

近年来，关于线段最值问题受到各地中考试题的青睐，并且问题呈现变化多、涉及面广、形式灵活的景象，解决此类问题常用的定（公）理有“两点之间线段最短，垂线段最短，三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边”。本文探索一种画圆求最值的方法。

一、基本模型

如图1，点P是⊙O外一点，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”易证得点P到⊙O的最小距离为PA，最大距离为PB。

如图2，点P是⊙O内一点，同理可得点P到⊙O的最小距离为PA，最大距离为PB。

归纳：利用“平面内一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长”解题。

例1，如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点D是AC边的中点，点A在x轴上运动时，点C随之在y轴运动，在运动过程中，求点B到原点的最大距离和最小距离。

解析：点A、B、C都是图形中的动点，点B的运动路径并不规则，但直角边AC的中点D的运动路径是规则的，始终在以O为圆心，OD为半径的圆上。当B、D、O三点在同一条直线上时，OB的长取得最大值或最小值。

由基本模型可知，最大值为OD+DB=4+2[13]，最小值為DB-OD=2[13]-4。

例2，如图4，在△ABC中，∠ACB=30°，AB=5，BC=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△ABC，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，点P的对应点是P，求线段EP长度的最大值与最小值。

解析：线段AB的中点E的运动路径为以B为圆心，BE长为半径的圆，P点离B点最远的点为C，最近的点为D（BD⊥AC于点D），因此最小值为D、E、B三点在同一条直线上时，即点P与点D重合。由已知∠ACB=30°，BC=8，得BD=4，则EP=4-2.5=1.5，当C、E、B三点在同一条直线上，且点EC分别在点B的两侧时，即点P与点C重合，则EP的长取得最大值，最大值为EP=8+2.5=10.5。

例3，如图5，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是AD边上的中点，P是AB边上的一个动点，将△AOP沿OP所在直线翻折得到△AOP，连接AC，则AC长度的最小值是多少？

解析：因为在翻折过程中OA长始终不变，所以点A的运动路径在以O为圆心，OA长为半径的圆弧上，所以当C、A、O三点在同一条直线上时，AC的长有最小值。由已知可得OC⊥AD，则OC=[3]，所以AC=OC-OA=[3]-1。

例4，如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值。

解析：由已知条件可知△ABE≌△COF，△ADG≌△CDG，则∠ABE=∠DCF=∠DAG，又因为∠ABE+∠AEB=90°，所以∠DAG+∠AEB=90°，则∠AHB=90°，所以无论E、F如何运动，点H始终在以AB长为直径的圆上运动，设AB的中点为O，连接OH、HD，则当O、H、D三点在同一直线上时，DB长度最小。由已知易求得OD=[5]，则DH=[5]-1。

二、拓展提升

例5，如图7，在平面直角坐标系中已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外的一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长度的最大值和最小值。

解析：将△APM绕着点P顺时针旋转90°，得到△PBN，连接AN，则△APN就是等腰直角三角形，所以PA=PN=2，BN=AM；则线段AM的最大值和最小值即线段BN的最大值和最小值。点N在以A为圆心，AN长为半径的圆上运动，当点N在BA的延长线上时，BN的长度取得最大值，最大值为2[2]+3；当点N在AB上时，BN的长度取得最小值，最小值为3-2[2]。

三、归纳反思

上面5个例题的解题关键都是找到动点运动路径为圆心的条件，再由三点共线求出线段长的最大值或最小值。由上述例题可归纳为两种动点路径为圆的条件：①到定点的距离等于定长；②动点与定线两端点构成直角三角形，以动点为直角顶点，在以定线为半径的圆上。

利用画圆来求线段最值，可以减轻学生的思维负担，让学生轻松获得知识，这是令人感到欣慰的。