浅析数学分析教学中绝对值不等式的证明方法

李霞

【摘 要】通过几个具体的实例，阐述了数学分析教学中绝对值不等式的证明方法。

【关键词】绝对值不等式；证明

中图分类号： G634.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）02-0115-002

【Abstract】Through several concrete examples，the proof methods of absolute value inequality in mathematical analysis teaching are expounded.

【Key words】Absolute inequality；Proof

《数学分析》是高等院校数学类专业和部分工科专业学生必修的一门基础理论课程。它所涉及的处理问题的思想、方法和技巧广泛应用到物理学、天文学、经济学等各个领域。而在《数学分析》学习过程中，从极限的证明到连续性分析再到定积分、级数等，绝对值不等式的证明可谓是重中之重。因此，能否找到最适合题目的绝对值不等式的证明办法，在很多情况下成了学习《数学分析》的关键所在。本文通过实例对绝对值不等式的证明方法加以探讨，以期对《数学分析》的教学与研究有所促进。

1 利用绝对值不等式的等价条件去掉绝对值号

证明绝对值不等式的最直接方法就是利用绝对值不等式的一些等价条件诸如：|x-a|xb？圳x>a+b或x

例1证明ax（a>0，a≠1）在任意点x0∈R连续[1].

证明对任意的x0∈R，因为|ax-a■|=a■|a■-1|，所以对任意给定的ε>0（不妨設ε

由定义知ax在点x0连续.

在本例中，由于绝对值号中式子形式简单，故采取利用等价条件直接去掉绝对值的方式，这种方法也可用在在两边夹定理的证明中。

2 加项减项，同时利用三角不等式对绝对值不等式进行拆分

在遇到绝对值内表达式跨越有限多项相加减时，我们可以将该式中缺少的项通过加项减项的形式表达出来，并利用三角不等式对绝对值进行展开，从而形成“通项”，便于证明绝对值不等式。如：

例2设a为常数，若数列{xn}满足条件■|x■-x■|

证明数列{xn}收敛[2].

证明令yn■|xk-xk-1|，（n=2，3，…）.显然数列{yn}单调增加并有上界a，所以数列{yn}收敛，由柯西收敛准则，对任意ε>0，当n>N时，对任意自然数p，有

而

由柯西收敛准则，数列{xn}收敛.

在本例中，绝对值内式子跨越数列的p+1项，类似的情况我们同样在柯西收敛定理与一致收敛的定义中可以见到，同时，这种思想在实变函数的学习过程中也有着更加广泛的应用。

3 利用已知恒等式或不等式对绝对值不等式进行放缩

例3设a>1，求证■■=1[1].

证明令bn=■-1，则bn>0，a=（1+bn）n≥1+nbn，

因而有■-1=b■≤■.

对于任给的ε>0，不妨设ε

取N=■，则当n>N时，就有■-1<ε.由定义知■■=1成立.（下转第114页）

（上接第115页）

本例通过伯努利不等式将绝对值内的式子进行代换，从而简单有效地解决了不等式的证明问题。

除了上述三种方法之外，绝对值不等式的处理方法还有很多，在解题过程中，重点还是要学会灵活应用，才能熟能生巧。

【参考文献】

[1]刘春根，等.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李世金，赵洁.数学分析解题方法600例[M].长春：东北师范大学出版社，1992.