中学数学的目标单元教学设计

高媛

传统的单元教学设计，知识的传授非常清晰，单元与单元之间的边界看上去也非常清晰，但教师的注意力往往集中在知识上，忽略思维方法和情感态度价值观的培养。因此，在一个知识单元中，很难甚至不可能完成对学生的某种思维方法或某种态度的培养。本文所讲的单元，是实现教学目标的相对完整的过程，是教学过程的质的基本单位，也是衡量教师教学和教材驾驭能力的基本单位，是课程螺旋式上升的基本单位，也是课程设计的基本单位。

在近两年的研究中，我们所设计的单元存在着不断扩大的三个层次：一节课内的调整；章节内的重组；跨越章的整合。针对每一个层次，我们都进行了教学实践，并摸索出了一些在该层次内进行目标单元教学设计的方法。

一、课内的调整

以“不等式的基本性质”一课为例。这节课原本的设计思路是：先复习等式性质，然后请学生类比及猜想不等式的性质，进而借助数验证关于不等式性质的猜想，得出性质，再利用不等式的性质解一些简单的不等式。经思考与重新设计，我们让学生先自己尝试去解不等式，然后说出自己为什么会认为用这样的步骤可以解不等式。这其实是引导学生觉察到自己是在类比解方程的步骤、等式的性质。其间，不要关注学生解的结果对错，而要关注解的过程。

在教学实践中，学生果然能够直接解简单的不等式，而通过对解集对错的分析，最终自然地将问题集中到算理上，即对不等式性质的探讨。其中，和等式性质类似的几条自然不会有异议，矛盾最集中的就是“不等式两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向是否改变”这一问题。学生在解释自己的做法正确时用了多种思路，如枚举、利用数轴数形结合地去看、分类讨论甚至用字母证明。这种充分的论证过程，让学生印象更加深刻，难点的突破显得很自然，证明中思想方法的使用更是超出教师预料。

这种设计最大的调整，是把教学过程“倒过来”，也就是将传统的先讲不等式的性质、再解不等式的教学顺序，调整为先解不等式，再从中梳理出不等式的性质。而这种调整的本质，是以学生研究问题、解决问题以及对解决问题过程的反思作为教学的基本线索。期间，教师对学生进行研究，根据学生的表现组织教学，这种教学模型叫做“基于学生研究的数学教学”模型（见图1）。

在“基于学生研究的数学教学”模型中，知识产生过程的教学部分包括两个阶段。

第一阶段为解决具体问题阶段，即“做数学”。“做数学”就是学生凭借自己已有的基础解决数学问题，如解简单不等式、解决一个实际问题等。这一阶段需要放手让学生去做，不规定方法，而是让学生充分展示自己面对问题时的各种想法，包括困难。

第二阶段为反思阶段，也就是让学生对“做数学”的过程进行分析。例如，解不等式的过程运用了哪些步骤，是怎么想到这些步骤的，觉得每个步骤可靠吗，为什么，是否有其他的方法等。反思阶段就是让学生对解决问题过程中的智慧或者困难进行展示，师生共同将“做数学”活动中获得的经验和教训作为素材进行分析，找到通性通法，概括为知识。

基于学生研究的教学模型重视“问题解决”在数学学习中的作用，力求为学生设计具有吸引力、挑战性的问题，为学生提供通过自主解决问题从而带来更多思想方法的可能。由于解决问题的过程会涉及更多的知识，特别是有可能会用到传统的教学计划中日后才要求掌握的知识，这就要求教师调整自己的教学设计单位，除了课时内的调整，还需要将章节内容进行重组，或者实施跨章节的整合。

二、章节内容的重组

在“二次函数”单元的起始课，我们选择的是非常常见的一道实际问题：如图2，用24米的篱笆靠墙（限宽10米）围矩形菜地，中间用篱笆截成左、右两部分，问所围菜地的最大面积为多少平方米？

不同的是，以往这一问题是单元知识学习完后，在二次函数的应用一节中出示，因为这个问题的解决几乎用到二次函数的全部重要知识：配方法求最值，且最大值在顶点处不能取到的情况，学生容易不考虑x的取值范围而出错，直接回答最值为48m2。但是我们在出示这个问题后，放手让学生去解决。

学生果然有行动、有想法，他们的方法很朴素，也出现了意料之中的错误。方法1：选择枚举求解二元不定方程，发现取值具有对称性，得到48m2。方法2：通过列代数式，利用配方法也求得48m2。在验证答案时，有人想到了10m限宽，如果x=4m，则不能围出菜地。

那么，到底菜地最大的面积是多少？用什么方法去求呢？通过对写在黑板上的x与S间的对应关系，学生逐渐意识到，自己正面对一个新的函数问题。而函数问题关注的是S随着x在符合要求内的变化而变化的关系，因此，首先要确定x的变化范围，然后可以借助表格、图像等方式刻画变化关系，通过分析，得到了x最小取值为14/3，最大為140/3。通过分析数表、图像和配方后的解析式，看到在x的取值范围内，S随着x取值变大，于是，确定当x=14/3时，面积达到最大140/3m2。

在对这个问题的解决过程的反思中，抛去具体情境，聚焦到这里出现的新函数的特征，根据解析式特征命名为二次函数，分析二次函数的定义以及定义带来的定义域的特点，从列表中，发现表格数据的对称性，画出图像后，同样验证了其对称性的特点，并发现图像有最高点，函数存在最值，进而提出：是不是所有的二次函数的数值和图像都有这种特征？为后面系统、细致的研究播下了问题的种子。

从解决体现知识价值的实际问题入手，由于问题的解决可能需要较多的知识，甚至可能需要用到按照原有教学计划还未曾学习的知识，这就需要扩大教学设计单位。“二次函数”单元就是一个典型。这一单元的起始课中的实际问题的解决，实际上用到了这章的许多重点、难点知识，然而，考虑到学生一次函数、一元二次方程的学习基础，学生是可以面对这样的问题的。

在章节内以问题解决为线索开展教学，带来的是教学内容的整合，教给学生的是知识结构而不是一个个的知识点。这样，知识的学习过程就会具有迁移性，而一些深层次问题的思考、提出与解决，则进一步要求跨越章、跨越年级的知识整合。

三、跨越章的整合

以“包装盒的设计”一课为例，从具体知识的角度看，主要是“正方体的展开图”，而一般的教学也都是以“正方体的展开图”作为课题名称，教学的过程则是为学生提供正方体盒子，请学生剪开、展平，得到各种形状的展开图，再通过几何画板进行演示、补充，得到所有的展开图，教给学生记忆的方法，然后进行辨析练习。其中，用于教学的正方体盒子，经常是教师提前根据图纸糊出来的。

我们则采用了一种新的设计思路：请学生设计图纸，使之能够折成一个正方体。这样的设计思路，背后是我们如下几点考虑。

第一，揭示知识的实用价值。知识的价值在于解决问题，特别是解决现实问题。在现实中，正方体的展开图并非用于剪开正方体盒子并将其展平，而是为了得到正方体的包装盒的设计图纸，因此，本节课先向学生展示一个精美包装盒，提出“这个包装盒是怎样得到的”这一问题，经分析学生认识到其中的关键是图纸，接下来明确学生需要解决的问题：还原设计师的设计过程，设计一个可以折成正方体的图纸。

第二，展开初中几何核心问题与概念的全景图。一个班40名学生至少能设计出40张图纸，但这些设计图有很多是相同的，那么，在什么情况下是相同的？这就涉及几何中的全等、相似概念，而判断全等、相似的方法，则涉及旋转、轴对称、平移等概念，所以，通过“我们到底设计出了多少个方案”的问题的探讨，学生思维深处的这些概念被激活，关于几何研究的主要问题的全景图也在教师的引导下被打开。

第三，体会研究几何问题的基本方法。40名学生未必能够产生全部的正方体的展开图，而在将重复的方案拿出后，对余下的方案进行认识的最基本的步骤就是分类。通过分类，这些方案变得有了一定的关系、秩序和规律，新的问题也自然涌现：是否我们找全了所有的设计方案？为了解决这个问题，需要借助分类后的方案系统思考每种类型是否还有其他可能。从简到繁，逐步走向完善。期间，又必须借助分析推理、空间想象、实验操作等方法。

这样，“正方体的展开图”这一并非很重要的具體知识就成为了让学生整体认识几何研究的对象、问题、方法的载体，在初中“图形与几何”领域中的其他诸如三角形、四边形、圆等对象的学习中，这些问题与方法将被反复应用。学生在积累越来越多的几何具体知识的同时，也会不断深化对“几何到底研究什么问题、应用什么研究方法”的认识与理解。

（作者单位：北京市第十三中学分校；指导教师：北京教育学院顿继安）

责任编辑：肖佳晓