张立刚 段晓晓
一、抛物线天下一家
解析几何中,方程y2=2px的图形称抛物线;函数中,二次函数y=ax2的图象也称抛物线.于是发问:这两种抛物线是一家人吗?
【例1】二次函数y=14x2+1的图象如下:
试探索,平面上是否存在这样的定直线l和定点F,使得图象上任何一点P(x,y),到F的距离与到l的距离相等?
【解答】(配方法)由等式y=14x2+1两边乘以4并移项:x2-4y+4=0,
两边同时加上y2,得x2+(y-2)2=y2,
两边开平方,同取算术根,得14x2=|y| (※)
用距离公式看待式子(※),此式表明:抛物线上动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与到定直线y=0的距離相等.
【说明】二次函数y=14x2+1的图象可视为:到定点(0,2)与定直线y=0的点的轨迹(集合).看来,二次函数的图象与二次方程y2=2px的图形是同一家人.
【另解】(标准方程法)由y=14x2+1得x2=4(y-4),
它是抛物线x′ 2=4y′ 2上移1个单位的结果,后者的焦点数P=2,焦点F(0,1),准线l′ 为y=-1.
上移1个单位后, 的焦点为F(0,2),准线为y=0.
【说明】二次函数的图象只是抛物线图形的一种特殊形式(开口向上或向下),它统一于抛物线的共性之中:到定点(焦点)和定直线(准线)距离相等的点的轨迹(集合).
二、抛物线全族相似
抛物线y2=2x有些特殊,焦参数——焦点F到准线l的距离P=1,焦点到顶点距离为P2=12,顶点到准线的距离也是P2=12.
像单位圆一样,有人称这种抛物线为“单位抛物线”,
当x=P2=12时,得抛物线的垂直焦半径|FP|=|y|=1.
垂直焦半径端点P到顶点O的距离为|OP|=62,它是抛物线的一条特殊的顶点弦.
有了这些,我们可以研究抛物线族y2=2px与单位抛物线y2=2x的关系.
从作图可知,抛物线y2=4x由抛物线y2=2x放缩而得,或者说它们相似,相似比λ=OTOQ=P=2.
不难发现,抛物线族y2=2px中每条抛物线都与单位抛物线y2=2x相似,相似比为λ=P1=P,相似中心是顶点O.
三、通径抛物线最短的焦径
连结抛物线上任意两点间的线段称作抛物线的弦,过焦点的弦称作抛物线的焦径.
和圆不一样,圆的直径长是个常数,而抛物线的焦径则是个变数.
直观地,抛物线的焦径可以增到无穷大,因此,抛物线的焦径无最大值.那么,抛物线的焦径有最小值吗?
【例3】设抛物线x2=2py的焦点为F(0,P2),P1P2是抛物线的一条焦径,求|P1P2|的取值范围.
【解答】(解析法)设P1P2的点斜式方程为y-P2=kx,
联立 ,x2=2py
y-P2=kx
得x2-2pkx-p2=0→x1+x2=2pk,x1x2=-p2,
|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·(2pk)2+4p2
=(1+k2)·2p≥2p.
等号成立条件是k=0.
|P1P2|的最小值为2p,值域为[2p,+∞).
【说明】当k=0时,焦径P1P2垂直于y轴,成为抛物线的通径,因此,通径是抛物线最短焦径.
四、焦半径谁的增函数
连结抛物线(y2=2px)上一点和焦点的线段称抛物线的焦半径.注意,焦半径不一定是焦径的一半,除非焦径是通径.
直观地,焦半径的长度可以增向无穷大,因此无最大值.那么,抛物线的焦半径应该有最小值.这个最小值是通径的一半吗?
【例4】探求抛物线y2=2px焦半径的取值范围.
【解答】设焦半径的端点为P(x,y),则有|PF|=(x-p2)2+y2
利用y2=2px消去y,得|PF|=(x-p2)2+2px=(x+p2)2=p2+x .
当x→∞,|PF|→∞;当x=0时,得|PF|的最小值为p2.
故y2=2px焦半径的取值范围为[p2,0).
【说明】抛物线y2=2px的焦半径公式r焦=p2+x,表明焦半径是横坐标x 的一次函数,且在[0,+∞)上递增.
特别地,x=p2时,|PF|=p2+p2=p,即抛物线y2=2px的通半径长为p.
x=0时,焦半径得到最小值p2.
注意,在抛物线y2=-2px中,焦半径是x 的减函数:r 焦=p2-x.
同理,在x2=2py中,焦半径是y 的增函数:r 焦=p2+y;在x2=-2py中,焦半径是y的减函数:r 焦=p2-y.
(作者单位:山东省淄博第七中学)