思维导图“秒杀”高考数学选择题的案例研究

牛鹏羽 冯玉娟

【内容摘要】本文对2013-2017年全国Ⅱ卷高考文科数学选择题进行了研究，給出了四种所谓的“秒杀”方法，希望对大家有所启发。

【关键词】思维导图“秒杀”选择题案例研究

引言

思维导图又叫心智导图，是表达发散性思维的有效的图形思维工具 ，它简单却又很有效，是一种革命性的思维工具。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。笔者将思维导图和“怎样解题表”给学生作了介绍，并通过训练，使得学生解高考题的效率大大提高了，下面通过几道具体的例子来说明。

一、案例研究

1.巧用平面几何秒杀高考题

例1（2013，4）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b=2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为（）

A. 23+2B.3+1

C. 23-2D.3-1

秒杀法：做高AD，则AD=DC=2，BD=6，S△ABC=12（6+2）·2=3+1.选B.

例2（2017，12）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率3的直线交C于点，

M（M在x轴的上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）

A.5B.22C. 23D.33

秒杀法：k=3知∠MFx=60°，∠FMN=60°.又MN=MF，故∠MFN=∠NFO=60°.

又OF=1，故NF=4.则M到直线NF的距离即正△MNF的高为4×32=23.故选C.

点评：例1若用正弦、余弦定理及正弦面积公式求解，就犯了小题大做的大忌。例2若用解析几何中直线与抛物线的方程去求解，也会徒增运算量。而利用平面几何知识可以迅速、准确地得到答案，可谓事半功倍！

2.巧用题干信息秒杀高考题

例5（2013，12）若存在正数x使 成立，则 的取值范围是（）

若存在正数x使2x （x-a）<1成立，则a的取值范围是（）

A.（-∞，+∞）B.（-2，+∞）

C.（0，+∞）D.（-1，+∞）

秒杀法：令a=0，则2x·x<1即x<（12）x，由图象知满足题意排除C.

令a=-1，则2x （x+1）<1即x+1<（12）x，由图象知不合题意，排除A、B 故选D.

例6（2016，12）已知函数 f （x）（x∈R）满足f （x） =f （2-x），若函数y=|x2-2x-3|与

y=f （x） 图象的交点为（x1，y1）， （x2，y2），…（xm，ym）， 则∑mi=1xi=（）

A.0B.mC.2mD.4m

秒杀法：由f （x） =f （2-x）得函数f （x）的图象关于直线x=1对称.不妨令f （x）=0，

则函数y=|x2-2x-3|的图象与f （x）=0的图象交于两点（-1，0）和（3，0），

即m=2， x1=-1， x2=3，则∑2i=1xi=-1+3=2=m，故选B.

点评：当题干中含有参数时，可以将参数的值适当特殊化，或者将不确定的条件在不改变原来题意的前提下特殊化，亦能快速、有效地得到答案 。

3.巧用选项信息秒杀高考题

例7（2014，11）若函数f （x）=kx-ln x在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）

A.（-∞，-2]B.（-∞，-1]

C.（2， +∞]D.[1， +∞）

秒杀法：令k=1则f （x）= x-ln x，所以f ′ （x）= 1-1x.当x∈（1， +∞）时， f ′（x）>0，即

f （x）= x-ln x在（1，+∞）上单调递增，符合题意，故选D.

例8（2015，12）设函数f （x）= ln（1+|x|）-11+x2，则使得 f （x） >f （2x-1）成立的 x的取值范围是（）

A. 〔13，1〕B.〔-∞，13〕∪（1， +∞）

C.〔-13，13〕D.〔-∞，-13〕∪〔13， +∞〕

秒杀法：令x=1，则f （1）>f （2×1-1）（= f （1））这本身是一个不可能成立的式子，排除D.

再令x=0，则f （0）>f （-1）.而f （0）=-1

点评：仔细观察选项中范围的设置，取选项之间的差异性特殊值，可以逐步排干扰性选项，进而获得正确答案.

4.双管齐下秒杀高考题

例9（2013，11）已知函数f （x）=x3+ax2+bx+c，则下列结论中错误的是（）

A.Эx0∈R，f （x0）=0

B.函数y=f （x）的图象是中心对称图形

C.若x0是 f （x）的极小值点，则f （x）在区间（-∞，x0）上单调递减

D.若x0是 f （x）的极小值点，则f ′（x0） =0

秒杀法：直接看选项C，熟知极值是函数的局部性质，故错误，经验证D正确，故选C.

例10（2015，3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；

B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；

C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；

D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关.

点评：有一种题叫做只能用排除法做的题，即如果不给出选项便没法做.从心里学的角度和考试命题的科学角度来讲，这种题的正确选项一般来说靠后，即是C或者D，而且错误的选项往往错的很离谱，很明显，再稍加验证另一选项便可得正确答案。

结束语

每年各个地方高考试卷中的题目虽然不尽相同，学生们在解题时的思维也千差万别，但只要我们平时养成仔细观察、深入分析的良好思维品质，就可以游刃有余地对付高考选择题了。

【参考文献】

[1] G.波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育教育出版社，2007.

【课题名称：思维导图“秒杀”高考数学选择题的案例研究；课题编号：GS[2016]GHB0280 】

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第二中学；甘肃省嘉峪关市第一中学）