智慧课堂下的智慧

董兆国

【摘要】在初中数学教学中培养学生的创新性思维，应注意为学生的“收敛思维与发散思维”“逻辑思维与非逻辑思维”提供问题情境和恰当的活动形式。近几年在互联网+时代下的智慧课堂引导下，作者也在平面几何课堂中通过几个方面的训练来培养学生的创新思维，即利用“一题多解” “一题多变”“一图多用”“一图多变”的训练来培养学生的创新思维。

【关键词】 平面几何课堂；创新思维；培养

所谓数学创新性思维，是指思维的结果或处理问题的方法带有新颖性，独特性。从思维过程的状态来看，创新性思维在总体上是表现为：……→收敛思维→发散思维→收敛思维→……发散以便于联想，寻找各种“旧”知识之间可能的“新”组合，发现推理的起点。从思维的逻辑形式来看，数学创新性思维中既含有逻辑思维的成分，也含有直觉思维的成分。在初中数学教学中培养学生的创新性思维，应注意为学生的“收敛思维与发散思维”“逻辑思维与非逻辑思维”提供问题情境和恰当的活动形式。

时代在发展，现在的课堂已经不再像过去老师讲，学生听，而是进入了“互联网+”时代的智慧课堂，学生开始主动学习。“互联网+”时代的智慧课堂包括学生个性学习、学生之间互动学习、移动学习、网络学习等，让学习有效果，成绩有提高；教师高效教学，课前认真备课、预设问题，课中参与学生学习，课后总结反思等创新教与学模式，减轻教师负担，把教师从烦琐的事务解放出来。学生知识的获得也不是单一通过课堂，而是多方位，多角度。社会发展，人才竞争，都呼唤创新型的人才。教师是创新型人才的直接培养者，在教学中应注重启发和培养学生的创新思维，发展他们的创新才能。新课程标准也要求教师是学生学习的组织者和合作者，是学生的学习伙伴。老师要将课堂退还给学生，让学生自主学习，去争议，去讨论，去发現。有些老师认为，新课标下的初中几何对学生要求低，达不到训练学生创新思维的目的。其实许多几何题具有代表性和典型性，教师在教学中要教会学生去挖掘题中的潜在内涵和外延，让学生学会在学数学的基础上去做数学，感悟数学，这样不仅可以培养学生的创新思维，更能教会学生爱创新、敢创新的好品德。在多年的数学教学中，尤其近几年在互联网+时代下的智慧课堂，让我对平面几何教学中充分发挥学生的创新思维有了新的认识。下面从本人课堂的几个片段去浅谈如何培养学生的创新思维。

一、利用“一题多解”的训练来培养学生的创新思维

对于一道能用几种解法的题目，应该鼓励学生用不同的思维方式，从不同的思维角度去寻找多种解题的方法，这样不仅有利于培养学生灵活运用知识的能力，而且有助于培养学生发散思维。

【例1】如图，已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC， ∠B=∠C.求证：BO=CO.

本题是在全等三角形的复习课上出现的例题，题目刚出现就有一个同学甲说：“连接AO，因为AB=AC，∠B=∠C，AO=AO，所以可证ΔABO≌ΔACO。”这个同学刚说完就有另一个学生乙提出：“这两个三角形不全等。”“全等。”其他同学大声地喊道。这时班里的同学们像炸开了锅，争得面红耳赤。就在这时，同学丙站起来说：“这两个三角形是全等的，但是它们不能用连接AO直接证明全等，因为我们是用‘边边角的方法证明全等，这显然是错误的……”这时大多数同学才醒悟，明白先证ΔABE≌ΔACD得AD=CE，再进一步证ΔBOD≌ΔCOE，从而得BO=CO。我并没有继续追问，只是沉默了一会儿，突然有一个同学在下面喊起来：“连接BC，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，又已知∠ABE=∠ACD，则∠OBC=∠OCB，所以OB=OC。”同学们听完后报以热烈的掌声。通过这样争议、讨论，同学们不仅清楚地知道证线段相等的方法，而且进一步掌握了用‘边角边证三角形全等的条件，同时也培养了学生的求异思维和创新的思维。

二、利用 “一题多变”的训练来培养学生的创新思维

有些几何题中，可以改变原题中某些条件，引出与原题相类似的题目，经过学生的钻研，应用，从而加强此类题目的横向和纵向联系，能够起到举一反三、触类旁通的效果，培养学生思维的变通性和准确性。如在原题中已知条件不变的情况下，深挖结论的多种形式和结论的延伸变化，从而开阔学生的解题途径和方法，培养学生的发散思维，使其形成不断探索问题的精神；把原题中图形进行适当位置变化，而结论相似，从而使学生从图形变化中概括总结出解题方法，培养学生思维的收敛性和流畅性等。

【例2】如图①，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E.

求证：BD=DE+CE

证明过程（略）

在同学们完成本题以后，我提出这样一个问题：“请同学们认真读题，能否只改变题中的某一个条件，得到与上题的类似的结论？”这是一个开放性问题，也比较难，学生沉默会儿，就主动进行小组合作学习，相互讨论。有同学提出“将直线AE绕点A旋转， 使点B、C在AE的同侧，它的结论是BD=DE-CE”，如图②。我让他利用小平板拍照上传展示了证明过程……在同学们的掌声之后突然有一个学生提出：“老师，在旋转过程中，结论在什么时候开始变化？旋转前后的结论还有新的变化吗？”“问得好，谁能回答这个问题？”经过同学们的再一番思考、讨论得出了正确的结论。这种“问题学习”的数学教学方式既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生动手实践能力、观察能力和自学能力，同时，也向学生渗透了“实践—认识—再实践—再认识”的辩证观点，使学生充分感受到发现问题和解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创造性思维。这样通过“一题多变”把所学的知识内容串在一起，达到融会贯通的目的，使学生学得自如，用得灵活，同时拓展了学生的解题思路，不断发展学生的创新思维，从而提高学生解题能力和应变能力。

三、利用 “一图多用”来培养学生的创新思维

几何学是研究几何图形性质的科学，将某一些典型图形剖析、挖掘、联想、探讨、完善图形，可引出多种结论，由易到难，互相关联，前一题为后一题论证，后一题应用前一题证得的结论，虽然有的难度较大，但受前一题的启发也能化难为易，发展了学生应变能力和创新思维能力。

【例3】如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE.给出下列五个关系式：①AD∥CB ②DE=CE ③∠1=∠2 ④∠3=∠4 ⑤AD+BC=AB，将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题.

（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果……那么……），并给出证明。

（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）。

（3）加分题：真命题不止以上四个，想一想就能够写出几个真命题，每多写出一个真命题，就给你加1分。

这又是一道开放题，要求学生能够准确地写出真命题，尤其是第（3）小问难度较大。题中虽然没有要求证明，但要写出的是真命题，就要求学生知道它成立的理由，让同学们在争议中知道正确的答案。因此，利用“一图多用”来引导学生挖掘题中条件与结论之间内界联系，不仅培养学生联想、探讨、应变能力和创新思维能力，还能培养学生严密的逻辑思维能力。

四、利用“一图多变”的训练来培养学生的创新思维

初中几何中的许多问题，大都在长期的历史长河中，不断地演变、引申、拓展，从而派生出现所谓“习题精华”“解题大全”，可你不可能尝试所有题目，这就要求学生对某个题寻找解的过程中，总结、探索规律，引导学生正本清源、由表及里、顾次及彼，用心观察，刨根究底，设疑解答，进行全方位的探求，去认识它的真面目，使学生活跃思想，开发智力，提高学生的解题能力。

【例4】如图①，已知⊙A的半径是2，⊙B与⊙A相内切，且⊙B经过A点，⊙A的弦CD切⊙B于E点，求图中的阴影部分的面积.

解答（略）

在上述条件不变的情况下，如图②，求图中的阴影部分的面积。

（注意图②与图①的区别）

本题中求图①的阴影部分面积较简单，而要求图②的阴影部分面积就比较困难，这就要求学生学会利用分割图形求面积的方法，这里就不介绍具体的解法了。所以，利用“一图多变”对题中的条件或结论进行演变、引申、拓展来训练和培养学生的求异思维和创新思维有巨大的作用。

总之，创新思维的培养重在平时坚持，日积月累必将收到成效。师生都要树立创新意识，教学中不要囿于参考书，要动手解题、动手编题，即使是成题，也要尽可能找出更好的解法教给学生，并指导学生也能想出更好的解法，师生都要做到在不疑处生疑，时刻树立创新意识，让学生天天都能有或大或小或多或少的创新，我们的教学便充满生机与活力。同时在数学教学中，要注重拓寬学生的知识视野，发掘学生的好奇心，激发他们求知欲，启发学生的创新思维，提高他们的创新能力，鼓励他们创造发明，使他们都能成为我国科学技术现代化的后备人才，为更快更好地实现伟大复兴的中国梦奠定人才基础。