简单化处理——数学的不懈追求

赵 刚

（山东淄博第四中学，山东 淄博）

我们都知道爱迪生测量灯泡容积的故事，故事的内容不再赘述.这个故事告诉我们：可以把一个相对复杂的问题进行简单化处理.如何对一个复杂的问题进行简单化处理，彰显的是我们对复杂问题本质的理解与把握.同时自然科学研究的最高使命是从繁杂中整理出秩序，秩序就意味着真理，意味着简洁.简单性是科学工作者一贯追求的目标.正如莎士比亚所说：“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰.”

那么在高中数学学习的过程中，“简单化处理”能带给我们哪些启示呢？

一、数学学习中的“简单化处理”

“简单化处理”应孕育在平时的潜移默化的教学之中，只有教师不失时机地引导学生去领悟教材如何对一些数学内容进行“简单化处理”，才能让学生感悟到“简单化处理”的意义和作用，通过“简单化处理”使学生更加明确要掌握数学学习的本质，提高数学学科的核心素养.我们从课本中的几处定义说起.

1.异面直线所成的角（或夹角）

异面直线所成的角（或夹角）的定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b 我们把 a′与 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.在这个定义中，O点是空间中任意一点，既然任意，所以课本才有下面一段话！

为了简便（即简单化处理），点O常取在两条异面直线中的一条上.正因为这样，我们在求解两条异面直线所成角时，对点O的处理本着简单化原则进行处理.

2.任意角的三角函数

人教A版必修四是这样定义“任意角的三角函数”的.

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

（1）y叫做 α 的正弦，记作 sinα，即 sinα=y；

（2）x叫做 α 的余弦，记作 cosα，即 cosα=x；

在课本的这个定义中，为什么引进单位圆？引进单位圆的意义是什么？课本都没有交代.

任意角的三角函数应这样定义比较好：

设α是一个任意角，在它终边上任取一点P（x，y），这个点P（x，y）到原点O的距离记为r，则那么有（x≠0）.又因为 P（x，y）为角 α 终边上任意一点，既然任意，为了简单——数学所追求的境界，取r=1，这样就有sinα=y、cosα=x.并且这样理解以后，也就能理解课本中关于正切线的定义了——也是为了“简单”，取了“x=1”.

二、数学思维中的“简单化处理”

面对繁杂的数学问题，如何透过现象看到问题本质，对问题做简单化处理，不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.对学生来说，则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新，是一种精神的升华和对数学美的追求.

1.平面向量

平面内有无数多个向量，我们不可能一一进行研究，那该如何处理呢？这就是平面向量的基本定理，即我们可以把平面内无数多个向量进行简单化处理，转化为平面内不共线的两个向量即可.即我们在用向量知识与方法处理数学问题时，做的第一件事就是建立一组基底，还要注意基底的最高境界是单位正交基底——平面直角坐标系.

例 1.在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1．D 是边 BC 上的一点，DC=2BD，则=_______．

由于 D 是边 BC 上的一点，且 DC=2BD，所以有故而这样

此题还可以建立直角坐标系——基底的最高境界，利用坐标的运算解决问题，请读者自己给出.

2.解析几何

解析几何的问题做一简单化处理就是可以把它浓缩成三种交点：即直线与直线交点；直线与圆锥曲线交点；圆锥曲线间的交点.对于这三种交点我们会采取不同的策略来处理.

对于直线与直线交点，我们的处理策略是将直线方程联立，解出交点坐标；对于直线与圆锥曲线的交点，我们的处理策略采用大家都非常熟悉的“设而不求”的处理策略。下面通过例题说一说圆锥曲线间的交点处理策略.

解析：椭圆与双曲线的交点P就其本意而言，我们应该将其方程组成方程组从中求出P的坐标，再利用P的坐标和F1、F2的坐标，求∠cosF1PF2的大小.

当然了，这样做无可厚非，只是过程复杂了一点.

但这个题我们并不需要这样做，只是将交点P看成是椭圆和双曲线上的点来使用即可.

所以在碰到有关圆锥曲线间的交点问题时，交点坐标是不需要求的，只是将交点分别看成是圆锥曲线上的点即可.

总之，数学教学不仅要善于引导学生探索知识内部错综复杂的细节，认知知识核心及其整体结构，还要善于引导学生领悟将复杂的数学问题进行简单化处理的数学思想和策略智慧，带领学生达到鸟瞰数学的境界．