p空间上的乘子

秦 杰, 黄 穗

(重庆师范大学 数学科学学院, 重庆 401331)

1 预备知识

对任意p≥1,p是Banach空间,它的范数定义为

特别地,当p=2,2为Hilbert空间.若φ∈2,则有

|φ(n)|<∞,n∈Z+,

(1)

它的范数为

若φ∈∞,则Mφ称为2的乘子,φ称为乘子的符号,如果

Mφf=φf,f∈2.

本文将推广L2(E,μ)上乘子的性质,如自伴性、幂等性、谱理论及其代数性质.此外,还将证明2是∞的乘子空间,及p的乘子空间为∞.

2 主要结论

Hilbert空间H(≠{0})是特殊的Banach空间，并且每一个Hilbert空间H都存在一个标准正交基,对任意f∈H,有唯一表示.首先证明Hilbert空间2上乘子的性质.

定理2.1Mφ是有界线性算子.

证明若f,g∈2,λ1,λ2∈C,Mφ为2上的算子,使得Mφf=φf，则

Mφ(λ1f+λ2g)=φ(λ1f+λ2g)=

λ1φf+λ2φg=λ1Mφf+λ2Mφg，

显然,Mφ是线性算子.

下证Mφ有界.若φ∈∞,则

|φ(n)|≤‖φ‖∞,n∈Z+.

因为

因此

‖φ‖∞‖f‖2,

所以

‖Mφ‖≤‖φ‖∞.

定理2.2若φ∈∞,则‖Mφ‖=‖φ‖∞.

证明利用定理2.1,则有

‖Mφ‖≤‖φ‖∞.

下证‖Mφ‖≥‖φ‖∞,若φ∈∞,f∈2,令En表示

{i∈Z+:|φ(i)|≥‖φ‖∞-1/n},

令

(2)

则

通过(2)式有

(‖φ‖∞-1/n)‖IEn‖2，

因此

‖Mφ‖=‖φ‖∞.

令

M={Mφ:φ∈∞},

则M为代数，并有

Mφ+Mψ=Mφ+ψ,MφMψ=Mφψ.

定理2.3Mφ自伴当且仅当φ是实函数，Mφ幂等当且仅当φ=φ2，Mφ为投影当且仅当φ为特征函数.

证明f,g∈2,φ∈∞,则

(3)

若Mφ幂等,则

当且仅当φ=φ2，易知,Mφ为投影当且仅当φ为特征函数.

若λ∈C,φ∈∞,令

φ-λ={φ(n)-λ:n∈Z+},

R(φ)={φ(n):n∈Z+}.

定理2.4σ(Mφ)⊂R(φ).

证明对任意λ∈C,f∈2,φ∈∞，有

(Mφ-λ)f=Mφf-λf=(φ-λ)f=Mφ-λf,

因此，Mφ-λ与Mφ-λ在2上等价.若λ∉R(φ),对∀n∈Z+,则φ(n)-λ≠0,即是φ-λ可逆,所以Mφ-λ可逆,因此λ∉σ(Mφ),σ(Mφ)R(φ).

定理2.5设ψ是∞到M的映射,定义ψ(φ)=Mφ,则ψ是从∞到M的*-等距同构.

下证ψ为等距,因为‖Mφ‖=‖φ‖∞,所以

‖ψ(φ)‖=‖Mφ‖=‖φ‖∞,

因此ψ是到M上的等距映射.

若H是Hilbert空间,则L(H)的子代数M称为极大阿贝尔,如果M是可交换的,并且不真包含在任何L(H)的交换子代数中.接下来讨论M、∞及L(2)之间的联系.

定理2.6代数M={Mφ:φ∈∞}是L(2)上的极大阿贝尔.

证明因为2是Hilbert空间,因此2存在标准正交基

令T为2上的算子，且与M交换.

若令

ψ=((Te1(1)),(Te2(2)),…,(Ten(n)),…),

令

对任意f∈2,有

因为T是线性的,因此

故T与ψ在2上等价.

此外,Mφ∈M,k∈Z+,则

(TMφf)(k)=(Tφf)(k)=

(φψf)(k)=(φTf)(k)=(MφT)(k).

因此T与φ交换.

下证ψ∈∞.因为T是2上的算子,则Ten∈2,即是

则

|(Ten)(k)|≤‖Ten‖≤‖T‖,

故

ψ=((Te1(1)),(Te2(2)),…,(Ten(n)),…),

根据(1)式,ψ∈∞.最后,令T=Mψ,故M是极大阿贝尔.

定理2.7∞与M等距同构,∞是2的乘子.

证明根据定理2.5和定理2.6,易知∞与M等距同构,且∞是2的乘子.

接下来的定理总结极大阿贝尔M的相关性质和讨论算子在M上谱的性质并证明.

证明若λ则T-λ在中可逆,且(T-λ)-1存在,即是λσ(T),因此

(T-λ)-1(T-λ)=I,
(T-λ)-1(T-λ)S=S,

因此

(T-λ)-1(T-λ)S(T-λ)-1=S(T-λ)-1.

(T-λ)S=S(T-λ),

(T-λ)-1S=(T-λ)-1(T-λ)S(T-λ)-1=

(T-λ)-1S(T-λ)(T-λ)-1=S(T-λ)-1，

引理2.9若φ∈∞,则

σ(φ)=R(φ)={φ(n):n∈Z+}.

证明令

λ∈C,φ-λ={φ(n)-λ:n∈Z+}.

若λ∉σ(φ),则存在(φ-λ)-1,即是φ(n)≠λ,n∈Z+,λ∉R(φ),因此,σ(φ)⊇R(φ).

下证σ(φ)⊆R(φ).若λ∉R(φ),则有(φ(n)-λ)-1在C中可逆,即存在(φ-λ)-1,因此，λ∉σ(φ),σ(φ)⊆R(φ).

定理2.10若φ∈∞,则σ(Mφ)=R(φ).

证明因为M={Mφ:φ∈∞}是极大阿贝尔,根据定理2.5、定理2.8和引理2.9,有R与∞同构,因此

σ(Mφ)=σM(Mφ)=σ(Mφ)=σ(φ)=R(φ).

设ψ是∞到M的映射,定义ψ(φ)=Mφ.若f∈p,φ∈∞,定义Mφ是从p到p的映射，使得

Mφf=φf.

(4)

因为

因此,Mφf∈p.故(4)式是良定义的,所以Mφ是p上的乘子.

利用定理2.6的证明方法,可知M={Mφ:φ∈∞}是L(p)上的极大阿贝尔.

显然,Mφ是一个有界线性算子.利用定理2.1和定理2.2的证明方法易证‖Mφ‖=‖φ‖∞,其中ψ(φ)=Mφ是从∞到M的映射,通过定理2.5的证明可知，ψ是从∞到M上的等距同构映射.

定理2.11∞是p的乘子空间.

证明只需在证明方法上做一些改变就能得到上述结论.据前文可知,Mφ是p上的乘子,

M={Mφ:φ∈∞}

致谢重庆师范大学研究生科研创新项目 (YKC17010)对本文给予了资助，谨致谢意.

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