空间轨道交会非线性优化方法研究

周新耀，陶勇鹏，曾 亮，周 亮

(上海机电工程研究所，上海 201109)

0 引言

航天技术的发展，以人造卫星进入太空为起始点，迄今50年来取得长足的进步。在第一颗人造卫星成功发射后，各国就发现它在军事中的巨大潜力，早在20世纪60年代美国总统肯尼迪就说过：谁掌握了太空，谁就能更有效地控制地球。美、俄等超级大国更是不遗余力地进行着空间飞行器的研究，不断抢占太空资源，力图掌握绝对的制天权。

空间资源争夺的形势日趋严峻，必然促进各种空间飞行器的发展，随着空间格局的变化，空间交会越来越受到各国的重视。交会过程燃料消耗的多少很大程度上决定了交会任务是否能够圆满完成，因此交会轨道的优化和控制具有重要的意义[1]。

目前冲量交会基本都是基于Lambert问题[1-2]和基于微分修正法[3]的单脉冲交会，而Lambert问题是以中心引力体为模型，没有考虑引力摄动因素，存在一定的误差。单脉冲交会不存在优化问题，但进行远距离交会时消耗燃料太多。因此采用优化后的多脉冲交会，可以有效地节省燃料和时间[4-11]。

本文在考虑地球扁率J2摄动影响的情况下，采用非线性规划方法对于远距离情况求解多冲量最优空间交会问题，避开了求解两点边值问题的复杂数学计算，很方便地得到多冲量交会的最优解。在建立普遍适用的空间飞行器数学模型的基础上，通过迭代算法估算交会时间从而确定预定交会点，进而按照时间、能量以及末端约束条件，建立了用于求解多脉冲最优交会的非线性规划模型；实现对双脉冲固定时间交会轨道进行优化设计，进而得到最优速度增量的大小、方向和作用时间，但实际过程中，飞行器推力系统并不能提供一个瞬时速度增量，因此采用速度增益导引方法，实现交会轨道优化方案[12-14]。最后通过数学仿真试验证明了该方法的有效性。

1 数学模型的建立

定义地心赤道惯性坐标系(O-xiyizi)，坐标系原点O在地球中心，平面xiyi和地球赤道平面重合，xi轴指向春分点，zi轴沿着地球旋转轴(即垂直于赤道平面)，指向北极。yi轴与xi轴、zi轴构成右手直角坐标系[9]。

在地心赤道惯性坐标系中，考虑地球扁平J2摄动作用的情况下，航天器运行轨道方程为

(1)

式中:r为航天器地心距矢量;r为r的模;v为航天器速度矢量;f为地球J2摄动加速度;μ=3.986×105km3/s2为地球引力常数。a为发动机推力的加速度矢量；f在地心惯性坐标系中的分量为

(2)

式中:x、y、z为航天器在地心惯性坐标系中的坐标;J2=1.082 64×10-3为地球引力势的二阶带谐系数；Re=6 378.14 km为地球半径。

(3)

2 预测交会点确定

为了达到交会的目的，必须先在目标航天器运行轨道上找到一个合适的预测交会点，预测交会点是有条件的，并不是目标将运行到的任何一点都能作为预测交会点。理论上，在运行时间确定后，空间的两点间总能找到一条轨道。但预测交会点的选取必须合理，否则得到的变轨速度增量将超过实际许可，交会无法进行；或者交会轨道不合理，穿过地球表面等[4]。实际上，在交会航天器与目标航天器轨道为近圆的条件下，确定预测交会点的主要思想是：估算交会航天器和目标航天器运行到预测交会点的时间，如果两者能够大致相等，则此预测交会点是可取的。具体方法如图1所示[5]。

图1 预测交会点确定Fig.1 Determination of predictive interception point

已知一条空间轨道上的两点r1,r2,则两点之间的运行时间估算公式为

(4)

(5)

初始条件给定了此刻的交会航天器和目标航天器的位置(分别为r1和r)和速度矢量。先利用数值方法对目标进行某个步长的轨道递推，得到目标的一个步长后的位置矢量，设为r2,再利用刚才的方法分别估算交会航天器和目标航天器从初始位置运行到此位置矢量的大致时间，设为Δt1,Δt2。如此重复，直到|1-Δt1/Δt2|<ε，便可得到预测交会点，它可保证比较容易地实现交会航天器与目标航天器同时到达此位置。当然，在递推过程中，必须对递推步数作个限制，一般将目标航天器的递推限制在一个周期内，如在此之内|1-Δt1/Δt2|一直大于ε，则认为当前的初始条件不能进行交会。

3 远距离交会轨道优化

3.1 最优交会的非线性规划模型

首先对航天器多脉冲交会轨道进行非线性规划，规划过程中的约束条件如下：

1) 运动状态约束

飞行器在脉冲施加点按照式(1)的规律运行。以x表示飞行器的状态矢量(3个位置和3个速度矢量)，令式(1)为Φ(x,t)，则在脉冲施加点间(包括最后一次脉冲施加点和交会点间)飞行器的运动状态约束为

(6)

2) 时间约束

当交会时间确定后，交会过程中的n次脉冲作用的时刻ti(i=1,2,…,n)应在初始时刻t0和末端时刻tf之间。即满足

t0≤t1

(7)

3) 能量约束

飞行器所携带的燃料有限，能够提供的速度增量有一定的限制，设能提供的最大速度增量为Δvmax，则交会过程中施加的速度增量要满足

Δvtotal≤Δvmax

(8)

式中:Δvtotal为n次速度增量总和，表示为

(9)

4) 末端状态约束

设在交会点处飞行器和目标航天器的位置矢量分别为rIp和rtp，速度矢量分别为vIp和vtp。要保证飞行器最后要命中目标，需要满足

(10)

5) 性能指标

选取能量消耗最少作为性能指标，则性能指标为

J=min(Δvmax)

(11)

综合以上约束，非线性规划模型可表示为

(12)

3.2 非线性规划算法

如果目标函数中或者约束条件中至少有一个是非线性函数，则最优化问题就叫做非线性规划问题。它的一般形式为

式中：X=(x1,x2,…,xn)∈Rn；f，gi，hj是定义在Rn上的实值函数。

一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形遗传法这一通用解法[6]。非线性规划的各种算法都有自己特定适用范围。都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法[13]。通常求解非线性规划问题的方法有罚函数法和近似规划法[8]。本文采用近似规划法进行求解:

式中：Δvmax为发动机能提供的最大速度增量，为一常值。h(X)=rIp-rtp。以双脉冲为例X为第一次施加的速度增量和第二次施加的速度增量及其作用时间，为7个量。

具体迭代算法如下：

1) 给定初始可行点X1={(x1)1,(x2)1,…,(xn)1}，步长限制为(δj)1(j=1,2,…,n)，步长缩小系数β∈(0,1)，取0.5。允许误差ε>0，取1×10-6,令k=1。

2) 在点Xk处，将f(X)，g(X)，h(X)按泰勒级数展开并取一阶近似，得到近似线性规划问题

(14)

3) 在上述近似线性规划问题的基础上增加一组限制步长的线性约束条件，因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较高，故需要对变量的取值范围加以限制，所以增量的约束条件为

(15)

求解该线性规划问题，得到最优解Xk+1。

4) 检验Xk+1对原约束是否可行，若Xk+1对原约束可行，则转化为步骤5)；否则，缩小步长限制，令

(δj)k=β(δj)k(j=1,2,…，n)

(16)

返回步骤3)，重新解算当前的线性规划问题。

5) 判断精度：若(δj)k<ε(j=1,2,…，n)，则点Xk+1为近似最优解；否则令(δj)k+1=(δj)k(j=1,2,…，n)，k=k+1，返回步骤2)。

根据上述最优轨道优化算法，可以得出双脉冲最优点火时刻t1、t2以及该时刻所需要的速度增量Δv1、Δv2；但实际过程中，飞行器的推力系统并不能够提供一个瞬时速度增量，而是通过速度增益导引方法来实现轨道转移[10-12]，如图2所示。

图2 非线性最优交会轨迹Fig.2 Optimal interception trajectory of nonlinearity

4 仿真计算分析

交会航天器包括平台和载荷，其中载荷从平台发射，自主变轨完成与目标的交会。设交会时间为12 000 s，载荷所能提供的最大速度增量为2.0 km/s。初始时刻平台与目标航天器的参数如表1所示，目标星为中轨卫星，轨道高度16 000 km，三个轨道面参数如表1所示。

表1 轨道运行状态

由表2、表3和图3、图4对比，可以看出，采用Lambert方法所得的结果脱靶量较大，同时消耗燃料较多，而本文采取的非线性规划方法，不仅速度增量减少了0.08 km/s，而且精度达到85.6 m，远优于Lambert的位置精度18 368 m，如图5所示。

表2 双脉冲最优交会结果

表3 Lambert交会结果

图3 非线性规划弹目相对距离曲线Fig.3 Relative distance curve of missile-target based on nonlinear programming

图4 Lambert弹目相对距离变化曲线Fig.4 Relative distance curve of missile-target based on Lambert

图5 Lambert交会轨迹Fig.5 Interception trajectory of Lambert

5 结束语

本文对空间轨道的远距离交会进行了研究，通过迭代算法对预测交会点进行可行性预估，进而选取能量消耗和末端精度为控制变量，将轨道交会问题转化为最优控制问题，采用非线性规划的方法对轨道离散化后所转化的非线性问题进行求解，最终得到最优交会轨道。相比于传统的轨道优化设计，本文将时间、能量以及末端位置、速度状态变量同时引入约束中，在节省能量的前提下，保证了交会的速度需求，极大地提高了末端交会的控制精度。

非线性规划是解决最优控制问题的一种有效方法，可以满足控制中的各项约束，而且在求解过程中避免了复杂的计算[13]。通过仿真可以看出，本文所采用的非线性规划策略大大提高了交会的控制精度，同时当飞行时间较长时，单脉冲交会轨迹不再为最优轨迹，在交会时间固定的前提下，非线性规划得出的双脉冲策略相比传统Lambert轨道设计可有效降低速度增量，减小发动机燃料消耗。不过非线性规划只是一种局部优化方法，不能得到全局最优解，并且随着脉冲次数的增加，计算量较大，因此，如何在本文的研究基础上，进一步对优化算法进行改进，从而更加充分地利用有限燃料，提高对目标的交会精度将是今后需要研究的内容。

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