构造折射星场方法用于星光折射导航仿真的研究

刘 禹，陈 浩，张丽敏

(1. 上海市空间智能控制技术重点实验室，上海 201109；2. 上海航天控制技术研究所，上海 201109)

0 引言

星光折射导航是一种很有潜力的自主导航[1-2]方法。其利用被大气折射的星光，建立与地球的几何关系，以此来间接敏感地平。由于它抗干扰能力强、战时生存能力强和提供的信息不随时间漂移，逐渐被国内外所关注。

同样作为一种自主导航方法，间接敏感地平的方法解决了直接敏感地平的方法中，由地球表面模糊性导致的低精度问题[3]。但是，由于导航方法对大气密度模型和折射星的特殊需求，带来了如何精确建立大气密度模型以及如何有效选取和捕获折射星的问题[4]。

近年来，国内对星光折射导航问题也做了一些研究。文献[5]中在视场内可观测星数概率分布模型基础上，得到了折射星数的概率分布模型。文献[6]中考察了不同观测方式对导航系统的可观性影响，并找到了最佳的折射星观测方向。文献[7]中采用改进的三角匹配算法结合恒星星表确定了航天器的在轨位置和速度。文献[8]中提出了一种基于双星敏感器实现高精度折射星识别和折射角获取的自主导航系统方案。文献[9-10]中建立了一种自适应连续高度的星光折射观测模型。文献[11]中建立了一种新的连续高度星光大气折射模型并提出了一种新的导航算法。

综上所述，本文为了尽可能模拟飞行器的在轨运行状态，仿真研究中，星光折射导航可以采用模拟星图以及星图识别的方法获取折射星。然而，对导航算法的研究和评估，仅需要得到满足星光折射几何关系的折射星，可以用构造折射星的方法来避免对星图匹配等复杂方法的需求，以此简化仿真研究。而且，由于构造星场的特殊性，可以研究折射星之间的角距和观测持续时间对导航的影响。

1 星光折射天文导航原理

当星光穿过大气时，会向地心偏折。从航天器上观测的折射光线相对于地球的高度称为视高度ha；实际折射光线相对于地球的高度略低于ha，称为折射高度hg，如图1所示。

图1 星光折射几何关系Fig.1 Starlight refraction geometry

在航天器上装载两台星敏感器，并用它们同时观测两颗星，一颗星的星光穿过大气层，而另一颗的星光未经大气层折射。通过星敏感器观测并查阅星库，获得穿过大气层的星光相对原星光方向折射的角度，称为星光折射角γ[12]。由星光折射角与大气密度的关系，再依据大气密度模型，可以精确地确定折射高度hg，它反映了航天器与地球之间的几何关系。在基于航天器轨道动力学方程和对天体的量测信息基础上，利用非线性卡尔曼滤波方法可以精确估计航天器的位置和速度。

2 构造折射星场的方法

为尽可能减少不确定因素，如对流层中水汽及气溶胶等影响，折射星应选取星光穿过大气层20～50 km之间的恒星。大气层的这段范围属于平流层，平流层温度变化缓慢，而且穿过该层大气的星光，折射角大小适中，适宜观测。

2.1 星光折射导航算法分析

由图1中几何关系可以得到视高度ha的表达式

(1)

式中：ha为视高度；rs为地心到航天器的位置矢量,rs为其大小；u=|rs·us|且us为折射星光未折射前的星光方向矢量；γ为星光折射角；Re为地球半径；a是个小量。

式(1)将在导航时作为量测方程，而其中除了未知的位置矢量，折射星光未折射前的星光方向矢量us也不能轻易给出。在实际导航时，us是通过星敏感器匹配星图得到的。然而，在仿真研究中，要模拟星图匹配的过程工作量很大，如果仅要研究导航算法，可以利用图1中的几何关系构造星场简单地得到us。

2.2 构造折射星场

在实验研究中，进行星光折射导航计算机仿真研究时，可以通过构造折射星场进行导航，这种方法简单且实用。下面介绍一种构造折射星场的方法。

因为人为构造的特点是在满足条件的范围内任意选择，所以可以选择一些位置特殊的星作为折射星。由于在25 km处的平流层大气密度较平流层中其他位置的密度更加稳定，本节中构造的折射星的折射高度均设定为25 km。仿真中假设折射高度25 km处大气密度ρg为常值，且取ρg=42.937 g/m3。由于星光折射角γ和折射高度处大气密度ρg直接相关，那么γ也为常值，即

(2)

式中：k(λ)为散射参数，仅与光波波长λ有关；H为密度标尺高度。

同样，视高度ha也为常值，并作为观测方程的标称值

ha=hg+k(λ)ρgRe

(3)

从航天器向地球看去，折射高度为25 km的折射星分布在一个圆上，该圆的圆心在航天器与地心的连线上，如图2所示。

图2 星光折射高度25 km观测图Fig.2 Observation at a certain tangent height of 25 km

那么星光矢量方向与正Xo轴的夹角为β=α-γ，星光矢量方向在辅助坐标系下的坐标为(cosβ,0,-sinβ)。将其转换到惯性坐标系下，便可得到未折射的星光方向矢量us。

辅助坐标系向惯性坐标系的转换矩阵为

COI=RZo(-Ω)RXo(-i)RZo(-u)

(4)

式中:Ω为升交点赤经；i为轨道倾角；u为纬度幅角；RZo(-Ω)表示绕Zo轴顺时针旋转角度Ω，以此类推。

进行星光折射导航，由文献[6]，至少需要同时观测到3颗折射星，才能保证系统完全可观。在得到过A点的折射星的位置后，可以通过在辅助坐标系下将其绕Xo轴分别顺时针和逆时针旋转角度θ，得到其他两颗折射高度为25 km的折射星。假设A点在辅助坐标系下坐标为A，则B点和C点在辅助坐标系下分别表示为：B=RXo(θ)·A，C=RXo(-θ)·A。鉴于实际中，星敏感器视场有限，θ可以取较小的值(如5°)。

由于该构造星场的方法由星光折射几何关系直接推导得来，在不考虑星光折射几何模型即式(1)本身的误差时，该构造方法并未给星光折射导航带来误差。

3 建模与仿真

本节用构造的折射星场进行星光折射导航仿真研究，以此来验证其可行性。本次仿真采用扩展卡尔曼滤波(expanded Kalman filter, EKF)算法进行导航解算。

3.1 航天器轨道运动的状态方程

航天器在运行过程中受到诸多摄动影响，包括地球非球形摄动、大气阻力摄动、三体摄动和光压摄动，其中地球非球形摄动项起主导作用。在协议天球坐标系中，建立描述航天器运动的系统方程为

(5)

式中：X=[xyz]T和V=[vxvyvz]T分别为飞行器的位置矢量和速度矢量；f为摄动加速度；wv为系统噪声。

3.2 仿真及结果分析

将式(1)作为量测方程，式(5)作为状态方程，两式联立作为卡尔曼滤波方程。

3.2.1 仿真条件

航天器轨道参数取为：长半轴a=504.98 km，偏心率e=2×10-4，轨道倾角i=45°，升交点赤经Ω=225°，纬度幅角u=135°，真近点角f=90°。

取仿真步长为0.2 s，n=3，θ=5°和-5°。每个轨道周期能同时观测到3颗折射星20次，每次持续观测5 s，记观测时间为5 s，其余时间用惯导递推代替星光折射导航。具体体现为：设定观测折射星的周期间隔为280 s，其中的5 s用星光折射导航，其余275 s用惯导递推进行导航。

仿真过程中，由于实时构造折射星，在一个轨道周期内，任意两个仿真时刻的折射星都是不同的。除选定星光过A点的折射星，其他两颗星通过绕Xo轴旋转角度±θ得到。

3.2.2 仿真结果

图3和图4分别为在3个轨道周期内仿真得到的3轴位置和速度误差。由图可见，每隔一段时间，当能观测到3颗折射星时，星光折射导航会对惯导递推的数据进行修正。滤波收敛后得到的单轴位置误差小于136 m，单轴速度误差小于0.83 m/s。

图3 位置估计误差Fig.3 Estimation error of position

图4 速度估计误差Fig.4 Estimation error of velocity

3.2.3 仿真分析

3.2.2节验证了构造星场的有效性，下面研究θ值和观测时间对导航的影响。

减小|θ|的值时发现，当|θ|≤1°时，超调量较大。当|θ|减小到0.01°时，虽然收敛速度受到影响，但在观测到5次折射星后收敛。而当|θ|减小到0.001°也即3.6″，导航发散。可以看出，当两颗折射星之间的角距大小接近于星敏的精度时，量测相对误差太大，导航发散。所以，在实际进行导航时，对于这两颗构型不好的星，应该剔除其中一个。综上所述，θ值不能接近于星敏感器的精度，理论上越大越好，但也受限于星敏感器的视场。图5所示为|θ|=0.01°，观测时间为5 s时的三轴位置误差。

图5 位置估计误差(|θ|=0.01°)Fig.5 Estimation error of position (|θ|=0.01°)

当减小观测时间时，从5 s减小到1 s，超调量也较大，但在观测到3次折射星后导航收敛。当减小到0.8 s时，观测到9次折射星后导航收敛，且3轴位置误差小于139 m。再次减小观测时间到0.6 s及以下时，导航发散。这说明导航的收敛速度很快，只需持续观测到3颗折射星的时间大于等于0.8 s就能进行导航。图6所示为|θ|=5°，观测时间为0.8 s 时的三轴位置误差。

图6 位置估计误差(观测时间0.8 s)Fig.6 Estimation error of position (observation time is 0.8 s)

4 结束语

本文对星光折射导航算法进行分析，设计了一种构造折射星场的方法。利用该折射星场成功地进行了计算机仿真试验，避免了在仿真中使用星图模拟与匹配等复杂算法。仿真发现，观测到的折射星之间的角距接近于或小于星敏感器的精度时，导航发散；当观测时间大于等于0.8 s时，可以进行导航，并且得到的3轴位置误差小于139 m。然而，本文中构造的折射星场只能用于仿真研究，在实际观测时，不可能每一时刻都能观测到3颗折射星，接下来的研究要更加注重于观测折射星的方案以及分析实际使用星光折射导航时可能遇到的问题。

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