浅析微元法在物理解题中的应用

晁菁媛

微元法是一种深刻的思维方法，先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体的目的。微元求和思想在高中物理教材中多处出现，如：必修（一）P38页推导匀变速直线运动位移公式时、必修（二）P64页研究重力做功时、必修（二）P69页研究弹簧弹力做功时均用到了微元求和思想。关于微元法的题目，连续几年出现在各地高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中。本文拟通过实例探讨微元求和思想在物理解题中的应用。

一、微元法解题分析

在变力求功，变力求冲量，变化电流求电量等等情况下，可考虑用微元法解题。

（一）关于微元法

一般是以时间和位移为自变量，在时间Δt很短或位移Δx很小时，此元过程内的变量可以认为是定值。比如非匀变速运动求位移时在时间Δt很短时可以看作匀速运动，在求速度的变化量时在时间Δt很短时可以看作匀变速运动。运动图象中的梯形可以看作很多的小矩形，所以，vΔt=Δx=Δs。微元法体现了微分的思想。

（二）关于求和Σ

许多小的梯形加起来为大的梯形，即ΣΔs=ΔS，（注意：前面的s为小写，后面的s为大写），比如ΣΔv=v-v0，当末速度v=0时，有ΣΔv=-v0，或v0=0时，有ΣΔv=v，这个求和的方法体现了积分思想。

（三）物理量有三种可能的变化情况

（1）不变（大小以及方向）：可以直接求解，比如恒力的功，恒力的冲量，恒定电流的电量和焦耳热。

（2）线性变化（方向不变，大小线性变化）：比如力随位移线性变化可用平均力来求功，力随时间线性变化可用平均力来求冲量，电流随时间线性变化可用平均电流来求电量。 电流的平方随时间线性变化可用平方的平均值来求焦耳热。

（3）非线性变化：可以考虑用微元法。

二、微元法解题程序

第1步，取元

隔离选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象。微元可以是：一小段线段、圆弧；一小块面积；一个小体积、小质量；一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

第2步，模型化

将微元模型化（如视作点电荷、质点、匀速直线运动等），并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。

第3步，求和

將一个微元的求解结果推广一到其他微元，并充分利用各微元间的关系，如对称关系、矢量方向关系、量值等关系），对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。

三、微元法解题范例

点评：微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学思想或物理方法处理，进而使问题求解。值得注意微元法不是万能的，有时反而会误入歧途，微元法解题，本质上是用现了微分和积分的思想，是一种直接的求解方法，很多时候物理量的非线性变化可以间接求解，比如动能定理求变力的功，动量定理求变力的冲量，能量方程求焦耳热等等。使用微元法分析求解问题会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。