非线性随机振动的等效线性化法分析

在工程实践的各个领域广泛地存在着非线性系统，而外在的激励又广泛地存在着随机性，因此计算在随机激励下结构的响应及统计特征具有十分重要的意义。近年来对于线性系统的随机振动响应的研究已经很成熟，非线性随机振动问题的研究也取得了很大程度的进展出现了诸如摄动法，扩散过程理论法，等效线性化法等。在非线性随机振动的近似方法方面，等效线性化方法［3］［4］［5］由于简单、实用，并能满足工程分析精度，因而在处理工程动力学问题中获得广泛应用。

1 一般等效线性化法

对于单自由度非线性随机振动的微分方程可以概括为：

（1）式的等效线性微分方程可以描述如下：

如果f（t）为均值为0的平稳高斯过程，系统具有弱非线性，响应X，近似为平稳高斯过程，并假定上式中的各随机过程是各态历经的，则可推出：

2 加权等效线性化理论

设单自由度非线性系统的随机振动微分方程为：

引入如下的等效线性微分方程：

把响应函数X（t）的穿越概率P（X）作为一个权函数作用在残差函数上，使得E［pe2］的值为极小值，通过满足这样的条件来求取等效ce，ke的值。

上述的讨论思路清晰，但计算等效系数ce，ke仍然比较繁琐。为此，可以作进一步的简化，假设F（t）为一均值为零的平稳高斯过程，从而可得等效线性方程的响应也为高斯过程。

单位时间内正穿越X的概率为

根据式（7），（10），（11）经过迭代可以求出等效系数 ce，ke的值。

3 等效线性化法的研究意义

等效线性化法的思路简单，计算精度的误差一般在0-20%之间，对于弱非线性系统可以达到满足工程所需精度的要求。

等效线性化法还可以结合其他概率方法解决更复杂的系统随机振动问题，诸如：使用点估计法通过将结构随机参数分解为若干确定性的积分点，随之可以将平稳随机激励下非线性随机结构转化为一些列确定性非线性结构在平稳随机激励下振动问题，进而再使用等效线性化法［6］。

［1］陈立群，梅波.关于单自由度非线性谐迫振动等效线性化方法的注记［J］.长沙大学学报，2003，17（4）：6-7.

［2］陈立群.等效线性化方法的最优性［J］.力学与实践，1996，18（1）：56-57.

［3］方建杰.随机振动的一种加权等价线性化方法［J］.应用力学学报，1991，8（3）：114-120.

［4］张明.非线性随机振动等效线性化的一种推广［J］.西南交通大学学报，1998，33（1）：77-81.

［5］彭解化等.一类非线性系统随机振动的等效线性化［J］.振动与冲击，1995（1）：30-35.

［6］刘杨.平稳随机激励下随机结构非线性动力响应分析［J］.地震工程与工程振动，2011，31（1）：1-4.