建立函数解析式模型的基本方法

李文文

[摘 要] 大量的现实问题可以通过建立函数模型来解决.函数模型包括数据表格、函数图像、函数解析式等形式，其中函数解析式是最重要的函数模型形式；基于数据运用图像模拟法所建立的函数解析式模型存在不唯一、不准确等局限，结合运用最小二乘法可优化图形模拟法建立的函数解析式模型.

[关键词] 函数解析式模型；图像模拟法；最小二乘法；优化

函数是数学中的一个重要概念，也是解决现实问题的一类重要数学模型，在科学研究、生产实践及日常生活等领域有广泛的应用. 大量的实际问题可以通过建立函数模型来解决，即从实际问题中抽象出数学特征，建立函数模型，进而解决实际问题，这也是高中数学课程标准和高中数学教材对函数学习的一项重要要求，而如何建立函数模型是运用函数解决实际问题的关键.

建立函数解析式模型的重要意义

函数模型主要包括数据表格、函数图像、函数解析式等形式. 其中，数据表格具有数据翔实、对应关系一目了然等优点，但是如果数据过多，就难以发现自变量和因变量之间的深层关系；函數图像具有直观形象、具体生动等优点，但是函数图像难以精确反映自变量与因变量之间的依存关系；函数解析式尽管缺乏直观形象、具体生动等特点，但是，由于其能精确地表达自变量与因变量之间的依存关系，因而成为函数模型建立时所寻求的终极目标. 因此，建立函数解析式模型是运用函数模型方法解决实际问题的重要基础，对解决现实问题具有重要意义.

运用图像模拟法建立函数解析式模型

针对具体问题确定函数因变量和自变量关系的解析式模型时，除了因变量与自变量之间具有明显的、确定的关系，例如因变量y是自变量x的2倍之类特殊关系问题，可以直接写出函数解析式模型y=2x之外，现实情境中往往没有先验的、现成的依据与路径可寻. 此时，不妨分别以自变量x和因变量y为x轴、y轴建立直角坐标系；然后，依据从实际问题中收集到的自变量x和因变量y的数据资料，画出数据的散点分布图；继而，依据散点图的分布状况模拟画出一条直（曲）线，并且使散点（从直观上看）尽可能均匀（衡）地分布于直（曲）线两侧；进而，凭借直观观察、个人经验及主观判断，估计出所属函数类型，并写出含参数的函数解析式；最后，选取部分数据求出该函数解析式的参数，从而得到两个变量间的函数解析式模型. 这种方法可以称之为建立函数解析式模型的图像模拟方法.

例1 为预测某公司总投资对其总利润的影响，收集了该公司总投资x（单位：亿元）与当年总利润y（单位：亿元），得到了连续10年的数据资料，如表1.

分析：问题的实质在于建立总投资与总利润这两个变量之间的函数解析式模型. 由于无法预知两者之间存在的函数类型与形式，因此，不妨用图像模拟法来进行探索.

？摇？摇建模：以总投资x作横坐标，以当年总利润y作纵坐标，建立平面直角坐标系，并将数据标在平面直角坐标系上，得到数据的散点分布图，如图1所示. 若该公司2018年的总投资为25.1（亿元），试预测该公司2018年的总利润（亿元）.

观察图1中散点的分布状况，可以做出直观判断：数据散点大致落在一条直线附近，由此估计x、y这两变量间的关系为线性关系. 因此，可以用直线方程y（x）=a+bx（a，b为参数）（注：下面简称为①式）来表示两变量间的函数关系. a，b两个参数可以从数据表中选取两组数据分别代入直线方程，从而得到一个关于a，b的方程组来求解.譬如，取（15.2，28.6）和（10.4，19.3），并代入①式，可得：a=-0.85，b=1.938. 因此，y（x）= -0.85+1.938x即为运用图像模拟法建立的函数解析式模型.当总投资为25.1（亿元）时，总利润为：y（25.1）=-0.85+1.938×25.1=47.79（亿元）. 然而，如果选用另外两组数据带入直线方程，则很可能得到另一组不同的a，b值，从而得到不同于①式的函数模型，进而得到不同的预测结果.譬如，选取（21.2，40.5）和（18.6，35.6），并代入可得：y（x）=0.593+1.885x，此时，y（25.1）=47.85（亿元）.

上述所建立的两个模型及这两个预测结果显然存在一定误差，若再选其他两组不同的数据，则会得到更多不同的解析式模型及预测结果. 事实上，求a，b值时，无论选取哪两组数据，均未充分地运用表中所有数据信息. 这正是得到不同函数解析式和不同预测结果的根本原因，也是借助其中某两组具体数据求参数值方法的不足之处.

运用最小二乘法优化函数解析式模型

为避免因数据选取的随意性与特殊性而导致函数解析式模型及其预测结果的误差，可以用最小二乘法来求①式中a，b的值. 所谓最小二乘法是在观测点处误差的平方和达到极小的前提下，使用直（曲）线逼近（拟合）观测值的一种求a，b值的方法. 假设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是一组实测数据，如果y与x之间具有直线y=a+bx的模型关系，可以用一般公式②计算a，b的值，此时，模型值与实测值误差最小.

a=yi-xi，b=. ②

这样，将例1数据表格中全部数据代入上式，并计算可得：a=2.355，b=1.813. 因而，其一般函数解析式模型为：y（x）=2.355+1.813x， 此时，y（25.1）=47.86（亿元）.

由②可知，用最小二乘法求参数a，b的值，需将已有数据全部用上，从而避免了因数据的选取不同而导致函数解析式模型不唯一及预测结果的差异，而且所取a，b值能使模型值与实测值的误差达到最小.

当然，如果借助散点分布图所模拟出来的线，从直观上不能看作直线，而更宜看作曲线时，可通过变量代换将其线性化，再用最小二乘法求其参数值.

虽然有些散点分布图应该用曲线（而非直线）来模拟，但是有时仅凭直观观察很难确定它是指数函数还是幂函数，或者有些函数既像对数函数，又像双曲线函数.针对这种可以用两种不同类型的函数解析式来估计其变量间关系的情形，可以先选定两种图像相近的函数解析式类型，并写出其一般函数解析式；然后，分别通过代数变换而转换成线性函数关系，并运用最小二乘法求出线性关系中的参数，进而确定这两种不同类型的函数解析式模型. 此时，要判断哪个函数解析式模型较好，只需检验哪一个函数解析式与实测值吻合得较好即可. 即分别求得实测值与预测值的差值的平方和S，S越小，模型越好，并以此作为比较函数解析式模型优劣的准则.

例2 某公司的年利润如表2所示，试预测该公司2018年的利润.

建模：以时间（序号）为x轴，利润为y轴，建立平面直角坐标系. 依据表中的数据，画出散点分布图. 从图2可以看出，y值起初增加较快，以后逐渐减慢，因此，可以选用双曲线函数：=a+来预测，此时，令y*=，x*=，双曲线函数就转化为：y*=a+bx*运用最小二乘法得：b=0.1417，a=-0.00634. 从而可得双曲线函数关系为：=-0.00634+. 当x=9时，y=106.33（亿元），即2018年该公司的利润估计为106.33（亿元）.

然而，图2中的曲线也与对数函数曲线相似，如果用对数函数y=a+blgx来预测是否会更好呢？此时，令y*=y，x*=lgx，则有y*=a+bx*，同样运用最小二乘法，可求得：b=52.9，a=6.03. 从而可得对数函数关系为：y=6.03+52.9lgx. 当x=9时，y=56.71（亿元），即2018年该公司的利润估计为56.71（亿元）.

可见，上述两个模型预测的结果差别很大，那么，究竟用哪一个模型更好呢？为此，可以用上述两个模型分别计算出以往各年利润的预测值，然后分别计算其预测值与实际值的差值的平方和，得S双曲=314.01，S对数=28.01.可见S对数

建立函数解析式模型解决实际问题是一种重要的数学建模方法，因此，要使运用该方法所建立的函数解析式能够较准确地解决实际问题，仅仅运用图像模拟法建立的函数解析式模型是不够的，还需要运用最小二乘法求得较为合适的参数和选定较为合适的函数解析式类型，从而建立最优化的函数解析式模型，得以科学合理地解决实际问题.