一类带有扩散和时滞的捕食系统的稳定性研究

(晋中师范高等专科学校,山西 晋中 030600)

基于保护野生动物的目的,提出了一类带有扩散和时滞的捕食系统,并进行了分析研究.本文是在文献[1]结果的基础上进一步讨论了该捕食系统的全局稳定性.模型如下:

(1)

xi(t)=φi(t)≥0,y(t)=φ(t)≥0,t∈[-τ,0],φi(0)≥0,φ(0)≥0(i=1,2)

(2)

其中xi(t)表示第i个斑块食饵种群在时刻t≥0的密度(i=1,2),ri>0是斑块上食饵种群的内禀增长y(t)表示捕食者种群在t≥0时刻的密度，s>0是捕食者种群的死亡率;Di>0是食饵种群从斑块j向斑块i的扩散系数,并假设扩散系数与差分xj(t)-xi(t)成正比,ci>0是食饵向捕食者的转化系数,且Di≥ci,(i=1,2);τ>0表示捕食者的消化时间或妊娠时间;a为正常数.

根据定理3.2[1]知,当c1+c2

其特征方程是：

λ3-[s-(L1+L2)λ2+[L1L2-D1D2-s(L1+L2)]λ+(L1L2-D1D2)s

(3)

若an>1,则L1<0,L2<0,于是s-(L1+L2)>0,L1L2>D1D2.从而可知Ij>0(j=1,2,3),F>0,G>0.那么(3)可简记为:

λ3+(I1+s)λ2+(I1s+F)λ+sF+[-sλ2+(G-sI1)λ+(I3-sF)]e-λτ=0

(4)

在文献[1]结论的基础上，又得出如下结论：

定理 如果 (i)an>1,c1+c2-s

(ii)I3-sF>0

(5)

整理,得ω6+Q1ω4+Q2ω2+Q3=0

(6)

由于Q1>0,Q3<0可以知道(6)有唯一正根.

若z=ω2,则代入(6)得

h(z)=z3+Q1z2+Q2z+Q3=0

(7)

由于h(0)=Q3<0,且limz→∞h(z)=∞,所以方程(7)至少存在一个正根,假设有三个正根z1,z2,z3,则有z1+z2+z3=-Q1<0矛盾;若有两个正根z1,z2,一个负根z3,则有z1z2z3=Q3矛盾,故(7)有且仅有一个正根.即(6)有一个正根,因此特征方程(3)有一对纯虚根±iω0.由(5),可以解出相应于ω0的τ0m为:

设P(λ)=λ3+(I1+s)λ2+(I1s+F)λ+sF

Q(λ)=-sλ2+(G-sI1)λ+(I3-sF)

则(4)可写成:P(λ)+Q(λ)e-λτ=0

(8)

对(8)微分得:

因此

从而Hopf分支在τ=τ0,ω=ω0发生.

注:需要说明在文献[1]中定理3.3[1]不能决定分支出周期解的稳定性,即周期解可在τ>τ0附近存在,也可在τ<τ0附近存在.但根据Hassard[4],可通过分析高次项来讨论分支出的周期解的稳定性,在此省略.时滞能引起不稳定性和分支,但不出现稳定性开关现象.