浅析“开放题”的教学

江苏丹阳市全州学校 吴爱国

笔者在一本数学课外书上看到一道名叫“小格涂色”的开放题。乍看题目，让人感觉很简单，做起来却觉得有趣，有一种“不识庐山真面目”的感觉。学生对这道题感兴趣吗？他们会给出什么答案？笔者决定在五年级学生中做调查。

一、调查问题

小格涂色：任意选择5个连在一起的小方格（相邻的2个小方格之间必须有公共边），然后将它们涂色。图1中已画出1种组合。你还能画出多少种？请你将它们画出来，限时20分钟，尽量写出你的思考过程。

图1

做完题目后，请你在下面的□内画“√”，并回答问题。

1.你认为这道题有趣吗？

很有趣□ 比较有趣□ 无趣□

2.做完这道题，你有什么想法？

二、调查对象

五（1）班37人，五（2）班41人，五（3）班42人，五（4）班39人，五（5）班28人，共计187人。

三、调查过程

笔者组织五年级各班学生参与调查活动过程，没有给他们任何解题提示，他们都是独立解题，没有任何讨论与交流，结果反映了学生们独立思考解决这个问题的真实水平。

四、调查结果与分析

1.有关答案的统计与分析

经过对调查问卷的批改与分析，除了题目中已画的1种，学生们一共画出了11种，具体统计结果见表1。

从表1中可以看出：画出1号、2号、3号图形的人数特别多，而画出9号、10号、11号图形的人数特别少。从中可以得出，大多数学生画图时考虑“直线形”，考虑“折线形”的学生偏少；在画图时，大部分学生会想到层数少的图形，如1号只有一层，2号、3号有两层，想到层数多的人比较少。笔者还发现，五（2）班学生每种图形画出的人数大都比其他班的人数多，可见五（2）班学生的数学整体实力较强。

表1：

表2：

因为学生们的数学能力有所不同，所以每个人画出的图形数量也大不相同，具体统计结果见表2。

从表2中可以发现：画出4种、5种、6种图形的人数特别多，而画出9种及9种以上图形的学生特别少；每个班画出2种或2种以下、9种或9种以上的人数都比较少；五（2）班画3种以下的人数是这5个班中最少的，再次印证了五（2）班学生的数学整体实力较强；五（5）班画出4～8种图形的人数是这5个班中最少的，说明五（5）班学生的数学能力水平两极分化比较明显，且令人感到奇怪的是，竟然有12个学生没有画出图形。经查阅他们的问卷后才明白，他们是因为不认真审题或理解错了题意，导致画出的图形不符合要求。

2.有关有趣度的统计与分析

这道题有趣吗？学生有不同的感受，具体统计结果见表3。

表3：

从表3中可以发现：选择“很有趣”“比较有趣”的学生较多。由此可见，对这样的开放题学生们还是比较喜欢的。有些学生觉得这道题太简单，只适合一、二年级甚至幼儿园的小朋友做，因此认为这道题十分无趣。其实，这道题看似很简单，很容易画出几种图形，但要画出6种以上还是有难度的（见表2）。

3.有关解题策略的统计与分析

从学生们的思考过程可以看出，一部分学生能有序地思考画图，经分析归类，主要有以下几种解题策略：

（1）“层层形”

首先将5个小方格排成1行；接着将4个小方格排成1行，剩下1个小方格放在第2行进行移动；然后将3个小方格排成1行，将剩下2个小方格中的1个固定位置，移动另外那个……

下面，是一个学生使用此解题策略的思考过程：

（2）“移动形”

先固定几个连在一起的小方格，再用剩下的小方格在此基础上进行移动。使用此解题策略很难画出全部答案。

下面，是两个学生使用此解题策略的思考过程：

（3）“直线形”

用横竖、横横、竖竖等组合的思考方式把5个小方格进行排列。使用这种解题策略的学生画出的图形都在8种以下，并且没有画出像，，这样的“折线形”图形。

下面，是一个学生使用此解题策略的思考过程：

五、调查对教学的启示

1.做开放题要选择合适的解题策略

引入“开放题”的学习，对培养学生的创新精神和实践能力起着积极作用。在解答开放题时，学生往往会因考虑不周密、不全面而漏解。做事要讲究方法，做数学题也要选择正确、合适的解题策略。“小格涂色”这道题应该选择“层层形”解题策略，有序、全面地思考，一层一层考虑，一格一格移动，这样可以找出所有答案。通过上例可以看出，有些数学问题的答案也可以是丰富多彩的，同一问题往往有多种不同的答案。教师平时要引导学生学会多角度地思考问题，分析时应当分类思考、有序列举，自觉地去想“是否还有其他答案”，以训练思维的深刻性。

2.教师要努力增强教学的开放性

在数学教学中引入“开放题”的教学，对于丰富教学内容、拓宽教学思路是十分有益的。但有些教师仅仅将开放题作为一种题型（或数学知识）来教，就题论题，学生开放性解决问题的思维习惯并没有在头脑里真正建立起来。那么，怎样才能唤醒学生的求异思维和开放意识呢？教师应该给学生留下更大的空间，而不是将学生的思维活动局限于一个事先划定的狭小范围。教师除了有机结合教学内容设计好开放题外，关键是要确立“开放性教学”理念，学会开放性地引导、激励、评价等，促进教师“开放性”教学水平的提高。

3.平时要适当增加开放题的练习

调查结果显示，大部分学生觉得这道题有趣，并喜欢这道题。有些学生在问卷上写道：“这道题让我充满想象力！”“这题很考验我们的智力，太有趣了。”因此，教师要给学生出一些类似的开放题，以培养学生数学学习的兴趣，提高学生的数学能力。教师要灵活运用“一题多问、一题多变、一题多解”等策略，使学生经历由“多思”向“多解”层面发展，由“多解”向“巧解”层面拓展，体现训练过程的“开放性”。结合“开放题”的教学，教师要引导学生全面思考问题，尊重学生各自的数学思维风格或思维形式，培养学生良好的数学思维品质。♪