浅谈如何在解决问题中培养学生的画图策略

广西南宁市云景路小学（530028） 蓝 青

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”这里的“几何”主要是指图形，“直观”是指将复杂、抽象的问题变得简明、形象。由此可见，画图可以帮助学生直观地理解数学。人教版教材虽然没有设立专门的系统教学画图策略的单元，但从整体编排上来看，教材内容中还是有清晰的画图策略的教学线索，即：实物图—示意图—线段图（或其他较为抽象的图示）。这遵循了学生的认知规律，引导学生经历了“具体—表象—抽象”的认知过程，使学生的思维从具体操作的形象思维逐步过渡到符号、图标的抽象思维。那么，教师应如何整体把握教材中的画图策略，逐步将策略显性化，使学生在解决实际问题的过程中能够自觉地运用画图的策略呢？

一、注重诱导学生形成画图思维

【教学片段一】二年级下册“两步计算解决问题”。

图1

师：（出示图1）为了快速地理解题意，我们可以画图表示。谁能用图来表示90个面包呢？

生1：画90个圆圈。

生2：画一个大的圆形，里面写“90个面包”。

师：哪种方法既快速又简便地表示出了90个面包？

生3：生2的方法。

师：那么，老师用一个长方形来表示90个面包。（出示长方形图）已烤的36个面包应占这个长方形的多少呢？

（师生讨论得出：已烤的面包比90个面包的一半少一些，用灰色表示已烤的36个面包）

师：剩余部分表示的是什么呢？

生4：表示剩下还有多少个面包没烤。

师：剩下的面包要怎么烤？

生5：每次烤9个。

通过讨论，得出完整的示意图（如图2）。

图2

【反思】教师如果直接出示图2，学生属于被动接受，理解起来就有困难。因此，教师设计了教学冲突——一个一个地画90个面包的表示方式太麻烦了，促使学生产生想要画简便示意图的内在需求。图2很好地展示了解决问题的过程：要求出剩下的还要烤几次，就需要先求出剩下的有多少个这一中间问题。画图策略的应用培养了学生分析问题的能力，让学生理解和掌握当遇到要解决两步计算的问题时，应该如何思考，思考的顺序是什么。教师只有在学生思维的困惑处点拨，引领学生通过自主探索，提炼出解决问题的策略，才能最终达到知识的内化。

二、帮助学生体会画图策略的价值和作用

【教学片断二】三年级下册“数学广角——集合”。

图3

师：（出示图3）如何表示出两项比赛都参加的学生？你能不能借助图、表或其他方式，让人一眼就看出结果呢？（让学生体会两个集合中的公共元素构成的交集）

生1：可以用连线的方式，如图4。

图4

生2：可以像图5这样。

图5

师：同学们解决问题的能力真强，画出了这么多不同的图示。你更喜欢哪一幅？为什么？

（学生交流后，教师介绍韦恩图的做法，如图6）

图6

【反思】当抽象的叙述文字被转化为直观的图形时，学生对题目中的数量关系一目了然，自然会对画图的策略产生兴趣，此时教师追问：“现在比较图形和文字，哪种方式更好理解？为什么？”有如顺水推舟，让学生在图形和文字两者的比较中体会到了画图的价值。学生动手画图之后，通过观察比较，将数与形的意义对应起来，结合旧知就能解决问题。最后，教师请学生说说“9+8-3表示什么”，让学生再次数形对照，理解列式原理，从而深刻体会画图策略的价值和作用。

三、重视对学生运用解决问题策略的指导

【教学片段三】四年级下册“数学广角——鸡兔同笼”。

教师出示例1：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只？”学生尝试用不同方法解题。

方法一：画图法。（如图7）

图7

方法二：列表法。

方法三：假设法。

①假设笼子里全都是鸡，就有8×2=16（只）脚。现在多出了26-16=10（只）脚，因为一只兔比一只鸡多2只脚，所以就有10÷2=5（只）兔。因此，笼子里有3只鸡，5只兔。

②假设笼子里全都是兔，就有4×8=32（只）脚。现在少了32-26=6（只）脚，因为一只鸡有2只脚，所以就有6÷2=3（只）鸡。因此，笼子里有3只鸡，5只兔。

解决例1后，教师再出示古代的鸡兔同笼问题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有35个头，从下面数有94只脚。鸡和兔各有几只？”学生解答后，教师追问：“在这三种解法中，你们觉得用哪一种最简便？”学生交流得出当只数较少时，用画图法计算最简便；当只数较多时，用假设法计算最简便。

【反思】随着鸡、兔只数的增多，学生就会发现使用画图法和列表法不如假设法简便。在教学中，教师要重视对学生运用解决问题策略的指导，先通过画图策略将隐性的解决问题的策略显性化，再选取最佳的策略。如在求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些解决问题的策略；在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整解决问题的策略；在解决问题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织交流。教师还可以总结一些解决问题的策略，让学生收集使用这些策略的典型实例。

四、注重画图策略教学中数学思想的渗透

【教学片段四】三年级上册“求一个数是另一个数的几倍”。

图8

师：（出示图8）擦桌椅的人数到底是扫地的几倍呢？你能用图清楚地表示出来吗？比一比，谁的图让我们一眼就能看出擦桌椅的人数是扫地的几倍？

（学生尝试画图）

师：同学们都能用图来表示题目中的信息和问题，有的同学用小人表示、有的同学用○、△、×。等简单的符号来表示，这些图都画出了数量以及数量之间的关系。通过圈一圈的方法同学们都明白了，要求擦桌椅的人数是扫地的几倍，就是看12里面有几个4。

师：会列算式计算吗？说说你的想法。（指名列式，师板书：12÷4=3）

师：为什么用除法计算？（学生交流想法）

师：要求擦桌椅的人数是扫地的几倍，就是求12里面有几个4，因此用除法计算。要注意，“倍”表示两个数量之间的关系，不是单位名称，结果后面不用写“倍”字。

【反思】这节课的教学目的是使学生经历从图文情境—图示化—模型化（算式）的解题过程，通过多元表征，让学生从多角度理解“求一个数是另一个数的几倍”就是“求一个数里有几个另一个数”。初步建立求倍数问题时用除法计算的数学模型，并帮助学生把解题经验上升为数学方法。但在实际教学中，很多教师容易将大量时间花在画图的教学上，没有在课堂上构建数学模型，渗透转化的数学思想。借助图画只是过程状态，并不是最终结果。解决问题要借助形，但不是依赖形，要让“形”（图形）变为“象”（表象），让眼前的形变为脑中的形，从内在提高学生解决问题的能力。在运用画图策略解决问题的过程中，除了渗透转化的思想方法外，还可以适时渗透假设、比较、分类、类比等思想方法，不仅可以增强学习的趣味性，调动学生学习的主动性，还可以发展学生思维的灵活性，有助于学生数学素养的全面提升。

总之，在小学数学教学中，教师应该让学生养成一种用直观的图形语言刻画和思考问题的习惯，有机渗透数学思想方法，培养学生的几何直观能力，切实提高学生的思维能力和解决问题的能力。