一道课本三角习题的数学思想方法探究

郭奕平

摘要：本文对一道课本三角函数习题进行了数学解题思想方法的探究，并阐述了数学思想方法在数学课堂解题教学中渗透的重要意义，对提高学生的数学思维能力，尤其是对学生数学核心素养的培养起到了积极的推动作用.

关键词：数学思想方法 ；三角习题

题目已知sin（π4-α）=513，α∈（0，π4），求cos2αcos（π4+α）的值.

这道习题选自北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修4第三章复习题第134页B组第10题，经过笔者深入探究，发现该题解法突破口众多，解题难度适中，考查了较多三角公式的灵活运用，如诱导公式、二倍角公式、和差公式、同角三角函数关系式等三角恒等变形公式，同时也渗透了化归与转化、整体代换、构造方程（组）等数学解题思想方法，具有较高的解题教学价值，对学生数学核心素养的培养起到了积极的推动作用.现探究如下：

解法一抓住已知条件与所求问题的关系，利用整体代换的数学思想方法进行求解.

因为cos（π4+α）=sin[π2-（π4+α）]=sin（π4-α）=513.

又因为α∈（0，π4），所以-α∈（-π4，0），π4-α∈（0，π4）.

因为sin（π4-α）=513，所以cos（π4-α）=1213.

又因为cos2α=sin（π2-2α）=sin2（π4-α）=2sin（π4-α）cos（π4-α）.

所以cos2α=2×513×1213=120169.

故cos2αcos（π4+α）=120169513=2413.

解法二转化已知条件，再生成新的条件，利用构造方程组的数学思想方法进行求解.

因为sin（π4-α）=513，

所以22cosα-22sinα=513.

即cosα-sinα=5213.①

①式平方，得1-2sinαcosα=50169，

所以2sinαcosα=119169.

所以（cosα+sinα）2=1+2sinαcosα=288169.

又因為α∈（0，π4），所以cosα+sinα>0.

所以cosα+sinα=12213.②

由①、②联立方程组，解得cosα=17226，sinα=7226.

所以cos2α=cos2α-sin2α=（17226）2-（7226）2=120169.

又由解法一知：cos（π4+α）=513（求解过程同解法一）.

所以cos2αcos（π4+α）=120169513=2413.

解法三对已知条件与所求问式同时变形、化简，利用化归与转化的数学思想方法求解.

因为cos2αcos（π4+α）=cos2α-sin2α22cosα-22sinα

=（cosα+sinα）（cosα-sinα）22cosα-22sinα

=2（cosα+sinα）.

又由解法二②式知：cosα+sinα=12213（求解过程同解法二）.

故cos2αcos（π4+α）=2×12213=2413.

数学思想是数学学科的灵魂与精髓，而数学思想方法是数学思维能力的表现形式，是解决数学问题的指南与导向，也是当前新高考改革形势下所提出的数学学科核心素养的重要内容.所以我们数学教师要在课堂教学中不断地渗透数学思想方法，逐步提高学生的数学思维能力，培养良好的数学学科核心素养，这才是当前新课程背景下我们数学课堂教学的根本任务，也是我们为什么要学习数学的意义所在.endprint