依据平面几何知识命制带电粒子在磁场中运动试题实例

吴华琼+冯庆

摘要：电磁学部分的高考计算题，常常以带电粒子在磁场中运动的形式出现.掌握几何基础知识与电磁学知识，是对学生逻辑思维和分析能力的完善和提高.目前国内的学者对电磁学试题有一定的研究，但少有对带电粒子在磁场中运动试题命制的研究.文章总结出带电粒子在磁场中运动试题的特点及这类问题的核心，并以此为出发点，列举了根据平面几何知识命制带电粒子在磁场中运动试题的实例.

关键词：电磁场；带电粒子；高考试题；平面几何

高考物理科要考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力和实验能力.

考试大纲中电学部分的37个知识点近五年没有变化.其中，“磁场”、“磁感应强度”、“洛伦兹力”、“洛伦兹力的方向”属于Ⅰ级要求，即要求了解和认识.“带电粒子在匀强磁场中的运动”、“洛伦兹力公式”属于Ⅱ要求，即要求理解和应用.基于此，本文将着重研究高考重点——带电粒子在匀强磁场中的运动.

1带电粒子在磁场中运动试题的特点

11通過几何关系找圆心

这类问题在简单试题中最常见，也是很多复杂题目解题的关键步骤.例如2017年全国Ⅱ卷选择题第18题、2016年海南高考卷计算题第14题.这类问题找圆心、定半径是关键.找圆心需要作图，画垂线.求解半径通常用平面几何知识、勾股定理、余弦定理、正弦定理、特殊角的正余弦值等.

12多轨迹问题

粒子的电性和磁场的方向的不确定性，运动的周期性，还有临界状态的不唯一等都会造成粒子运动轨迹的多种可能.多轨迹问题一般出现在计算题中，例如2014年重庆高考卷计算题第9题、2014年四川高考卷计算题第11题.

13复合场问题

复合场包括：磁场和电场共存的场、电场和重力场共存的场、磁场与重力场共存的场、磁场、电场、重力场三者共存的场.复合场的组成主要有组合场、叠加场和变化的复合场三种类型.

组合场的电场和磁场通常是分开的.实际应用如质谱仪、速度选择器、D形盒回旋加速器.也可以是分开的不同强度的磁场和磁场，如2017年全国卷Ⅲ第24题.变化的复合场问题综合性最强，一般较复杂，通常出现在高考计算题中.受力分析时应判定是否存在重力、电场力、洛伦兹力.通常考查动量定理、动能定理、圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动.例如2013年江苏高考卷计算题第15题.

14数列问题

应用数学知识处理物理的能力是高考物理考查的五个基本能力之一，数学中的等差数列、等比数列、特殊数列求和等经常会应用到带电粒子在磁场中的运动问题.如果带电粒子在磁场中的运动问题考查到数列，题目一般都有较大的难度，通常出现在高考最后一道压轴题上.如2011年重庆高考卷压轴题第12题考查了等比数列，2015年天津卷压轴题第12题考查了等差数列.

2带电粒子在磁场中运动问题的核心

带电粒子在磁场中运动仅受洛伦兹力时，洛伦兹力的方向与速度方向垂直，不做功，即不改变速度大小.如果仅考虑洛伦兹力，则粒子做匀速圆周运动.在运动学部分，高中物理仅研究匀速圆周运动的运动规律.所以，只受洛伦兹力的情况下，粒子的轨迹是圆或圆的一部分弧.题目中具体会考查圆的圆心角、切线、弦、相交、相切等知识点.所以，带电粒子在磁场中的运动类试题很多都来源于平面几何模型.这类问题的关键在于找圆心、定半径.常涉及到的几何关系有直线与圆的关系、圆与圆的关系等.

3命题思路

命制电磁学试题的方法有很多，可以从复杂的电磁学原理简化而来，如2013年上海卷32题.也可以从实际生活中的应用而来，如2015年江苏卷13题.但带电粒子的运动问题更多来源于平面几何模型.这里着重介绍应用平面几何知识命制高中物理带电粒子在磁场中运动试题的思路.

首先找到涉及直线与圆的求解证明等几何类题目，然后解题，最后根据几何题目命制成物理中带电粒子在磁场中运动的试题.命制时应考虑如下问题：题目中运动的对象是带电粒子，运动的环境有磁场.基本粒子如电子、质子、离子等不考虑重力，但是带电液滴、带电小球等物体需要考虑重力.如果仅仅存在磁场，带电体只能是基本粒子才能做匀速圆周运动.平面几何中的直线可以看成是粒子满足合外力为零的情况下的运动轨迹，或者是匀变速直线运动的轨迹.平面几何中的圆或者圆的一部分圆弧，可以看成是粒子仅受洛伦兹力时运动的轨迹.平面几何中的组合图形可以看成是粒子多个运动的轨迹.

4命题实例

41几何原题

如图1，⊙C0、⊙C1半径均为1，互相外切并且均与直线l相切.作⊙C2与⊙C0、⊙C1外切并且与l相切；作⊙C3与⊙C0、⊙C2外切并且与l相切……作⊙Cn与⊙C0、⊙Cn-1外切并且与l相切.求⊙Cn的半径rn.

解析首先考虑图2，设两圆外切半径为r、r′，第三个圆与前两个圆外切，半径为x，这三个圆又都与直线l相切，那么这时有

AB=r+x2-r-x2=2rx

BC=2r′x

AC=2rr′

于是rx+r′x=rr

即1x=1r+1r′①

这样，在开始所说的问题中，有

1rn=1rn-1+1②

由于r1=1，可逐步算出r2=14… 假定已有rn-1=1n-12，那么由②式立即得到rn=1n2.根据归类法，rn=1n2.

42命制思想

原题中⊙C0、⊙C1和直线l围成的部分看做粒子运动的区域.⊙C2、⊙C3…⊙Cn看做多个粒子运动的轨迹.轨迹圆与区域边界相切即粒子运动的轨道半径最大，对应的粒子具有最大速度.求解半径rn，就是物理试题中的定圆心求半径.

添加带电粒子在磁场中运动试题常考的周期问题.⊙C2两边都有n个圆，可看成是粒子的多轨迹问题.求半径rn的过程考查了勾股定理、类比归类和数列问题，命制成物理试题就体现了考试大纲中要求的应用数学知识处理物理的能力.endprint

43电磁学试题

如图3，AP⌒BP⌒分别是以OaOb为圆心，r为半径的一段弧，两圆相切于P点，且分别与OX轴相切于A、B点，O是AB中点.在AP⌒BP⌒与OX轴围成的区域内有磁感应强度为B0的匀强磁场.零时刻起，有一束质量为m、电荷量为q的离子，以不同速度先后从OX轴射入磁场后不飞出磁场.不计重力和离子间的相互影响.

（1）求离子的最大速度.

（2）若以最大速度运动的离子是在t0时刻进入磁场的，求该离子距离圆心Ob最近的时刻.

（3）若I点左右两侧分别有n个离子入射，且他们的运动刚好互不干扰.求这些离子的入射位置xn到B点的距离xnB与入射速度vn的函数关系.

解答（1）設离子的最大速度为v0，对应的轨道半径为r0.由题意知，以最大速度运动的离子轨迹同时与AP⌒BP⌒和OX轴相切，如图4所示的圆O0.在ΔObO0C中，由勾股定理得

r+r02=r2+r-r02①

由①得r0=r4②

带电粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力：

qv0B0=mv20r0③

由②③得v0=qB0r4m④

（2）在ΔObO0C中，sin∠ObO0C=r-r0r+r0=35，故∠ObO0C=37°.

离子做圆周运动的周期T=2πr0v0⑤

联立②④⑤得T=2πmB0q⑥

当离子做顺时针运动时：t=n+90+37360T+t0 n=0，1，2……⑦

由⑥⑦得t=n+1273602πmB0q+t0n=0，1，2……⑧

当离子做逆时针运动时：t=n+270-37360T+t0 n=0，1，2……⑨

由⑥⑨得t=n+2333602πmB0q+t0n=0，1，2⑩

（3）当x>0时，假设O点右侧第一个离子的运动速度为v1，对应的轨道半径为r1.由题意知，以速度v1运动的离子轨迹圆O1同时与BP⌒、圆O0、OX轴相切.如图5，过圆O1的圆心作O0O、ObB的垂线，分别交于D点、E点.则线段DE=DO1+O1E，由勾股定理得r0+r12-r0-r12+r+r12-r-r12=r+r02-r-r02

化简得r0r1+rr1=rr0

即1r+1r0=1r1

同理1r+1rn-1=1rn

当n=1时，r1=r9；当n=2时，r2=r16；当n=3时，r3=r25……

rn=rn+22 n=1，2，3B11

带电粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力：

qvnB0=mv2nrn

vn=qB0rnmB12

由B11B12得

r=n+22mvnB0q n=1，2，3……B13

0点右侧第一个离子与B点的距离：

x1B=r-r0+r12-r0-r12=r-2r0r1

0点右侧第二个离子与B点的距离：

x2B=r-2r0r1-2r1r2

0点右侧第n个离子与B点的距离：

xnB=r-2r0r1-2r1r2-…-2rn-1rn

结合已知数据求得数列

r0r1+r1r2+…+rn-1rn=12-1n+2

故xnB=2n+2r n=1，2，3……B14

由B13B14得

xnB=2n+2mvnB0q n=1，2，3B15

当x>0时，xnB=r+2r0r1+2r1r2+…+2rn-1rn

化简得xnB=2-2n+2r n=1，2，3……B16

由B13B16得

xnB=2n+1n+2mvnB0q n=1，2，3B17

参考文献：

[1]单墫平面几何中的小花[M].上海：华东师范大学出版社，2010：73

[2]教育部考试中心 2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）[S]. 北京：高等教育出版社，2016：152

[3]王美芳高中“带电粒子在电磁场中的运动”相关问题的研究[D].苏州：苏州大学研究生院，2016：28endprint