位相突变情况下的反射定律和折射定律

田徐腾越 高华 许玲玲 ��

摘要：前不久，世界顶级科学期刊《Science》报道了一种新颖的位相突变界面并通过实验得以实现.当光波入射到这种界面上时，光波的位相不是连续积累的，而是由于界面上分布着的微型光学振荡器的作用使得光波的位相发生突变.因此，光波在这种光学界面上的行为将与常规的反射、折射大不相同.本文以此为出发点推导了在引入位相突变情况下的反射定律、折射定律所具有的新形式，并与传统的反射定律、折射定律进行了比较.结果发现，在引入位相突变时，反射角不再等于入射角，折射角、入射角的正弦值也不再与折射率成反比关系，二者均可根据位相突变的情形进行随意的调节.这一突出特性在现代光学设计等各个方面有着巨大的运用潜能，文章最后以新的反射定律为例，利用反射角与入射角不再相等的特性成功设计并实现了光的单向传播.

关键词：反射定律；折射定律；位相突变；单向通光

光波具有三个信息，振幅、频率和位相，因此一个光束的物理特性与它在传播过程中所累积位相的是息息相关的.在自由空间（或均匀介质中）光波的位相是连续变化的，那么如果有这么一种材料或者界面，使得光波在通过它时能够获得一个位相突变，光的传播行为将与均匀介质中的情况大大不同.这种传播过程中的相位不连续性，或者说相位突变已经被科学家研究出来并且通过实验实现，其报道发表在自然科学的顶尖期刊《Science》上[1].

报道中的位相突变界面是由一系列亚波长尺度的微型光学振荡器在一个二维界面上有规律地排列而成，振荡器对入射波的共振响应导致其位相发生突变.由于各个光学振荡器可以随意设置，所以位相突变的大小也可以随着入射位置随意设定随意变化.这样当光波入射时，比如平面波入射，经过位相突变界面，其等相面上各点的位相将不再相同，相邻两点之间可能产生一个位相差.

位相突变给光波的传播行为引入了一个新的自由度，我们最常规的光学传播规律，比如反射定律、折射定律都将重新改写.

本文中，我们不研究这种位相突变界面的相关情况，而是假设获得这种界面后，光波的基本传播规律将如何改变，通过推导给出位相突变情况下的反射定律和折射定律的新形式，比较其与均匀介质中的反射、折射定律的区别，并进一步拓展这种位相突变界面在现代光学中的应用.

1反射定律和折射定律的一般表述和物理根源

光波入射到不同介质的界面上会发生反射和折射现象.光的反射定律和折射定律是几何光学知识体系中两个非常重要的基本定律.由于光波属于电磁波，本文依据电动力学的知识从电磁波的边界条件出发进行推导，给出反射定律和折射定律的物理根源.

电磁波入射到介质界面时，发生的反射和折射现象均属于电磁学的边值关系问题，它由电磁波的基本物理量在边界上的行为来确定.

下面我们就应用电磁场边值关系来分析反射、折射规律.

如图1所示，介质1和介质2 的分界面为无穷大平面（z=0面），平面电磁波从介质1入射到界面上（入射面为xz面），在界面上产生反射和折射，反射波和折射波也为平面波， θi、θr、θt分别表示入射角、反射角和折射角.设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为E1、Er、Et，波矢量分别为Ki、Kr、Kt，为了简单起见，设入射电磁场为时谐场，它们的平面波表示式分别为：

Ei=Ei0ei（ki ·r-ωt）

Er=Er0ei（kr·r-ωt）

Et=Et0ei（kt·t-ωt）（1）

其界面上电场强度的切向分量相等，对应的边值关系为[2]：

n×（E2-E1）=0（2）

介质1中的总场为入射波和反射波场强的叠加，而介质2中只有折射波，因此由边界条件

n×（Ei+Er）=n×Et

将（1）式代入，得

n×（Ei0eiki·r+Er0eikr·r）=n×Et0eikt·r（3）

（3）式对整个介质分界面均成立，即对z=0和任意x，y成立，因此三个指数因子必须在分界面上完全相等，即

ki·r=kr·r=kt·r（4）

又因为x和y是任意的，所以它们的系数应该各自相等，即

kix=krx=ktx（5）

kiy=kry=kty（6）

由于入射光線在xz平面内，即kiy=0，所以

kry=kty=0（7）

由此可知入射光线、反射光线、折射光线均在入射面（xz面）内，这就是反射定律和折射定律中的“反射光线（折射光线）、入射光线和法线在同一平面内”的物理来源.

另外由波矢的x分量相等得：

kisinθi=krsinθr=ktsinθt（8）

其中ki=kr=2n1π/λ0、kt=2n2π/λ0，于是有：

θi=θr（9）

n1sinθi=n2sinθt （10）

此即反射定律和折射定律中的反射角等于入射角，折射角与入射角正弦的比值等于折射率的反比.获得此结论的前提是光波在整个传播过程其位相是逐渐积累的，是渐变的.那么，如果传输过程中遇到位相突变，其结果又将如何呢？下面我们将详细推导.

2引入位相突变后，反射定律和折射定律的新形式

假设图1中的界面不再是常规的界面，而是文献[1]中所报道的位相突变界面，光波入射到界面上，其位相发生突变，突变的大小与入射点所在的光学振荡器的特性有关，即与入射点所在的位置有关，=（x，y）.如图2所示，其中的界面即为位相突变界面，由A点出发的光波由界面折射到达B点，AB之间有两个无限接近的传播路径，两路径与界面相遇时，位相均发生突变，但由于相遇的位置不同，其位相突变的大小不同，设其分别为和+d以及二者与界面交点之间的距离为dx.由于两个路径无限接近，所以他们到达B点时累计的位相近似相等，则endprint

[k0nisin（θi）dx+（+d）]-[k0ntsin（θt）dx+]=0（11）

其中θi是入射角，θt是折射角，如果其位相變化沿着分界面的梯度是常数，则

sin（θt）nt-sin（θi）ni=λ2π ddx（12）

由此可见，（12）式与前面推导的折射定律公式有着明显的不同，改变ddx的大小，可以得到任意的折射角，只有当ddx=0时，此折射定律才与常规的折射定律相同.

同理，当在分界面处引入了位相突变，反射定律也将发生明显的改变，如图3所示，依然假设两个传播途径无限接近，在B点处的位相相等，可以推导得出：

[k0nisin（θi）dx+]-[k0nisin（θr）dx++d]=0（13）

nisin（θi）-nisin（θr）=λ2π ddx（14）

由此可见，只有当ddx=0时，反射角才等于入射角，而当ddx取正负不同的值时，反射角既可以大于入射角也可以小于入射角.通过以上的推导可知，在引入位相突变的情况下，反射定律和折射定律都将有所变化，反射角可以不再等于入射角，折射角与入射角的正弦值之比也不再与折射率的大小成反比.这就给光的传播引入一个新的自由度，对现代光学的设计及应用非常有利.

3引入位相突变后，反射定律和折射定律的应用举例

引入位相突变界面后，反射角、折射角可以任意控制，这一特性在现代光学中有着非常重要应用.在这里我们就用这种位相突变界面设计一个非常重要的光学单通元件，俗称光二极管.它只允许光波从一个方向上入射时可以通过，而相反的方向入射时，光波全部被截止[3-5].

由于光波在空间的传播遵循光路可逆的原理，所以常规光学设计中，单向通光并不容易获得[6].而运用界面突变材料却把此问题变得特别简单.

如图4所示，我们利用这种位相突变材料（这里采用折射率渐变材料，GIM）做成波导结构，当光波在波导内表面反射时，其入射角与反射角不再相等.图中实线表示实际光线的传播路径，虚线表示常规材料的反射方向（反射角等于入射角）.光波从波导左侧入射时，每次反射其反射角均小于入射角，传播光线的方向变得越来越陡，在两层GIMs中多次来回反射，最终被波导界面材料中的金属成分吸收，甚至可能获得与入射角度同侧的反射角，改变传播方向向回传播，起到截止光沿波导传播的作用.而当光线由波导右侧入射时，反射角始终大于入射角，反射角度逐渐变大，传播光线变得越来越平，甚至可以以平行于界面的方向传播透射出去.这样，就实现了光的单向传播波导.于是传统光学设计中的难题在引入了位相突变材料后变得迎刃而解.

4结论

我们用电动力学的知识推导了常规的光波反射定律、折射定律，揭示了反射角、折射角与入射角之间大小关系的物理根源.在文章中引入了科研前沿的新发现，位相突变界面，并推导出在位相突变情况下的反射定律和折射定律，给出了此二定律更一般的形式.得出了反射角、折射角的大小可以通过设计位相突变界面的特性任意获得.这一新的物理发现和物理特性在现代光学中有着广泛且重要的应用，等待着科研人员去探索和发现.文章利用反射角不等于入射角的特性，设计了一个简单的单透结构，其原理简单，但是应用却非常广泛.

参考文献：

[1] Nanfang Yu， Patrice Genevet， Mikhail A Kats，Light Propagation with Phase Discontinuities： Generalized Laws of Reflection and Refraction， SCIENCE 334 （21） 2011，333-337.

[2] 郭硕鸿，电动力学 [M]. 第二版，北京：高等教育出版社，1997：143-145.

[3] Hua Gao， YunSong Zhou and ZhiYuan Zheng， Broadband unidirectional transmission realized by properties of the Dirac cone formed in photonic crystals， J Opt 18 （2016） 105102.

[4]Hua Gao， ZhiyuanZheng， JingjingDong， JuanFeng， JingZhou， Multi-frequency optical unidirectional transmission based on one-way guided mode resonance in an extremely simple dielectric grating， Optics Communications 355 （2015） 137-142.

[5] H Gao， Z Y Zheng， H Y Hao， A G Dong，Z J Fan， D H Liu， Mechanism of optical unidirectional transmission in subwavelength dual-metal gratings， Appl Phys B 114（3）（2014）401-406.

[6]IVShadrivov，VAFedotov，DAPowell，YSKivshar，NIZheludev，Electromagnetic wave analogue of an electronic diode， New J Phys13 （2011） 033025.endprint