一道物理奥赛题的解答剖析及另解

徐钟鸿+李小杰+王捷

摘要：一道物理奥赛培训试题的原参考解答在计算电场做功时存在对静电势能计算公式Ep=qφ的应用错误

关键词：静电能；作功；表面张力

为了方便读者，将《国际物理奥赛的培训与选拔》一书中的热学题220的原题及参考解答转述于下

题目已知一半径为R的球形肥皂膜上带有电量Q，肥皂液的表面张力系数为σ试求：膜内外的压强差

参考解答设球形肥皂膜的半径为R，带电量Q，则膜表面的电势φ为

φ=Q4πε0R，

设想肥皂膜经一等温过程，半径由R变成R+dR，则外界对膜所作的功dW为

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-Qdφ

式中dW1=（pi-p0）dV为内外气体所作的功，dW2=-Qdφ为电场所作的功

由于在等温过程中外界对液体（这里为肥皂液膜）所作的功等于液体自由能的增量

即dW=dF=σdA，所以

（pi-p0）dV-Qdφ=σdA，

因为

V=43πR3，dV=4πR2dR，dφ=-Q4πε0R2·dR，

A=2×4πR2，dA=16πRdR

所以（pi-p0）4πR2dR+Q24πε0R2dR=16πσRdR，

即Δp=（pi-p0）=4σR-Q2ε0（4πR2）2

笔者认为该题中在求解dW2即电场所作的功的过程中存在错误本文就出现这一问题的原因进行分析，并对原解答进行修正，再从力的平衡角度对该题给出另一解答，从而验证修正后的解答

原解答利用的是功能原理，即在等温过程中外界对肥皂液膜所作的功等于液体自由能的增量而外界对肥皂液膜所作的功又等于肥皂液膜在膨胀过程中内外气体对膜作的功（dW1）与带电肥皂膜膨胀时抵抗静电力所作的功（dW2）之和，即原解答中的dW=dW1+dW2但从电场作功dW2=-Qdφ看，原解答出现了错误从原解答用表达式Qdφ计算静电能的变化量来看，原解答考虑到了由于球的膨胀，电势将会发生变化，但是原解答对一个不可分割的带电球形肥皂膜的静电能的理解是不对的对孤立带电体而言，其静电能就是它的自能，静电能的改变量就是自能的改变量在带电肥皂膜膨胀的过程中，总电荷量Q不会发生改变根据静电能公式We=12σeφdS（φ为球面电势，σe为电荷面密度，下同）可得dW2=dWe=12Qdφ，而非原解答中的Qdφ，两者出现了12倍的差别究竟什么原因导致原解答出现这样的错误，笔者不去妄加推测，但笔者在这里需要强调的是对中学物理十分重要的电势能公式Ep=qφ的理解在中学物理中，该公式计算的是一个点电荷在静电场中所具有的电势能在这里说的电势能实际上就是这个电荷与产生静电场的电荷系统间的互能，而将其称为点电荷所具有的电势能是一个并非准确、但考虑到中学教学情况的一个妥协的说法而此时的带电球形肥皂膜是一个电荷连续分布的孤立带电体，此时它的静电能就是它的自能，应用公式We=12σeφdS进行计算因此原解中电场所作的功应为dW2=12Qdφ

故正确解答为

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-12Qdφ

其中φ=Q4πε0R

故（pi-p0）dV-12Qdφ=σdA，

Δp=pi-p0=4σR-Q232π2R4ε0

下面从力的平衡角度入手给出该题的另一解答：

带电肥皂膜表面的电场强度大小由文献[2][3]可得知为E=σe2ε0，所以电场力对肥皂膜产生的向外的静电压强为σeE = σe·σe2ε0 = σ2e2ε0

肥皂膜内、外两表面张力形成的向内的总附加压强为4σR

考虑肥皂膜内、外气体压强pi、p0和上述压强平衡，有

pi + σ2e2ε0 = p0 + 4σR

因此，肥皂膜内、外气体压强差为

Δ p = pi-p0 = 4σR-σ2e2ε0

將σe=Q4πR2代入，得到

Δp=4σR-Q232π2R4ε0

这与前文根据功能关系所做的修正解答得到的结果是相同的

注释：

①郑永令国际物理奥赛的培训与选拔[M].厦门：厦门大学出版社，2006（第1版）18.

参考文献：

[1]赵凯华，陈熙谋电磁学[M].北京：高等教育出版社，2006，57-59

[2]蔡莉莉，张晓燕关于均匀带电球面上电场强度的求解[J].物理与工程，2015，25：65-67

[3]牛庆林，王晓丽均匀带电球面电场强度的再讨论[J].临沂大学学报，2016，38（01）：142-144endprint