随机边界模型：进展及Stata应用

连玉君

(中山大学 岭南学院，广东 广州 510275)

一、随机边界模型简介

随机边界模型(Stochastic Frontier Aanalysis，后文简称SFA)由Aigner等(1977)和Meeusen和Broeck(1977)提出，目前已经在经济学和金融学等领域得到了广泛的应用。Kumbhakar和Lovell(2000)，Murillo-Zamorano(2004)，Coelli等(2005)，Fried等(2008)，Greene(2008)，Kumbhakar和Tsionas(2011)进行了非常细致的综述。Belotti等(2013)，Kumbhakar等(2015)详述了多种SFA模型在Stata中的实现方法。

(一)SFA的基本思想

从理论上讲，任何经济个体的“实际产出”都无法超出“产出边界”，二者的偏离程度便可视为其效率损失或非效率。假设一个厂商在理想状况下(没有任何效率损失)的产出水平为f(z)——给定投入要素z的最大产出，亦称“理论产出”或“产出边界”。在现实中，总是存在各种因素导致效率损失(如工人偷懒、管理不当等)，从而使实际产出q低于产出边界f(z)，即g

(1)

以上述思想为基础，可以定义如下模型：

qi=f(zi,β)·TEi

(2)

其中，0

在上述设定中，f(zi,β)是第i家厂商的“产出边界”，但并非“随机边界”，因为前者并未考虑随机因素的影响。例如，对于两家各方面特征(包括技术效率)都相同的厂商，A厂商的产出略低可能只是因为它的运气差一点(如遭遇雷电、CEO车祸意外身亡等)。然而，按照模型(2)的设定，这种坏运气都会被归入TE之中。又如，在实证分析过程中，产出变量通常都会存在衡量偏误，等式右侧的模型设定也可能存在偏误，若这些随机偏误不能得到妥善的处理，都有可能被归入TE。为此，需要在模型中增加一个随机干扰项，以便“吸收”这些厂商自身无法控制的随机因素，使得TE的设定更加“干净”：

qi=f(zi,β)·TEi·exp(vi)

(3)

yi=[f(xi,β)exp(vi)]·TEi

(4)

则“[ ]”中的部分其实就是所谓的“随机边界”，而所谓“随机”是指对产出边界的设定中考虑了随机因素的影响。换个角度来看，与模型(2)相比，模型(3)将影响效率的因素分成两类：一类是由生产效率决定的(如管理能力、激励机制等)；另一类则是由那些我们无法控制的随机因素导致的。这种分离的好处在于能使我们对产出效率的分析更加有针对性。

对(3)式两边同时取对数可得：

ln(qi)=ln{f(zi,β)}+vi-ui

(5)

其中，ui=-ln(TEi)，由于0

TEi=exp(-ui)

(6)

需要说明的是，多数情况下，我们会施加约束条件cov(ui,vi)=0，即，影响产出边界周围的那些随机干扰因素v与厂商的技术无效率u是彼此独立的。换言之，我们假设生产过程中的好运气或坏运气完全是随机因素，与技术无效率无关。

图1非常直观地呈现了随机边界模型的核心思想。厂商1在生产中遭遇了坏运气，若使用[f(x1,β)-y1]衡量其非效率产出，显然会高估其非效率水平。同理，对于厂商2，不考虑其好运气带来的随机偏差，则会导致我们低估其非效率水平。

图1 随机边界模型释义(Porcelli，2009)

(二)模型设定和估计方法

假设有k个投入要素，且产出函数f(zi,β)是对数线性化的(如C-D生产函数或超越对数生产函数)，则：

(7)

在实证分析过程中，SFA模型通常采用如下设定形式：

yi=xiβ+εi,εi=vi-ui

(8)

其中，yi=ln(qi)，xi表示解释变量构成的向量，其中第j个解释变量(要素投入)为：xji=ln(zji)，β为相应的参数向量。εi称为“复合干扰项”，由两部分组成：常规意义上的干扰项v和非效率项u。因此，我们亦可换个视角来看待SFA模型。相对于传统的线性回归模型(yi=xi'β+εi)，SFA将干扰项分成了两个部分，一部分具有对称分布，而另一部分则具有单边分布(ui≥0)。同时，假设cov(xi,εi)=0，即解释变量既不能与v相关，也不能与非效率项u相关，此时，采用OLS估计模型(8)可以得到β的无偏估计。

以此为基础可以定义出如下三类典型的SFA模型：

(1)正态-半正态模型(Normal/half-normal model)：

(9)

(2)正态-截断型半正态模型(Normal/truncated-normal model)：

(10)

(3)正态-指数模型(Normal/exponential model)：

(11)

其中，指数分布ui～Exp(σu)的密度函数为fu(ui)=θexp(-θui),θ=1/σu,ui≥0。需要说明的是，ui的标准差为σu=1/θ。

最后需要说明的是，为了获得参数的无偏一致估计量，在上述模型中都会附加约束条件，即u和v不相关，而二者与x亦不相关。无论对于上述何种设定，虽然复合干扰项εi的分布都是非对称的，但其密度函数却可以很容易地推导出来，这使得上述模型都可以采用MLE进行估计。③

(三)效率非效率的估计

根据(4)，我们可以将效率定义如下：

(12)

(13)

Jondrow等(1982)认为可以直接用1-E(ui|εi)估计效率。Battese和Coelli(1988)指出，对于正态-半正态分布模型而言，技术效率(TEi)的最佳估计式为：④

(14)

二、异质性随机边界模型

在传统的线性回归模型中，异方差的影响比较有限，此时估计量仍然是无偏且一致的，但缺乏有效性。然而，在SFA模型中异方差的影响要严重得多。在前文介绍的SFA模型中，复合干扰项通常都较为复杂。例如，在模型(15)中，复合干扰项中的常规的干扰项v和非效率项u都有可能存在异方差，从而影响系数统计推断的有效性。

考虑如下“正态-截断型半正态”SFA模型：

(15)

(16)

(17)

事实上，异质性设定的主要目的是研究非效率(平均值)及其不确定性(方差)的影响因素。核心参数是ϖi，它决定了偏离产出边界的位置(无效率水平的期望值)，文献中通常将其设定为一系列可能影响非效率水平的变量的线性函数(ϖi的取值没有特定限制)：

ϖi=ziγ

(18)

例如，设定ϖi=γ0+γ1z1i+γ2z2i，其中，z1i和z2i是可能影响非效率的变量，如公司规模、所有权性质等。⑥

对于面板数据模型而言，亦可采用上述设定方式。例如，Battese和Coelli(1995)、Habib和Ljungqvist(2005)设定γ=0，φ=0，重点分析了影响效率水平的因素；Hadri(1999)则设定γ=0，λ=0，重点研究了影响效率不确定性的因素；Wang(2003)、连玉君和苏治(2009)则仅设定γ=0，采用了更为一般化的异质性设定。

多数研究都集中于对ϖit的异质性设定。Wang(2007)应用Battese和Coelli(1992，1995)模型研究了30个国家的R&D效率，其中，ϖit设定为国内R&D支出、PC使用率以及经济自由度的线性函数。白俊红等(2009)采用相似的方法研究了1998～2007年中国30个省份研发创新效率。Kumbhakar等(2012)应用异质性SFA研究了欧洲公司研发效率的影响因素。

有关SFA异质性设定的更详细的介绍可以参考Greene(2008)、Kumbhakar和Lovell(2000)以及Kumbhakar等(2014)。

(一)模型设定问题

在上述异质性设定中，wi和zi中的变量可以有重合或者完全相同，因为二者分别是影响效率水平和效率不确定性的因素。例如，Wang(2003)在研究融资约束对台湾上市公司投资行为的影响时，便设定wi=zi，包括现金流与资本存量的比值和总资产的自然对数两个变量。

然而，对于(wi,zi)与si中的变量是否能重合则没有明确的判断依据。一方面，在本文所提及的SFA模型中，都需要假设u和v不相关以便能识别参数，这意味着(wi,zi)与si中的变量要尽可能不重合；另一方面，由于si只是出现在v的方差中(二阶矩)，而非其均值部分(一阶矩)，所以即使(wi,zi)与si中的变量重合也不必然导致u和v相关。当然，目前尚未有文献对此问题进行专门讨论。

按照相似的思路，便会很自然地想到另一个更为重要的问题：那些出现在产出边界函数中的变量能否出现在非效率项或普通干扰项的异质性设定中，即，x和w，z，s中的变量能否重合？如果可以的话，就相当于违反了干扰项与x不相关的原假设；若不能的话，又与经济常识相矛盾，因为很多变量是同时影响产出和效率的。这是尚待解决的问题。

(二)一步估计和两步估计

使用SFA模型的一个主要目的是研究影响效率的因素，早期的文献主要使用两步法(two-stage approach)，而近期的文献则主要使用一步法。

两步法的第一步是估计SFA模型并得到TE的估计值，在第二步中再以TE为被解释变量与理论上可能影响效率的因素进行回归分析。⑦这种处理方式主要存在如下两个方面的问题：其一，研究假设前后矛盾。在第一阶段的分析中，需要假设无效率项u是独立同分布的，即iid，唯有如此才能使用Jondrow等(1982)提出的方法估算效率值TE。然而，在第二步中，TE被设定为一系列公司特征变量的函数，这意味着TE并不是独立同分布的，这与第一步中的假设相矛盾(Coelli等，1998；Kumbhakar和Lovell，2000；Greene，2005b)。Wang和Schmidt(2002)的Monte Carlo模拟分析表明，相对而言，一步估计法更为可靠。

三、面板随机边界模型

使用面板数据资料进行SFA分析有几个主要的优点：其一，由于拥有两期以上的资料，我们可以控制那些不可观测的个体效应，而采用截面数据则无法实现这一目标，从而导致效率的估计有偏；其二，利用面板资料可以分析效率的时序变化特征，这也是效率分析的一个重要研究主题，而使用截面数据则只能分析个体之间的差异；其三，面板资料的样本量较大，是我们可以获得更为有效的统计推断。

(一)早期模型

前面介绍的基于截面数据的模型可以直接用在面板数据上，类似于线性回归模型的Pooled OLS，但这并未充分利用面板数据提供的信息。考虑如下面板-SFA模型：

(19)

1.效率非时变模型

此类模型假设无效率项u不随时间变化，即uit=ui。例如，Pitt和Lee(1981)(简称PL81)将ui视为随机变量，提出了RE-SFA模型；而Schmidt和Sickles(1984)(简称SS84)则将ui视为非随机变量(即N-1个虚拟变量)，提出了FE-SFA模型。无论是FE-SFA还是RE-SFA，本身都只能捕捉非效率的长期变化(persistent component)，而无法反映随时间变化的非效率项。⑧

2.效率时变模型。

此类模型允许u随时间发生变化。通常是将uit设定为ui和一个反映时间变化特征的函数g(t)的乘积，即uit=g(t)·ui。不同模型之间的差别在于对g(t)函数的设定形式不同，如Cornwell等(1990)(简称CSS90)，Lee和Schmidt(1993)(简称LS93)，Kumbhakar(1990)(简称Kumb90)，以及Battese和Coelli(1992)(简称BC92)。

例如，“CSS90模型”设定如下：

γit=α+xitβ+vit-uit,i=1,2,…,N,t=1,2,…,Ti
αit=ωi+ωi1t+ωi2t2,

(20)

其中，αit=α-uit。该模型的基本思想是把非效率项uit设定为时间t的二次函数，以便捕捉效率的时间变化特征。

“LS93模型”则将uit设定成如下形式，以便减少待估参数：

uit=g(t)·u

(21)

其中，g(t)表示一组时间虚拟变量。这种模型设定方式仅需估计较少的参数，但灵活性却降低了很多，因为上述设定意味着在同一年度上所有个体的效率都相同。

“Kumb90模型”只需两个参数，但对非效率项的设定却非常灵活：

uit=g(t)·ui=[1+exp(γt+δt2)]-1·ui

(22)

其中，γ决定了效率水平的高低，δ决定了效率变化速度的快慢。

“BC92模型”亦称为“时间衰减(time decay)”模型，在文献中应用最为广泛。⑨

uit=g(t)·ui=exp[-γ(t-Ti)]·ui

(23)

其中，Ti表示第i个个体中的最大时间长度。η称为延迟参数，用以衡量非效率项随时间的下降程度。若η<0则表示随着时间的推移，非效率程度在增强。由于在最后一期t=Ti，因此，对于公司i而言，最后一期的非效率程度即为该公司非效率程度的比较基准。

(二)TFE-SFA模型

(24)

其中，αi表示不随时间变化且不可观测的个体效应。

该模型由Greene(2005a)正式提出，为了区别于早期的FE-SFA模型，他将该模型命名为“真正的固定效应模型”，简称TFE-SFA(True Fixed Effect SFA)。为了克服TFE模型存在的冗余参数问题，Wang和Ho(2010)将非效率项uit设定为ui和一个公司特征变量函数的乘积，称为缩放因子模型，该模型的优点在于可以事先通过组内去心或一阶差分去除个体效应，进而使用MMLE(Marginal MLE)进行估计。Chen等(2014)，Belotti和Ilardi(2017)则在更为宽松的假设条件下提出了“一阶差分一致估计量”。但是由于差分后的边际极大似然函数没有解析解，需要使用蒙特卡罗模拟进行参数估计，称之为模拟边际极大似然估计法(MMSLE方法)，缺点是计算所耗时间较长。

四、其他模型

(一)双边随机边界模型

在传统的SFA模型中，实际产出始终是小于理论产出的。但在有些情况下，我们关注的y变量可以高于，也可能低于其理论上的最优值y*。如一个人的体重、公司的投资支出、政府的财政支出等。以公司投资为例，y>y*称为过度投资，反之则为投资不足。此时可以使用双边随机边界模型(two-tier SFA)来估算投资不足率和过度投资率。该模型由Kumbhakar和Christopher(2009)提出，并将应用于研究工资议价问题。模型设定如下：

yi=xiβ+εi
εi=vi+wi-ui

(25)

双边随机边界模型在诸多领域得到了应用：Lian和Chung(2008)用该模型研究了中国上市公司的投资效率；卢洪友等(2011)用该模型估算了中国医疗市场中的信息不对称程度；刘海洋等(2013)运用2006年海关进出口交易数据，估算了中国国有企业的国际议价能力。

(二)考虑内生性和门槛特征的SFA模型

在多数面板SFA模型中，都假设样本中的所有公司具有相同的生产函数。然而，个体异质性(包括技术水平、生产模式、经理人特征等)，以及外部环境(如监管制度、法律保护、文化等)的差异都会导致这一假设无法满足，从而导致效率估计值有偏。前面介绍的TFE，TRE，G-TRE以及对应的异质性设定模型都在尝试刻画上述公司内部和外部的异质性。

一个较为常用的方法是根据一些先验的指标(如公司规模、所有权性质、行业归属等)把样本公司分成两组或多组，分别针对每个子样本组估计SFA模型，并对比组间系数或效率差异。这是处理组间异质性的一个典型做法。然而这种做法的局限性也很明显。其一，分组界点的确定往往是根据经验外生确定的。其二，子样本的特征可能与分组变量密切相关，这意味着分组变量本身可能是内生的，与最初的外生性假设相矛盾(Lai，2013)。

针对第一个问题，文献中提出了马尔科夫状态转换SFA模型(Tsionas和Kumbhakar，2004)、门槛SFA模型(Tsionas等，2017；Yélou等，2010；Wang和Huang，2009)。对于第二个问题，Greene(2010)、Kumbhakar等(2009)以及Horrace等(2016)提出了考虑样本选择偏误的SFA模型。Lai(2013)则进一步将上述两种特征都纳入同一个模型中，提出了考虑自我选择偏误的面板门槛SFA模型，模型的设定思路非常类似于Hansen(1999，2000)，但进一步考虑样本选择偏误。

一般化的内生性问题在SFA文献中也逐渐得到重视，例如，Kutlu(2010)将文献中广泛应用的Battese和Coelli(1992)模型扩展为允许包含内生变量的情形，并提供了基于MLE的估计方法。Tran和Tsionas(2013)则进一步给出了基于GMM的估计方法。

在最近的研究中，Griffiths和Hajargasht(2016)基于贝叶斯分析，提供了一种较为一般化的处理SFA中内生性的方法。该模型设定中，允许无效率项和随机干扰项与解释变量相关。主要的想法是通过对数转换将无效率项转换为对数正态分布，进而将其期望值设定为解释变量的函数。

Karakaplan(2017)提供了sfkk命令，用于估计包含内生性问题的SFA模型。文中提供了多个范例来说明该命令的使用方法。

(三)零无效SFA模型

Kumbhakar等(2013)提出了一个新的模型：零无效SFA模型(zero inefficiency SFA model，简称ZISF)。这一模型的基本思想类似于零膨胀泊松模型(ZIP，zero inflated poisson model)。传统的SFA模型假设样本中的所有公司都存在不同程度的效率损失，然而，在Kumbhakar等(2013)的模型中，则假设一部分公司是“零效率损失(zero inefficiency)”的，而另一部分公司则存在非零的效率损失。利用该模型可以检验样本是否存在零无效公司。在传统SFA模型中，由于设定非效率项服从半正态分布或指数分布，相当于先验地假设样本公司都存在一定程度的效率损失，因为在这些分布函数设定下，无效率项为零的概率为0。ZISF是介于OLS和SFA的一般化模型。因为，如果样本中的所有公司都是完全有效率的，则ZISF便转变成传统的OLS回归；若所有公司都存在一定程度的效率损失，则ZISF便转变成传统的SFA模型。

除了上述模型，文献中还提出了SUR-SFA模型(Lai和Huang，2011)、考虑衡量偏误的SFA模型(Chang等，2012)。

五、随机边界分析的Stata实现

(一)Stata中的SFA命令

Stata中提供了一系列命令，可以很方便地进行SFA估计和分析。包括官方命令：frontier，xtfrontier，外部命令：sfcross，sfpanel，sftfe，sfkk，SFA2tier等。

外部命令可以使用ssc install cmdname, replace命令安装最新版。或使用findit cmdname搜索，按照Stata的提示下载，这种方式的好处是可以同时下载作者提供的范例数据Do文档。

sfcross和sfpanel命令可以完全实现Stata官方命令frontier，xtfrontier的功能，能够估算的模型和效率的估算方法也更为丰富。Belotti等(2013)对这两个命令的选项和具体使用方法做了非常细致的介绍。

sftfe用于估计Chen等(2014)，Belotti和Ilardi(2017)新近提出的“一阶差分一致估计量”，其帮助文件提供了非常详细的Stata范例。而sfkk则用于估计Karakaplan和Kutlu(2017)提出的内生性SFA模型，具体语法格式和范例说明参见Karakaplan(2017)。

SFA2tier用于估计第3节介绍的双边随机边界模型，由笔者编写，相关应用参见卢洪友等(2011)。

下面通过几个简单的例子进行说明。对于截面数据，可以使用sfcorss命令实现本文介绍的所有模型；对于面板数据，主要使用sfpanel和sftfe，虽然原理较为复杂，但操作上与sfcross命令无异。我们以Stata手册中的范例数据frontier1.dta为例进行说明。

L1．webusefrontier1．dta，clearL2．globaly＂lnoutput＂ //yL3．globalx＂lnlaborlncapital＂ //x1x2L4．sfcross＄y＄x，distribution(hnormal) //Eq．(9)L5∗-效率估计1：Jondrowetal．(1982，JLMS1982)L6．predictte＿jlms，jlms //TE=1-E(u|e)，Eq．(13)L7∗-效率估计2：BatteseandCoelli(1988，BC88)L8．predictte＿BC88，bc //TE=E[exp(-u|e)]，Eq．(14)L9∗-超越对数生产函数L10．sfcross＄yc．(＄x)##c．(＄x) //Eq．(26)L11∗-异质性SFAEq．(15)-(18)L12．sfcross＄y＄x，d(tn)emean(size)vsigma(lncapital)usigma(lnlabor)

第L4行的命令用于估计(9)式中的“正态-半正态”SFA模型。其中，非效率项的分布函数是由选项distribution(hnormal)来确定的，可以简写为d(hn)。若将其改为d(tn)或d(e)，则分别对应模型(10)和(11)。完成估计后，可以使用predict命令获得效率估计值，参见L6和L8。若将使用超越对数生产函数(26)，则可用Stata中的因子变量语法(help fvvarlist)进行设定，写法见L10。

在L12中，我们设定了一个一般化的异质性SFA模型，对应(15)-(18)式。选项emean(size)用于设定(18)式中的z变量，即ϖi=γ0+γ1sizei。vsigma()和usigma()选项用于设定(16)和(17)式中的s和w变量。至于这三个选项该如何组合使用，请参阅第2节。

(二)实操中需要考虑的问题

1.模型设定问题

在多数SFA模型设定中，被解释变量和解释变量都应采用对数形式(Stata15 Manual[R])。这是因为，虽然模型(7)是文献中惯用的模型设定形式，但它是模型(3)的对数线性化。唯有如此，才能保证(6)式定义的效率表达式具有正确的经济含义。

诚如Greene(2008)所言，在SFA文献中，函数形式的选择通常被视为技术层面的问题，并未得到太多关注。以文献中广泛使用的Cobb-Douglas生产函数为例，虽然经过对数转换后该模型具有很好的线性形式，但也隐含着非常严格的假设条件，如在给定要素价格的前提下，要素的需求弹性(demand elasticities)和要素份额(factor shares)均为常数，且要素的替代弹性均为-1。为了放松这些假设条件，我们可以使用更为灵活的“超越对数生产函数”，通过在模型中加入二次项来捕捉要素的交互影响和潜在的非线性关系(Kumbhakar，1989)：

(26)

2.分布函数的选择

对于SFA分析而言，由于非效率项通常都被视为干扰项的一部分，因此非效率项的分布函数的设定虽然会在一定程度上影响效率的估计值，但起决定性作用的仍然是对模型主体部分的设定(即对产出函数的设定)，这需要做非常深入的理论分析，并结合前期文献选择模型的形式和核心变量的衡量方法(Greene，2005a)。在实证分析过程中，将无效率项ui设定为半正态分布或指数分布并不会产生太大的影响(Battese和Coelli，1992)。

3.不收敛问题

在Stata中，SFA模型是通过极大化对数似然函数得到参数估计值的，主要采用牛顿-莱布尼兹方法进行数值求解(Stata15 Manual[R])。虽然Stata的数值求解功能已经非常强大，使用户基本不用自行设定初始值和步长，但不收敛也是家常便饭。遇到这种情况，要从如下几个方面入手。第一，模型设定。模型的形式越复杂，涉及的参数也就越多，也就越不容易收敛。因此，在保证理论分析合理的前提下，可以先从简单的模型设定入手，在保证收敛的前提下，再逐步提高模型的复杂度。第二，查验关键变量中是否包含了严重的离群值，若有则可以考虑使用对数转换或winsor缩尾处理。第三，变量的精度。在执行SFA估计前，要把所有变量都设定为双精度型。

最后，需要特别说明的是，所谓“收敛”事实上有一定的主观性。Stata中的收敛条件是：两次拟合的对数似然函数值之差小等于10-7，或两次拟合的参数向量之差小于10-6。如果上述两个条件都无法得到满足，则Stata在默认迭代16000次后即呈现估计结果，同时提示用户尚未达到收敛条件。因此，在初步测试阶段，我们可以先设定较为宽松的收敛标准，以便初步确认模型设定和程序无误。这可以使用tolerance(#)或ltolerance(#)选项来设定。

4.估计过程中的提示信息

MLE拟合过程中，在有些区间内，对数似然函数的二阶偏导是一个非常平坦的函数，Stata便会提示“Not Concave”信息，形如：

Iteration #: log likelihood = . . . (not concave)

有时Stata会改变搜索的步长，以调整搜索精度，屏幕上则会提示：

Iteration #: log likelihood = . . . (backed up)

除非上述信息在迭代的最后一步出现，通常不用在意它。

六、简要评述

有关SFA模型的相关研究还在不断深入。主要集中于如下几个方面：其一，内生性问题的研究尚处于起步阶段；其二，新近提出的动态SFA模型在分析非效率的长期和短期效应方面非常有用，但相关的应用研究还非常有限；其三，鉴于生产单元之间往往存在较强的互动行为，在SFA框架下纳入截面相关或空间相关就显得尤为必要。

就实际应用而言，Stata提供的sfcross，sfpanel，sftfe，sfkk，SFA2tier命令能够估计文献中使用最为广泛的SFA模型，但还无法很好地支持内生性-SFA，门限-SFA，动态-SFA和空间-SFA的估计。有如下几点建议：其一，虽然使用SFA的初衷是估计效率及其影响因素，但基本模型的设定(即产出边界函数的设定)仍然是非常重要的，这需要做扎实的理论分析，在不遗漏关键变量的前提下尽可能使用精简的模型。其二，不可观测的个体效应到底归入个体的异质性(产出边界函数部分)还是无效率项(干扰项部分)是目前文献中颇具争议的问题(Greene，2005a)，诚如Greene在多篇文章中强调的，或许二者无法进行严格的区分；其三，在第2小节中介绍的异质性设定方法同样适用于面板SFA模型，相对于两步法，采用这种一步法分析效率的影响因素更为合理。

注释：

①也可以将ui设定为形式上更为灵活的伽马分布，详情可参见Greene(2008)。我们可以借助Belotti等(2013)编写的sfcross命令估计“正态-伽马”SFA模型.

②详情参见第2小节有关异质性SFA模型的介绍.

③详情参见Greene(2008)以及Stata15手册[R]。对于有兴趣自行编写程序的读者而言，可以采用Stata提供的ml命令定义似然函数并执行估计。Stata官方命令frontier对应的ado文档(frontier.ado)，以及相应的似然函数文档(fron_hn.ado)都存储于stata安装目录下… adoase f文件夹下。Gould等(2010)非常细致地介绍了如何在Stata中执行MLE估计.

④一个令人遗憾的事实是，这个应用最为广泛的TE估计式并不是一致估计量，因为(ui|εi)的方差独立于i，意味着其方差不会随着样本数的增加而减小.

⑥相关应用参见Habib和Ljungqvist(2005)、Wang(2003)、连玉君和苏治(2009).

⑦Koutsomanoli-Filippaki和Mamatzakis(2010)采用两步法估计了效率的调整速度。第一步采用传统的SFA模型估计出TE值，第二步则以TE为被解释变量，采用动态面板模型估计调整速度.

⑧另需说明的是，这里所谓的“个体效应”指的是不随时间变化的非效率项，而非产出函数中的个体效应。因此，严格而言，这里的FE或RE并不是面板数据文献中所言的真正意义上的FE或RE.

⑨Kumbhakar和Wang(2005)采用该模型研究了技术进步的追赶效应。Kumbhakar和Peresetsky(2013)综合应用了多种Panel-SFA模型分析了俄罗斯银行业的效率.

⑩由于每个公司中包含的样本区间(T)都比较短，∂i的方差并不会随着N的增大而降低.

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