微积分学中的极限思想及其应用

王宏军+贾月仙

摘 要：极限指的是从数量上描述了变量在无限的变化过程中所表现的变化趋势，在无限变化的过程中对变量变化趋势进行考察研究的思想称为极限思想。对于将要进行考察研究的未知变量，可以先通过一种方法构思出一个跟它相关的变量，通过对这个变量在无限变化过程中得到的结果进行确认就能得到要求的那个未知量，再通过极限思想进行计算，从而得到最终的结构，上述就是通过极限思想解决数学问题的过程步骤。本文分析了几种常见的极限思想模式，重点阐述了极限思想在数学微积分中的应用和对于数学教学的重要作用。

关键词：微积分 极限思想 应用

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）11（c）-0252-02

极限思想反映的是一个变量和另一个已知量之间的无限接近，通过这个已知量得出另一个变量的最终极限值。微积分在数学历史上的产生过程同时也是人类对极限思想的逐步深入认识和明确的一个过程。极限思想是数学微积分中的最基本数学思想。微积分中导数、多重积分、曲面积分、函数连续性、定积分和曲线等重要概念的定义都需要通过极限思想完成。由此可见，微积分是在极限思想支持下，以极限理论为主要的研究工具，对函数进行更深层次研究的一门学科。

1 极限思想

1.1 无穷分割方法下的极限思想

无穷分割方法下的极限思想是微积分思想的重要基础。这种极限思想的实质是通过无数个同维度的无穷小的元素之和去定某些立体的体积、物体的质量和曲边形的面积。定积分的理论来自与求曲边梯形的面积，指的是将曲边梯形看作无数个小梯形的面积之和。这一思想也被应用在求面积、求弧长和求旋转体体积方面。在这一思想影响下，结合相关的解析几何手段和代数方法，产生了直角坐标系下二重积分的定义和求解方法。由此可以看出极限思想为微分学的产生和发展奠定了基础。

1.2 无穷大，无穷小方法下的极限思想

通过内接正多边形的面积的极限值求圆的面积，相当于两个相关的变量，一个变量在另一个变量发生变化的过程中，与另一个已知变量之间的差不断减小，从而可以通过这个已知量得到相关变量的最终极限值，这个极限值的概念就是“极限”。由此可知极限思想理论就是一个变量和另一个已知量之间的一种无限接近，最终通过这个已知量反映出相关变量的最终极值[1]。

2 极限思想的应用

2.1 一种新研究方法

在对速度的研究过程中，利用极限思想，可以对平均速度的极限值进行研究，从而对瞬时速度的值进行确定。在密度研究过程中也可以依据对密度的极限值进行研究，对密度的极限值进行确定。可见，极限思想在许多方面都有着重要应用，并且其也是力学等其他理工学科的一种重要研究方法。极限思想的确立，促进了数学微积分的进一步发展，为对庞大的分支体系进行研究做铺垫，从而使分析方法真正成为分析学。

2.2 极限思想为数学微积分的发展奠定了基础

极限思想是数学微积分中的基本理论，是微积分概念由来的基础，也是微积分与其他教学不同的一个重要表现。

极限思想需要在微积分教学中全面贯穿，多数学术概念都以极限思想作为基础。例如，在研究函数过程中对某一点的定义，如果自变量近乎零增长时，此时函数值的增长量也接近于零[2]。

极限思想在一定程度上使分析学的研究面发生了扩大，促进了微积分的发展和完善。例如，在研究过程中，将一般的积分发展为广义积分。

2.3 在其他学科中的应用

（1）实数系的确立离不开极限思想的支持，极限运算的进行需要在封闭型数域中开展。例如，四则预算的开展就必须要在封闭型数域中开展。极限预算在开展过程中需要完善的数系，这个数系指的就是实数系。实数系由魏尔斯特拉斯逻辑结构组成，这导致了在数学分析中，无论出现何种概念以及极限都能够利用实数与其基本关系和运算进行精确的表述。以分析学为基础的逻辑基础指的是实数系、极限系、微积分三者间的联系。

（2）概率论中的大部分中心极限定理和定律都是通过极限思想对大量随机性现象进行研究统计其规律性的。概率论中最著名的一项结果就是中心极限定理，中心极限定理为独立性随机变量之和近似率的计算提供了较为简单的方法，同时也有利于对自然群体自身经验频率呈正态分布曲线的原因分析。在对微分讨论中，涉及到解的极限值，分析泛函时，其中存在的马氏链是有极限性质的，土体的极限分析，算法中的极限编程理论和经济学方面的极限趋势思想等都可以体现出极限思想的应用广泛性。

3 极限思想在数学教学中的重要作用

3.1 有利于全面落实数学教学思想方法

数学思想方法是数学教学中的主要目标，是促进学生智力发展的关键因素，是培养学生创新意识的理论基础，同时也是教学素养中的重要组成部分。在数学教学过程中，掌握极限思想的含义，充分发挥极限思想的重要作用，能够促使学生在面对较难的数学问题时可以自主通过极限思想理论进行解读，有助于学生真正全面的理解和掌握极限思想方法，同时也能够促进数学课程标准实施时全面落实数学思想方法[3]。

3.2 能够充分感受和体验数学的简洁美

在数学中一个简单的数字“1”就可以体现出数学的简洁美。数学的简洁主要表现在其数学理论体系、表示方法和证明方法等在组成结构上比较简洁明了。在数学中所有公式都可以用简洁的语言进行表述和概括，有利于人们的理解掌握。任何证明也都可以通过简洁的语言进行表达。数学中的各种概念理论之间关系比较清晰明了，结构简洁。极限思想同样可以通过几句简单的语言就可以进行总结和概括。极限思想在数学教学中的利用不仅可以作为学生的一种解题思路，也可以充分发挥学生的思维能动性。

3.3 有利于提高数学水平

所谓数学水平，指的是学生面对数学问题时利用所学的知识进行解题的一种能力。主要表现在数学的表达能力、抽象思维能力、空间思维与概念深刻程度、广阔性、阅读能力、计算能力、逻辑思维能力和敏捷性等方面共同组成的开发动态结构系统。采用极限思想的方法进行数学教学，能够大大提高学生的数学水平，帮助学习记忆数学公式，解答数学难题，从而提高学生的思维逻辑能力。例如利用极限思想求曲边梯形的面积，这类问题能够有效激发学生的兴趣[4]。

3.4 提高解决数学问题的能力

在数学教学过程中充分发挥极限思想的重要作用，能够有效降低数学问题的难度系数，帮助学生理顺解题思路，使学生能够在较短的时间内找到正确的解题方法，能够取得事半功倍的学习效果。通过对极限思想的掌握和应用，能够极大地帮助学生解决函数问题、立体几何问题、不等式问题、平面解析问题、数列问题和定积分问题等多种数学问题。

4 结语

综上所述，极限是从数量上对相关变量在无限变化过程中的变化趋势进行描述，在此无限变化过程中对相关变量变化趋势的考察研究就是极限思想。利用极限思想解决数学问题，能够有效降低问题的难度，优化学生的解题思路。不僅能够加深学生对极限思想的理解掌握，培养学生的逻辑思维能力，开阔学生眼界，同时也会使学生的创新能力和创新意识得到提高。在教学过程中重视数学思想方法教学，有利于学生主动、独立的解决问题，探索新知识，加速推进知识转化为能力的过程。

参考文献

[1] 李美华.极限思想及其在数学中的应用[J].科教导刊，2013（36）：44，107.

[2] 袁凌，崔宏亮.高等数学教学中极限思想的辩证思考与理解[J].商情，2011（22）：81.

[3] 董国阳.浅谈微积分的起源与发展[J].大观周刊，2011（39）：91.

[4] 朱永强.高等数学中函数极限计算方法[J].科技风，2010（23）：30-31.endprint