这道题寓意深远

渠东剑

课本上有一道练习题：

求证：无论k取任何实数，直线（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=O必经过一个定点，并求出定点的坐标.

一、解法

思路1 既然对任何实数k，直线（1+4k）x、（2-3k）y+（2-14k）=0必经过一个定点，意味着所有的（无穷多条）直线都过同一个定点，特别地，取两条特殊的直线，也要经过该定点，这两条直线相交，其交点就是该定点.这样可以得到该定点的坐标，然后验证所有直线都过该定点.

比如，取k=0，k=l，由此可得两条直线交点为（2，2），将（2，2）代入方程（1+4k）x（2-3k）y+（2-14k）-o成立，即是取任何实数，点（2，2）都在直线（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o上，也就是直线过定点.

思路2 变换视角，变更主元.视k为主变元，可得（4x+3y-14）k+x-2y+2=O，因为对任何实数k都成立，所以4x+3y-14=0，x-2y+2=0

解之得x=2，y=2.即点（2，2）恒满足直线方程（1+4k）x-（2-3k）y+（2-14k）=o，从而结论成立.

二、思想方法

思路1 特殊化思想.任意的成立，则特殊的成立，再去验证一般情形成立.如果这里不去验证，则不能下结论对任何实数都成立.其中蕴含“特殊化”思维策略，即“一般一特殊一验证一一般”.

思路2 变换问题视角.变更主变元，将关于x，y的不定方程转化成关于k的恒等式.由关于x，y的方程到关于k的恒等式，蕴含主要矛盾与次要矛盾的转化，这是解决问题的重要策略，

还要深刻理解问题的本质——体会变化过程中的不变.在这里k为任何实数，k是变的，直线是变的，有无穷多条，但这些直线恒过定点，这是不变的.直线过定点是变化过程中的不变，这是本题的数学本质，也是解析几何研究的重要内容.也就是说，变化的是直线（原因是k变化），不变的是直线过定点（直线束）；从代数视角，聚焦字母足，变化的是足（参变数），不变的是两边恒等，进而可得对应系数相等；从方程视角，方程（1+4k）x -（2-3k）y+（214k）=0可被看成是关于x，y的二元一次方程，该不定方程有无穷多个解，但无论其系数如何变化（原因是k变化），这个方程都有唯一确定的解.

由此说开去，更一般的，数学所研究的，一般都是不变的、有规律性的对象.而这种不变，是相对于变化而言的，是基于变化而得到的.探索变化中的不变，是永恒的追求，充满智慧，富有哲理……例如，圆的本质就是无论动点怎样变化，它到一定点的距离总等于定值；直角三角形中的三角函数，只要锐角确定，三角形可以变化，但其对边与斜边的比值不变；一条定直线上的点运动变化，但这条直线的方向却是一定的……

三、嘹望高考

信手拈来高考解析几何题，几乎都是用解析法去研究“变化过程中的不变”.如果从所研究方法、思维策略等层面理解，这些题目如出一辙：无论题目的知识背景如何，也不管是何种类型的问题，从所要研究的问题的本质分析，都不外是研究变化过程中的不变.这些不变的可以是量的不变（如定值问题），也可能是几何位置的不变（如曲线过定点），抑或是相关结{的不变…一

这里，仅以2008年至201 6年高考江苏卷解析几何大题为例，摘录其中的一些典型问题分析，把握其要解决问题的本质，以说明上述观点.虽然同学们还没有学习圆锥曲线，对这些题目难以理解解决，但可以窥探其中的“变中之不变”的本质，从而，更深刻地理解本文所谈的这道题目意蕴深远——

2008年，圆C是否经过定点（与b无关）.

2009年，存在无穷多对直线，使……（与直线斜率无关）.

2010年，求证直线MN必过x轴上一定点（与m无关）.

2011年，对任意的k>0，求证：PA上PB（与k无关）.

2012年，求证PF₁+PF₂是定值（與A点无关）.

2013年，求变化的范围，不变的是两网总相交.

2014年，椭圆“大小”可变，不变的是“形状”（离心率）.

201 5年，探求变化中的“那个”（长度关系）时刻.

201 6年，求范围，使得变化过程中，总有条件（平行）成立，

愿这道题能生根发芽，枝繁叶茂，开出美丽的解析几何思想方法之花！endprint