四轮渐近教学法

孟庆杰

摘要：本文依据数学家华罗庚先生提出的学习数学的四种境界，阐述了四轮渐近教学法，即一轮课堂模仿、二轮作业独立解决、三轮小组研讨、四轮自学升华.

关键词：模仿；独立解决；研讨；自学；教学法

一、四轮渐近教学法

1.一轮课堂模仿

课堂模仿就是常规课堂教学即老师讲清概念、性质、公式等，师生合作完成几个例题（以教材例题为主），学生模仿做几个练习（以教材习题为主，基本都是定义、性质、公式的正用），这期间包含师生交流、探讨等.

2.二轮作业独立解决

课后作业是教学过程的基本环节之一，如果教师能按照下面这样精心设计作业，就能收到很好的效果.（1）逐字阅读今天所学定义、性质、公式等数遍，最后一字不差的背诵下来；（2）独立完成老师精选（基本是定义、性质、公式等的逆用和变形用等）的作业（第二天必须上交）.

3.三轮小组研讨

此轮首先分好学习小组，分学习小组很有学问，一定要考虑好各项指标.较好的分组方法是自愿组合，老师协调好学习好差、男女生比例、性格内外向、学习数学的兴趣等，每组5—6人为宜.其次，小组成员推选一名爱好数学且对数学有感觉的组长，负责完成小组任务等工作.最后，如下布置小组任务（组长负责找好時间、地点、方式等，三天内必须完成）：（1）小组每个成员用不同于教材的语言，等价叙述本节所学定义、性质、公式等（这里主要指用数学的三种语言即图表语言、符号语言、文字语言），语言越简单越易懂越好.然后组内相互交流、补充，最后选出公认的最好的在全班面前展示；（2）研究探讨老师精选的题目（基本是创设情境，构造新方法的题目）.

4.四轮自学升华

前三轮是解决数学概念的内涵即纵向问题，而此轮是研究数学概念的外延即横向问题.本轮的任务（三天内必须完成）（1）独立思考查资料看一看本节所学定义、性质、公式等与学过的（有时也可以是没学过的）哪些知识有关，有何关系？（2）独立思考老师精选的几个问题.

5.验收

在学完本节内容三天内，教师找一节课（有时是半节课或两节课，不管多长时间，以完成教学任务为准），组织全班同学解决如下问题：（1）背课文（一字不差）；（2）小组推选的用不同于教材概念叙述的等价叙述概念的展示；（3）自学查资料展示；（4）师生研讨解决（以教师为主）教师精选试题中的疑问及学习研究中的相关问题（有些问题师生之间、生生之间已经交流会了）.

二、四轮渐近教学法的实例说明

以高中数学人教B版数学必修1“2.1.4函数的奇偶性”[2]为例，具体说明四轮渐近教学法.

1. 一轮课堂模仿

（1）老师通过导课引出奇函数和偶函数定义：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），则这个函数叫做奇函数. 设函数y=g（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且g（-x）=g（x），则这个函数叫做偶函数.老师强调：定义域内，x、-x属于定义域，f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）.

①教师模仿：教材例1（1）判断函数f（x）=x+x3+x5的奇偶性.

解：因为函数的定义域为R，当x∈R时，-x∈R.因为f（-x）=-x-x3-x5=-f（x），所以函数f（x）=x+x3+x5是奇函数.

②学生模仿（老师叫一名学生解答）：教材例1（2）判断函数f（x）=x2+1的奇偶性.学生解答略，参考答案：偶函数.老师再强调判定方法：定义域内，对称，f（x）与f（-x）的关系.

③全体学生模仿：教材P49判断下列函数是否具有奇偶性：

A.f（x）=x+x3B.f（x）=-x2

C.f（x）=1+x3D.f（x）=1x2+1，x∈[-1，2].

参考答案：A.奇函数；B.偶函数；C.f（x）与f（-x）既不相等也不相反，非奇非偶；D.定义域不对称，非奇非偶.

（2）通过上面的模仿，我们基本知道了如何判断函数的奇偶性.研究函数主要研究函数的图象和性质，老师话题一转，看一看奇函数和偶函数，他们的图象有何特点.通过具体实例观察，用特殊到一般的思想，给出奇函数和偶函数的图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

①教师模仿：教材P538.已知偶函数f（x）在y轴右边的一部分图象（如图1），根据偶函数性质，作出函数在y轴左边的图象.教师根据偶函数图象关于y轴对称，作出y轴左边的图象（略）.

②全体学生模仿：教材P538.已知奇函数f（x）在y轴右边的一部分图象（如图2），根据奇函数性质，作出函数在y轴左边的图象. 多数学生能根据奇函数图象关于原点对称，作出y轴左边的图象（略）.

教师强调奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称.

③师生共同模仿：教材P494（改编）.如图3，给出函数y=f（x）的局部图象，当函数f（x）是奇函数或偶函数时，试分别比较f（1）与f（3）的大小.参考答案：f（x）是奇函数时，f（1）>f（3）；f（x）是偶函数时，f（1）

④师生合作探究教材例2.研究函数y=1x2的性质并作出它的图象.

通过讨论及教师的启发，学生很快发现此函数是偶函数.所以只考虑x>0时的图象性质，就可以知道定义域内整体的性质和图象（略）.

教师总结强调，进入下一轮.

2.二轮作业独立解决（有时当堂可以做作业）

模仿完成开始布置作业：（1）逐字阅读教材P47—P49 数遍，一字不差的背诵奇偶函数定义及图象特征或一字不差的背诵从P47—P49 整篇内容.（2）能背诵下来后，独立完成如下试题（第二天上交）：

①判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x2-2ax，x>0-x2-2ax，x<0；

（2）f（x）=-x2+ax，x>0-x2-ax，x<0

②已知函数f（x）=x+1+x-a是偶函数，求实数a.

③已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1.若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=.

④已知定义域为R的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=x2-x，求函数f（x）和g（x）的解析式.

⑤讨论函数f（x）=a（a为不等于零的常数）的奇偶性.

⑥判断函数f（x）=1-x2+x2-1的奇偶性，并由此题结论说明任给函数g（x），若从奇偶性角度分类，有几种情况？

参考答案：①（1）奇函数（2）偶函数；②a=1；③g（-1）=-1；④f（x）=-x，g（x）=x2；⑤当函数定义域为对称区间时，函数是偶函数.当函数定义域不是对称区间时，函数为非奇非偶函数；⑥因为函数定义域为-1，1，且f（x）=0，所以函数f（x）为既奇又偶函数. 任给函数g（x）可分为：奇函数；偶函数；既奇又偶函数；非奇非偶函数.

3.三轮小组研讨（有时课堂可以研讨）

此轮由组长负责（找好时间、地点及方式等）完成下列任务（三天内完成）：（1）小组每个成员，结合数学的三种语言，简单明了地用不同于教材的语言，叙述奇函数偶函数的定义.经小组交流补充后，推选一名最好的在全班面前展示.（2）运用集体智慧完成下列问题：

①若奇函数f（x）的定义域内含零，则f（0）=.从定义和图象角度分别说明结论的正确性，若能举例说明此结论的应用更好.

②对任意偶函数f（x），是否等式f（x）=f（x）一定成立，说明理由.若等式成立，能否举例说明它的应用.

③定义域为对称区间的函数f（x），在判断其奇偶性时，除教材的方式外还有没有其它方式？

④定义域相同的两个奇函数f（x）、g（x）和两个偶函数h（x）、t（x），它们经过加、减、乘、除后所得函数是否还具有奇偶性？

⑤已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x），对于定义域内任意实数x，y都有f（x·y）=f（y）x+f（x）y成立，试判断f（x）的奇偶性.

⑥设f（x）是连续的偶函数，且当x>0时f（x）是单调函数，则满足f（x2-2x-1）=f（x+1）的所有x之和为.

⑦不等式8（x+1）3+10x+1+x3+5x>0.

参考答案：①f（0）=0.由定义f（-0）=-f（0），推出f（0）=0；由奇函数图象性质，原点关于原点的对称点是本身，所以图象过原点，即f（0）=0；

②一定成立.因为当x≥0时，x=x，所以f（x）=f（x）.当x<0时，f（x）=f（-x）=f（x），所以f（x）=f（x）；

③f（x）±f（-x）=0（+号成立为奇函数，-号成立为偶函数），f（x）f（-x）=±1（f（-x）≠0）（+1为偶函数，-1为奇函数），f（x）·f（-x）=±f（x）2（+f（x）2为偶函数，-f（x）2为奇函数）等；

④f（x）+g（x）为奇函数，h（x）-t（x）为偶函数，f（x）·h（x）为奇函数等；

⑤若f（x）恒为零，则函数为既奇又偶函数.若f（x）不恒为零，函数为奇函数；

⑥由题意x2-2x-1=x+1或x2-2x-1=-（x+1），解得所有x之和为4；

⑦原不等式化为（2x+1）3+5×2x+1>-x3-5x①.设f（x）=x3+5x，则①变为f（2x+1）>-f（x）.又函數f（x）是奇函数且在R上递增，所以f（2x+1）>f（-x），即2x+1>-x，解得x>-1为所求解集.

4.四轮自学升华

认真完成前三轮的学习研究，学生对奇偶性问题已经有点感觉和认识了.此时独立完成一些奇偶性的问题，时机已经成熟.因此布置如下任务（三天内完成）：（1）独立思考查资料，看一看奇偶性问题与学过的（也可以是没学过的）哪些知识有关，有何关系？找出一点或两点即可.（2）独立完成下列问题：

①已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-2）

②设定义在[-2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（m）+f（m-1）>0，则m的取值范围.

③已知函数y=f（2x+1）是偶函数，则一定是函数y=f（2x）图象的对称轴的直线是（）.

A.x=-12B.x=0C.x=12D.x=1

参考答案：①f（2x-2）=f（2x-2）

②f（m）>-f（m-1）=f（1-m），推出-2≤m<1-m≤2，解得m∈[-1，12）；

③f（2x+1）=f[2（x+12）]，所以图象向右平移12个单位，得y=f（2x） ，所以答案为C.

5.验收

四轮完成后，就是老师收口的时候了. 在学完本节内容三天内，教师找一节课（有时是半节课或两节课，不管多长时间，以完成教学任务为准），组织全班同学解决如下问题：（1）背课文（一字不差）（略）；（2）展示小组推选的不同于教材的奇偶性定义：这里举几例①人体就是偶函数模型②定义域内自变量取互为相反数时，所对应的函数值相等为偶函数，所对应的函数值互为相反数为奇函数③定义域内自变量取互为相反数时，所对应的函数值相减为零为偶函数，所对应的函数值相加为零为奇函数等；（3）自学查资料展示：这里举几例①奇函数若在y轴两侧单调，则单调性相同②偶函数若在y轴两侧单调，则单调性相反③非奇非偶函数，若其图象有一条平行于y轴的对称轴，则其函数可以通过图象平移变为偶函数；若其图象有一个对称中心（a，0）（a≠0），则其函数可以通过图象平移变为奇函数等；（4）师生研讨解决（以教师为主）教师精选试题中的疑问及学习研究中的相关问题（有些问题师生之间、生生之间已经交流会了）（略）.

总之，教无定法，无论怎样好的教学方法，老师、学生都要相互配合，并且付出很多辛苦和努力.如果感到数学难教，学生难学会，不妨试一试四轮渐近教学法，可能有一定的效果.

参考文献：

[1]夏炎.谈谈数学学习的三种境界[J].中学数学月刊，2003（11）：4-5

[2]中学数学教材实验研究组.人民教育出版社B版数学必修1，2008：47-49