在有序操作中建构概念，在有效活动中积累经验

张莉

数学知识和数学学习强调“有序”已经是业界的共识。就数学学习活动尤其是操作活动的组织和安排而言，如何根据学情来建立操作活动的序，并在有序的操作中建构概念，进而让学生积累好的活动经验，这应当是教师需要重点考虑的问题。基于此理念，笔者对二上“角的初步认识”一课进行了研磨，并收获了不少感悟。

第一次教学与反思

【第一次课堂尝试】

操作环节一：建构“角”的概念

师：小朋友们，今天我们来认识“角”，生活中，你见到过角吗？

生：三角形上有角。

生：牛角、羊角。

生：还有桌角、墙角。

师：这些都是我们数学上的角吗？通过今天的学习，小朋友就可以知道了。

师：老师带来了三件物品，它们身上有角吗？请你找一找。（媒体出示：红领巾、钟面、数学书）

生指角，师指出正确的指角方法。

师：观察这三个角，它们有什么相同的地方？（媒体隐去实物，抽象出角）

生：都是尖尖的。

生：边都是直直的。

师：是的，这个尖尖的地方叫作顶点，这直直的两条线就是角的边。

师：现在再来找找周围的角，你能用正确的方法指出来吗？有两个学生还是指立体角，接下来判断角的练习时也有出错情况，如把整个三角形判断成一个角。

……

操作环节二：感悟角的大小的本质

1.生用学具小棒做一个活动角，并让角变大变小。

师：你们怎么让角变大变小的呢？

生：我是把角张开些，角变大，缩拢一些，角变小。

师：原来角两边张开大，角就大；角两边张开小，角就小。（边说边演示）

2.师：想一想，如果我想让角就这么大，不能再变大变小，该怎么办？

生：把角的顶点这里粘住，不能动了。

师：好，听你们的。（师固定）这个角的大小真的不会变了吗？看我让它变小（剪刀不断把边剪短）角变小了吗？

生：越来越小了。

生：没变小。（学生意见不一致）

师：真的变小了吗？刚才我们不是把顶点固定住，让角不能变大变小吗？

生：哦，那没变小。

师：那角的大小和什么有关，和什么没有关系呢？

生：角的大小和角的两边有关系。

师：和角两边的什么有关系？

生：和角两边的长短有关系。

师：和长短有关系吗？你看角的两边剪短了，角的大小没有变呀。

生：哦，没关系。

师总结：角的大小和角两边张开的大小有关系，和画出边的长短没关系。

3.师：现在你能用活动角做一个比老师的角大一点的角吗？（生上来摆，师演示重叠比较法）

在下面练习中，当出现一组边长短差异很大的相等角时，部分学生判断错误。

【反思】

课后，基于学情的深入分析，笔者列出了问题所在，并分析原因，提出改进策略。

一、问题

操作环节一：前经验真的被唤醒了吗？

在引入角的概念时，我遵循了常规设计：先自己找生活中的角，唤醒相关生活经验，然后从熟悉的实物中抽象出数学的角，寻找角的共同属性。但从课堂反馈来看，效果并不好，初步认识角以后，生活中的立体角和抽象的数学角继续混淆着存在于学生的脑海中，学生并未把概念的内涵和外延理清楚。

操作环节二：活动角的操作真的有效吗？

感悟角的大小的操作活动，笔者先通过“活动角变大变小、固定老师的活动角、不断剪短固定角两边”这一系列操作活动，感悟角的大小与边叉开的大小有关，与画出边的长短无关，再通过“摆一个比老师的角更大的角”这个活动学习用重叠法比较角的大小的方法。但实际效果也不好，角的大小的本质由教师直接告知，学生在看似丰富的操作活动中，并未积累基于概念建构的相关活动经验，故当出现边长短的干扰时，还是无法正确判断。

二、原因

1.对角这个平面图形，学生其实是有可利用的前认知的，但同时也明显存在生活经验的负迁移。第一次操作活动让学生从周围实物中找角，不能有效激活学生前经验中的那部分正确认知，而是激活了易混淆的生活立体角的经验，而后续教师也没有基于学情及时处理，导致学生未能很好地建构“角”。

2.在认识角以前，所有平面图形的大小都是面的大小，迁移到角的大小的理解中，学生也深以为然。所以在边长短相同的情况下，学生能自如地让活动角变大变小，也许并不是概念理解下的正确操作，而是歪打正着。一旦边的长短有明显差异时，旧经验就阻碍了对角大小的理解：教师演示用剪刀剪角的边，很多学生认为角变小了，因为形成的面变小了。而接下来的“摆一个比老师的角更大的角”，学生脑中角的大小的概念是教师灌输的“两边叉开大小”和原本经验“面的大小”同时并存，负迁移并未被修正。那么當两边长不同的相等角出现时，判断错误也是情理之中。看来，在还没弄清楚“角的大小到底指什么”这个重要问题时，出现不同边长的角的大小操作活动都是无效的。

三、对策

基于上述的学情分析和反思，笔者想到了两次操作活动的序的安排均需调整，具体来说就是：（1）在认识角时，将“实物中抽象出数学角”这一活动延后，先去除无关因素的干扰，用最简单的材料操作，激活学生正确的前经验，并针对生活角与数学角易混淆的现象，设计区分立体角和数学角的操作演示，以凸显角作为平面图形的本质属性。（2）有关角的大小操作活动的序调整为：先建立正确的角的大小的观念，再出现两边长短不同的角的大小辨析。同时让边长短不同的相等角由常规的判断变为学生动态的操作活动，激发学生对角的大小本质的主动感悟。这样学生才能充分利用角的大小概念对边的长短的干扰进行甄别，积累“应用概念进行辨别”的操作经验。endprint

带着这些思考，笔者进行了第二次课堂尝试，收到了很好的效果。

第二次教学与反思

【第二次课堂尝试】

操作环节一：建构“角”

1.师：今天我们一起认识一种新的图形——角。你知道角吗？找找你的周围，哪儿有角，上来指一指。（生上来有指桌角、墙角）

师：这些生活中的角都可以看成数学上的角吗？通过今天的学习，我们就知道了。

2.老师提供一根吸管、两根学具小棒、一根棉线，同桌合作，选其中的一种材料创造一个角。

反馈交流：学生在实物投影中摆角。

师（棉线没有拉直）：这个是角吗？为什么？

生：不是角，因为它的边不直，是弯弯的。

师：请让它变成你心中的角。

师：原来角的两条边要直直的。

师（小棒分开，没有公共点）：这个是角吗？为什么？

生：不是，因为它们没有碰在一起。

师：请你把它变成角。

师：原来这两条线段，要有公共的点。

师：小朋友做的角材料不同，大小不同，但有相同的地方，是什么？

生：有一个交叉点，有两条直直的边。

师：是的，它们都有一个尖尖的点，两条直直的线。都可以看成数学中的角。

师：这个点我们叫作顶点；两条直直的线，我们就叫作角的边。

师：现在，看老师怎么来介绍角。（边比画边说）一个顶点，两条边，这儿有一个角（画圆弧）。谁能像老师这样，来介绍另外两个？

生上来准确介绍了另外两个角。

正确地介绍角的方法由教师先做演示操作，其实是角的本质属性的外显，学生每一次找角时都可以规范地用上，在不断巩固角各组成要素的同时，也时时关注角的核心是两边之间所夹的距离的大小，为下面的学习做铺垫，一举两得。

3.师：看来，小朋友对角已有一些了解。那这些物品中有角吗？（三角尺、钟面、数学书）你能像刚才这样来介绍吗？

生规范地介绍，媒体抽象出角。

4.师：现在你能用数学的眼光再来判断一下，大家一开始指的生活中的角，是数学的角吗？

生：桌角不是，它跟数学角不一样。

师：是的，桌角、墙角是物体上突出的部分，不是数学上的角。就像这个长方体盒子，这个突出的地方是数学的角吗？

生：不是。

师：那你能在这个长方体中找到数学的角吗？

生上来用规范的方法介绍长方体一个点出发的一个角。

师：真棒，他在盒子的这个面上找到了角。还是这个顶点，还有其他的角吗？

5.师小结：看来，生活中的角和数学的角还是不太一样，大家说的桌角、墙角都是立体的，而数学上的角是个平面图形。

先用半抽象的简单材料创造角，而后再从生活实物中抽象出角，这样的顺序调整，目的是摒弃非本质属性的干扰，唤醒学生心中对抽象角的正确前认知，再通过两次辨析强化突出角本质特点。而在数学角概念初步建立后，再通过“从实物中抽象出角、利用概念辨析课前学生心中的生活角、在立体角中找数学角”这一系列的操作活动，让学生经历巩固和运用概念进行自主判断的学习过程，至此，错误前经验得以修正，正确的概念得以建构。

操作环节二：理解角的大小的本质

1.师：现在咱们再来玩玩活动角。

要求：（1）每人用学具中的小棒做一个活动角。（2）同桌两个小伙伴比一比，谁的角更大。

两个学生上来比角的大小，师介绍规范的重叠比较法。

师：我们已经知道怎样比较角的大小了。那你能让自己的角变小吗？再让角变大。

师：说说你们是怎么让角变大变小的呢？

生（边演示边说）：角的两边拉开，角就变大了，缩拢，角就变小了。

师演示：原来，角两边张开大，角就大；角两边張开小，角就小。角的大小其实就是角两边张开的大小。

2.师：老师摆了这样一个角，你能用你的活动角摆一个和老师一样大的角吗？

生：能！

师：你们的边这么短，可以吗？

生上来摆，引导用重叠法：顶点重合，水平的一条边重合，第二条边旋转，直到与另一条边重合。

师：他是怎么做到的？

生：一条边重合，另一条边张开张开，张开到一样大为止。

师：原来顶点和边都重合了，说明这两个角两边张开的大小一样，它们就是大小相等的角。

师：把两个角分开，这两个居然是大小相等的角，看上去好像我这个大得多呀。

生：你不能看边，边再长也没用。

师： 你的意思是，角的大小和边的长短——

生：没关系。

师：那角的大小和边的什么有关系？

生：角的大小和边叉开的大小有关系。

在下面的练习中，对大小相等，但边长短不一样的角，学生都能准确判断。

第二次教学时，活动角的操作顺序为：

活动1：同桌比活动角的大小，通过教师演示重叠法，初步建构角大小比较的方法。

活动2：让活动角变大变小。此时，“角的大小即为面的大小”的错误经验被正确的角大小概念代替。

活动3：利用角的大小比较的方法，摆一个和教师的角相等的角。边长短不同的相等角的比较，一般都是直接呈现两个角进行判断，笔者让学生在摆的动态操作中，主动关注角的大小的本质：两边的位置关系，而非边的长短。

如此的顺序调整收到了很好的效果：角的大小的核心要素先入为主纳入认知结构，成为后两个操作活动的检验方法，并被不断强化，学生对“角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关”的感悟自然水到渠成。endprint

【反思】

结合本次磨课经历，我对数学课堂中的操作活动与数学活动经验积累有了一点别样的感悟——就我们的数学课堂来说，概念建构中的操作活动是积累活动经验的重要途径，而数学操作活动的规范有序，是顺利建构概念的基本保证。基于概念建构的有效操作过程，也是数学活动经验的逐步积累过程：学生借助动手操作、动脑思考、自我调整，不断地获得个性化的概念学习的策略，并逐步形成可以运用于其他学习情境的思考和解决问题的经验。

从磨课过程可以发现，两次操作产生不同效果的主要原因，并非具体的操作内容，而是操作活动的顺序安排上。究其原因，是课前笔者对“在什么时候操作？怎么操作？” 思考得更多，而对基于学情的操作活动的规范有序欠缺思考，从而影响了概念建构，自然学生也无法获得符合他们个性特征的学习方法。看来，只有将操作活动的序的安排更科学，学生才能顺利建构概念，进而积累数学活动经验。

1. 操作活动的序应契合学生的认知规律，在概念建构中积累“比较、修正、抓本质”的数学活动经验。杜威说：教育就是经验的改造或改组。所以，设计操作活动前，教師需先了解学生的认知特点：学生的前经验是什么？经验中的正迁移和负迁移分别是什么？学生对概念的理解，最困难的是什么？只有把握了学情，操作活动设计才有依据。操作活动应尽量先激活与教学要素紧密对接的那部分前经验，再利用正确的概念改造原本错误的经验。这个过程，其实也是帮助学生积累概念学习中的相关活动经验。如本课中，先激活数学角的前认知，再去辨析“生活角”。又如第二个操作环节中，先建立正确的角的大小的概念，然后再加入边的长短这个非本质属性的干扰，都是以正确经验来修正模糊经验，如此，学生才能正确启动比较、反思、重构的模式，进而本质属性慢慢凸显，这何尝不是一种自主建构概念的数学活动经验的积累呢？

2. 操作活动的序要符合知识的逻辑顺序，在概念建构中实现同化与顺应，积累“建立关联，完善结构”的经验。 概念的学习其实更重要的是建立联系，将新知整合到旧知体系中，实现“同化”，并以新概念改造原有认知结构，实现“顺应”。但如果操作活动序的安排违背了知识自身的逻辑，那么当新信息出现时，学生就无法找到与原有认知结构“相合”的部分，无法对新信息进行同化和顺应，操作也就失去了加深理解、积累活动经验的作用。如在进行角的大小操作时，我们发现“大小”这个概念的前经验会影响新知的有效建构，故只有先建立角的大小的观念，学生才能实现同化，并在此基础上，通过观察、类比、动态变化等途径，对概念进行多元表征，而后才能进一步引导学生理解“角的大小与边叉开的大小有关，与边的长短无关”，打破”平面图形的大小就是面的大小”的原有经验，实现“顺应”，学生从中也积累了“通过多元表征，主动建立关联，完善认知结构”的活动经验。

（浙江省宁波市爱菊艺术学校 315000）endprint