移动坐标下采面煤壁瓦斯涌出模型及无因次分析

王 浩 周天白 宋奕澎 刘 鹏

(中国矿业大学(北京)资源与安全工程学院，北京市海淀区，100083)

采煤工作面是煤矿井下最主要的工作场所之一，也是瓦斯事故隐患最为集中的地点之一。煤壁瓦斯涌出是采面瓦斯涌出的重要组成部分，工作面向前推进时，新鲜煤壁不断暴露，瓦斯涌出速度快、涌出量大，极易造成瓦斯积聚，严重威胁安全开采。因此，掌握煤壁瓦斯涌出规律，对准确预测采煤工作面瓦斯涌出，指导矿井通风设计及制定瓦斯防治措施有重要的现实意义。

采煤工作面现场条件复杂多变，煤壁周期性前移，瓦斯涌出具有非稳态特性，且不同来源的瓦斯在采动空间相互掺混，要对其进行分别测定极其困难。而采面煤壁瓦斯涌出的相似模拟实验又有许多问题需要解决，尤其是对工作面循环推进的模拟更是难以实现。因此，在缺乏有效研究手段的情况下，运用数值模拟研究煤壁瓦斯涌出成为一种必然趋势。现阶段有关瓦斯涌出的数值模拟大多基于静止煤壁，对于移动煤壁的研究则鲜见报道，而采面煤壁是循环推进的，其瓦斯涌出渗流边界也周期性前移，与静止煤壁瓦斯涌出存在较大差异。显然，在计算采煤工作面煤壁瓦斯涌出时，必须针对移动煤壁开展研究。此外，研究采煤工作面煤壁瓦斯压力、含量分布，可为计算工作面采落煤瓦斯涌出提供初始条件。为此，本文根据采煤工作面不断推进的特点，建立了移动坐标下采面煤壁瓦斯涌出模型，通过无因次分析和数值解算，研究采煤工作面匀速推进下煤壁瓦斯涌出的一般规律，旨在为工作面瓦斯涌出预测提供理论依据。

1 移动坐标下采面煤壁瓦斯涌出数学模型

采面煤壁瓦斯涌出是受瓦斯地质条件、生产工序等多种因素影响的复杂过程，为抓住其主要矛盾及简化求解，现假定：煤体为连续性介质；煤层瓦斯运移过程为等温过程，瓦斯流动符合达西定律；游离瓦斯可视为理想气体，瓦斯吸附量符合朗格缪尔方程；将采面煤壁瓦斯涌出视为垂直煤壁的单向流动。

根据质量守恒定律，单位时间内采面煤壁瓦斯流场任一点瓦斯的变化量都等于流入该点瓦斯的净量，再结合达西定律和理想气体状态方程，得：

(1)

式中：W——单位质量煤体瓦斯含量，m3/t；

τ——时间，d；

ρ——煤的视密度，t/m3；

λ——煤层透气性系数，m2/(MPa2·d)；

P——煤层瓦斯压力的平方，MPa2;

a——吸附常数，m3/t；

b——吸附常数，1/MPa；

p——瓦斯压力，MPa；

n0——煤体孔隙率；

B——系数，m3/(t·MPa)；

T0——标准状态下的绝对温度，取273 K；

p0——标准状态下的绝对压力，取0.101325 MPa；

T——瓦斯气体温度，K；

ξ——瓦斯压缩系数。

随着采煤工作面的循环作业，煤壁周期性向前推进，瓦斯流场边界随之周期性前移，且每一循环周期内瓦斯流场均为非稳态场，所以，采面煤壁瓦斯涌出是一个边界周期性移动的非稳态问题，求解十分繁琐。从宏观的时间角度考虑，正常开采时工作面的日进刀数相对固定，且每一进刀周期内瓦斯涌出变化波动不大，因此，为简化求解，可将工作面视为匀速推进。匀速推进下的煤壁瓦斯涌出特性虽不能反映出进刀周期内瓦斯涌出的波动，但能从总体角度反映出采动煤壁的瓦斯涌出情况。工作面匀速推进时，煤壁瓦斯流场时刻处于动态移动中，以此，引入移动坐标系，坐标系移动方向、速度与工作面推进方向、速度相一致。

式(1)为静坐标系下采面煤壁瓦斯涌出数学模型。静坐标系下，煤壁瓦斯流场内任一点的瓦斯含量是空间点坐标和时间的含量，而移动坐标下，流场内任一点的瓦斯含量不仅与空间点坐标和时间有关，且空间点坐标又随时间而变动。则移动坐标下，单位时间内煤壁瓦斯流场任一点的瓦斯变化量可表示为：

(2)

移动坐标下，煤壁瓦斯流场内任一点的坐标随工作面匀速推进而移动，则：

(3)

式中：v——工作面平均推进速度，m/d。

引入移动坐标后，采面煤壁瓦斯流动由静坐标下的非稳态问题转化为动坐标下的稳态问题，则流场内任一点的瓦斯含量与时间无关，即：

(4)

将式(3)、式(4)代入式(2)，再代入式(1)，并根据瓦斯含量与压力的关系，可得移动坐标下采面煤壁瓦斯涌出的数学模型为：

(5)

其边界条件为：

P|Γ1=Pw=pw2

P|Γ2=Ps=ps2

(6)

式中：pw——煤壁外部空间瓦斯压力，MPa；

ps——煤层原始瓦斯压力，MPa；

Γ1——煤壁表面边界；

Γ2——煤壁内解算域边界。

实际中，虽然不同采煤工作面的物性参数及生产条件不尽相同，但所有的采面煤壁瓦斯涌出属于同一类物理现象，都应满足上述数学模型。因此，为使研究结果具有普遍意义，可将无因次分析法应用于此类问题。现引入无因次参量：无因次距离X、无因次瓦斯压力Y、无因次孔隙率N、无因次瓦斯含量M和无因次瓦斯比流量Q，如式(7)所示：

(7)

将式(7)中的无因次准数代入式(5)，整理得移动坐标下釆面煤壁瓦斯涌出无因次模型为:

(8)

其边界条件为：

(9)

式中：Yw——煤壁外部空间无因次瓦斯压力；

Ys——煤层原始无因次瓦斯压力。

由式(8)和式(9)可知，采面煤壁的无因次瓦斯压力场只与无因次距离X、无因次孔隙率N、Yw和Ys有关。

2 有限差分法求解

2.1 有限差分模型

采面煤壁瓦斯涌出模型是二阶非线性常微分方程，本文采用有限差分法求解。求解思路为：先对解算域内物理模型进行网格划分，确定节点号；然后运用泰勒级数展开法，构建有限差分方程组；再编制程序，进行数值解算。网格划分和节点编号的过程为：首先沿垂直于煤壁方向，用实线将釆面煤体分成K个区域；然后在每条实线处设一个节点，节点编号为0,1,2,…,K；过两个相邻节点的中心做虚线，将两条虚线之间的区域作为虚线间节点的控制单元，具体如图1所示。考虑到瓦斯压力、含量等参数越靠近壁面变化越剧烈，节点间距采用等比变化，越靠近壁面间距越小。

图1 采煤工作面物理模型及网格划分

(10)

将式(10)代入式(8)，可得

(11)

令Ci=Xi-Xi-1(i=1,2…,K)，并代入式(11)，整理可得内部节点的差分方程为：

由边界条件可得0节点和K节点对应的方程为：

Y0=Yw

YK=Ys

(14)

将式(12)、式(13)和式(14)联立，构成了釆面煤壁瓦斯涌出的无因次差分方程组。因式f(Yi)含有节点无因次压力，则该方程组为非线性方程组，必须采用迭代法进行求解，具体的迭代计算过程与参考文献类同，不再赘述。

求得各节点无因次压力后，根据式(7)中无因次瓦斯含量的定义，可由下式计算i节点的无因次瓦斯含量Mi：

(15)

根据已求得的0节点、1节点的无因次压力和式(7)中无因次瓦斯比流量的定义，可计算采面煤壁无因次瓦斯比流量Q，即

(16)

2.2 编制程序

根据采面煤壁瓦斯涌出的差分方程组，基于VB平台编制解算程序。输入变量时，先调研实际矿井瓦斯物性参数的取值范围，然后根据无因次参量表达式(7)，初步确定X、N、Yw和Ys取值的大致范围，再经过多次运行程序试算，确实出X的最佳取值范围为0～373。在进行迭代计算时，要先设定节点无因次压力Yi(i=0,1,…,K)的初值，因各节点瓦斯压力小于原始压力，所以可设Yi=cYs(i=0,1,…,K;0

图2 程序结构流程图

3 无因次结果及应用分析

3.1 无因次结果

3.1.1 瓦斯压力、含量的分布

图3 无因次压力的分布曲线

图4 无因次含量的分布曲线

由图3、图4可知，ps与pw的比值越大时，煤壁无因次瓦斯压力、含量曲线越“陡峭”，工作面煤壁距煤体原始瓦斯压力区就越远，表明煤层原始瓦斯压力越大，煤壁内瓦斯压力、含量梯度就越大，工作面煤体瓦斯卸压区就越大。

3.1.2 瓦斯比流量

图5 无因次瓦斯比流量的变化曲线

3.2 应用分析

根据达西定律，实际煤壁瓦斯比流量的计算式为：

(17)

根据无因次参量式(7)，将上式中的参数无因次化，可得：

(18)

式(18)即为实际瓦斯比流量与无因次瓦斯比流量的关系式。

根据采面煤壁无因次模型的建立和求解过程可知，煤壁无因次瓦斯比流量Q由N、Yw和Ys所决定。当某一采煤工作面物性参数确定时，无因次瓦斯比流量Q随之确定。由于N0、Yw和Ys中均不含有工作面平均推进速度v，因此无因次瓦斯比流量Q与工作面平均推进速度v无关。再根据实际瓦斯比流量的计算式q=aρvQ可知，实际瓦斯比流量与工作面平均推进速度成正比。

4 结论

(1)本文针对采煤工作面不断推进的特性，基于移动坐标和无因次分析理论，建立了采煤工作面煤壁瓦斯涌出无因次数学模型，利用有限差分法编制了解算程序，为定量分析工作面瓦斯涌出规律提供了基础。

(2)通过大量的数值解算，得到了采面煤壁的无因次瓦斯压力、含量的分布曲线及无因次瓦斯比流量的变化规律。结果表明：煤层原始瓦斯压力越大，则煤壁内瓦斯压力、含量梯度就越大，工作面煤体瓦斯卸压区就越大，煤壁瓦斯比流量也就越大；煤壁瓦斯比流量随煤体孔隙率及瓦斯吸附常数b的增大而增大；煤壁瓦斯比流量与工作面平均推进速度成正比关系。

(3)分析了瓦斯无因次瓦斯比流量曲线图的实际应用，通过查图法，可快速确定采面煤壁实际瓦斯比流量，为计算采煤工作面瓦斯涌出参数提供一种简便可行的方法。

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