弱正则*-半群的一类子半群

贾爱霞 张莉

【摘要】 从弱正则*-半群S的幂等元集、投影元的集合和正则*-同余等角度讨论了弱正则*-半群S与S的射影集S*之间的关系.

【关键词】 弱正则*-半群;子半群;射影集

一、预备知识

设S是半群，如果在S上有一元运算*：S→S，xMT ExtraaA@x*，满足如下三条：

（1）（x∈S）（x*）*=x;

（2）（x∈S）xx*x=x;

（3）（x，y∈S）（xx*yy*）*=yy*xx*.

則称S为弱正则*-半群[1]，记为（S，*）.集合S*={x*：x∈S}称为（S，*）的射影集.

称（S，*）的元素x为幂等元，如果x2=x.用E（S）表示（S，*）的全体幂等元构成的集合.称（S，*）的幂等元e为S的投影元，如果e*=e.用P（S）表示（S，*）的全体投影元构成的集合.

称半群S上的同余ρ为*-同余，如果对任意的a，b∈S， （a，b）∈ρ（a*，b*）∈ρ.对于半群S上的*-同余ρ，称集合Pkerρ={a∈S：e∈P（S），（a，e）∈ρ}={eρ：e∈P（S）}.

称半群S上的*-同余ρ为正则*-同余，如果 S ρ 是一个正则*-半群.

正则*-半群是一类很重要的半群，许多半群研究人员从各种角度对正则*-半群进行了研究[2-3].弱正则*-半群是比正则*-半群更广的一类正则半群[4-5].本文讨论了弱正则*-半群（S，*）的射影集S*={x*：x∈S}的一些基本性质，并从幂等元集、投影元的集合和正则*-同余等角度讨论了弱正则*-半群（S，*）与其射影集S*之间的关系.

未说明的符号与术语同文献[6].

二、弱正则*-半群S与其射影集S*之间的关系

引理1  设S是弱正则*-半群，P1={xx*：x∈S}，P2={x*x：x∈S}，则P1=P2=P（S）.

证明  对任意x∈S，有（xx*）（xx*）=xx*，

（xx*）*=（（xx*）（xx*））*=（xx*）（xx*）=xx*，

因而，xx*∈P（S），说明P1P（S）.

反过来，对任意a∈P（S），有a=aa=aa*，说明P（S）P1.所以P1=P（S）.

同理可证P2=P（S）.因此，P1=P2=P（S）.

引理2  S*={x*：x∈S}为弱正则*-半群S上的一个正则*-子半群.

为此，我们称S*是弱正则*-半群S的射影子半群.

引理3 [7] 设ρ是正则S-半群S上的A={Ai：i∈I}-同余，并设A={Ai：i∈I}为ρ的投影核.如果σ是S上的一个Ai-同余，且每个Ai是一个σ-类，则σ=ρ.

引理4  设ρ，σ是弱正则S-半群S上的两个ρ=σPkerρ=Pkerσ.-同余，则ρ=σPkerρ=Pkerσ.

证明  必要性显然成立.下证充分性.

设Pkerρ=Pkerσ.则对任意q∈P（S），qρ=qσ.对任意（x，y）∈σ，因为σ是（xx*，yx*）∈σ.-同余，所以（xx*，yx*）∈σ.

又因为xx*∈P（S），所以（yx*）σ=（xx*）σ=（xx*）ρ，

即有（xx*，yx*）∈ρ.类似可证（y*x，y*y）∈ρ.因此，

x=xx*xρyx*x=yy*yx*xρyy*xx*x=yy*xρyy*y=y.

至此，我们就得到了σρ.同理可证ρσ.因而，ρ=σ.

定理1  设S*是弱正则S-半群S的射影子半群，并将S和S*上的幂等元集、投影元的集合分别记作E（S）、P（S）和E（S*）、P（S*）.设ρ，σ是弱正则S-半群S上的正则ρ|S*-同余，则ρ|S*，σ|S*为ρ，σ在S*上的限制.于是有下列各项成立：

（1）E（S*）E（S）;

（2）P（S）=P（S*）;

（3）ρ=σρ|S*=σ|S*.

证明（1）和（2）显然成立，下面证明（3）.

必要性显然成立，只需证充分性.设ρ|S*=σ|S*，由引理2可知S*是一个正则ρ|S*-半群，从而ρ|S*和σ|S*都是正则S*-半群S*上的P（S）=P（S*）-同余，且P（S）=P（S*）.根据引理3，可以知道在正则S*-半群S*上有

Pkerρ|S*=Pkerσ|S*，即（q∈P（S））qρ|S*=qσ|S*.

对任意q∈P（S），令

Bq={a∈S-S*：（a，q）∈ρ}∪qρ|S*，

则Pkerρ={Bq：q∈P（S）}.

下证Pkerσ={Bq：q∈P（S）}.

任取q∈P（S），则对任意的a∈Bq，都有a*，（a*）*∈qρ|S*=qσ|S*.又因为σ是S上的正则（a，（a*）*）∈σ-同余，所以（a，（a*）*）∈σ，进而a∈qσ，这说明Bqqσ.

反过来，对任意的b∈qσ，若b∈S*，则b∈qρ|S*Bq;若b∈S-S*，则由（b，q）∈σ可得（（b*）*，q）∈σ，从而（（b*）*，q）∈σ|S*=ρ|S*，这说明（b*）*∈qρ|S*qρ，因而，b∈qρ=Bq，所以有qσBq.

综上可得qσ=Bq，这就证明了Pkerσ={Bq：q∈P（S）}=Pkerρ.根据引理4可知ρ=σ.

【参考文献】

[1] RUI C X.Weakly regular *-semigroups[J].Semigroup  Forum，1999（58）：463-465.

[2]NORDAHL T E，SCHEIBLICH H E.Regular *-semigroups[J].Semigroup Forum，1978（16）：369-377.

[3]Yamada，M.*-system in regular semigroups.Semigroup Forum，1982（24）：173-187.

[4]芮昌祥，陈建飞.基本的弱正则*-半群的结构[J].数学学报，2000（3）：471-480.

[5]芮昌祥.弱正则*-半群和半群的弱P-正则性[D].成都：四川大学，1998.

[6]HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford：Oxford Univ Press，1995：45-200.

[7]IMAOKA T.*-Congruences on regular *-semigroups[J].Semigroup Forum，1981（23）：321-326.