浅谈导数的几种应用与思路

董斯宇

摘要：导数在几种问题，尤其在求函数的极值、单调性等方面，求解非常方便、简洁。同时，在不等式求解方面，将不等式转换为函数，进而求函数与零的关系更是一个求解不等式问题的不二法门。在求解最优化问题中，常常将导数思想融入求解，如拉格朗日乘数法的使用。本文试图以导数在函数极值、不等式中的综合应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

关键词：导数 极值 不等式 拉格朗日乘数法

通常来说，导数可以从不同的角度灵活考察知识的综合运用和解决数学问题的能力。与此同时，导数与不等式、数列、函数等知识的交集命题，应用数学知识解决综合能力问题已成为今后命题的趋势和特点。本文试图以导数在函数极值、不等式中的综合应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

1导数在求函数极值中的应用

使用Matlab软件绘制出函数的图像，并在图中标注出极小值如下图所示，从图中可以看出绘图结果与计算结果吻合性较好。

2导数在不等式证明中的应用

不等式是目前来说高中数学里面学生较为头疼的一个难点，不等式证明不仅要求证明者要有非常好的灵活运用已学的知识的能力，还要有对不等式模型的一种感知，即看到题目知道考的是哪一类不等式。通过各种模型式子的变形，或者就已知式子将不等式经过合理的变形，最后通过层层推导得出结论。不等式证明需要证明者有极强的逻辑性。问题分析：对导数证明不等式问题而言，第一步通常是求解原方程或把不等式看作一个新的函数，求解其一阶导数，再根据一阶导数的复杂性，以判断是否需要求二阶导数。求完一阶导数之后，根据题目给的条件，把条件带入一阶导数，通常可以直接得出结论，若不行则必须从二阶导数入手。但是需要提醒的是这类函数求最值问题需要特别注意定义域，定义域可能会影响参数的取值范围。

3拉格朗日乘数法

4总结

本文着重讨论了在求函数极值，不等式问题以及拉格朗日乘数法中导数的应用，事实上，导数的应用范围何其之广，本文提到的只是凤毛翎角，例如在解析几何与立体几何中以及在向量中，都具有重要的应用。总之，导数作为大学课程《高等数学》中微积分的学习基础，在新课标的课程大纲中，将导数移至高中数学的学习，虽然，高中数学课程的学习内容增加了，但由于导数本身具有极强的实际应用性，能够非常好地解决一些例如极值问题、最值问题，在单调性问题、不等式证明等问题，并且在这类问题中具有突出的实际运用性，是高中数学学习过程中的一个很好的学习工具。与此同时，导数是在各类考试中重点的考试内容，霸占非常大的分数比例，一般试卷压轴题出导数的题目概率及其之高。因此，在学习导数过程中要注意理解导数的一些常规运用并且理解导数的意义，在基础问题方面勤加练习，做到举一反三，同时熟练的掌握导数的运用，才能在考试中发挥出理想的实力。

参考文献：

[1]张艳鑫.浅谈导数的应用[J].电子制作，2014，（22）：139.

[2]刘厚丽.拉格朗日乘数法在高中数学中的应用研究[D].西北大学，2014.

[3]馬芬.导数在不等式证明中的应用[J].延安职业技术学院学报，2016，（02）：72-73+94.endprint