饱和多孔介质板的吻合频率和临界频率分析

周凤玺, 高潇丽

(1. 兰州理工大学 土木工程学院，兰州 730050； 2. 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，兰州 730050)

随着城市交通、工业生产及工程建设等引起的噪声污染问题日益加剧，对降噪措施的研究及设计已经受到人们的广泛关注，其中各类板结构的振动声辐射特性一直是研究的重点，并且板结构声学特性与其吻合频率和临界频率密切相关。当某一频率的声波以一定的角度投射到板面上，若入射波的波长在板上的投影正好等于板的固有弯曲波波长，即空气中的声波在板上的投影与板的弯曲波吻合，这时声波激发板材固有振动，由于弯曲刚度效应，使结构的声辐射能力大大增强，隔声能力显著下降，这种现象称作吻合效应。 因入射角度的不同，会存在无数个吻合频率，能产生吻合效应的最低入射频率称为“临界吻合频率”简称临界频率[1]。声辐射能力在吻合频率附近达到最大值，因而声辐射在激励力的频率大于和小于临界频率时表现出的特性是不同的。所以,研究板结构的声辐射与隔声性能,临界频率和吻合频率是必须讨论的内容[2]。Yairi等[3]讨论了力作用下双叶弹性板的声辐射，并研究参数对其的影响。Bhattacharya等[4]对声波的吻合效应进行了较详细的综述，并通过有关的实验解释了有空腔的有限板，及无空腔的有限板的吻合效应现象。Tsugihashi等[5-6]采用结构耦合分析技术，对有限方板的吻合现象的特点进行了解释，并进行了仿真应用。这些成果进一步推进了隔声中吻合效应的研究，为更深入地研究吻合效应奠定了坚实的基础。Dupont等[7]比较了微穿孔板和柔性板在板厚、孔隙率等变化下吻合效应的变化情况。

Reynolds等[8-9]都详细地讨论了各向同性薄板的临界频率和吻合频率。Heekl等[10-11]对厚板的临界频率和吻合频率问题进行了一些研究。Heekl在传声损失中考虑了剪切作用,但是并没有给出这种情况下的临界频率的公式。Narayanan等讨论了考虑剪切刚度时板的吻合频率,但是由于公式过于复杂,而不便于使用。Cremer等和Heckl采用了材料在两个正交主方向上的弯曲刚度值,分别求出这两个方向上的临界频率。Beranek[12]将两个主方向临界频率的几何平均值作为板的临界频率值。Renji等[13]给出了各向同性厚板和对称复合材料厚板的临界频率和吻合频率的基本公式，并讨论了各向异性行为和剪切变形对吻合频率和临界频率的影响。王海军等针对工程应用中实际用到的各种尺寸、材质的板,包括各向同性薄板、各向同性厚板(当板比较厚时就需要考虑剪切效应),各向异性薄板和各向异性厚板,得到了其临界频率和吻合频率的计算公式，并总结了吻合效应与共振的本质区别。

近年来，多孔介质材料在岩土工程、 地球物理以及生物工程等领域有着广泛的应用，自Biot等[14-15]提出描述饱和多孔介质动力特征方程以来，国内外许多专家学者从不同角度对饱和多孔介质中波的传播问题进行研究，包括多孔介质动力响应问题的解析研究、数值模拟方法以及波的传播特性等的研究。目前关于饱和多孔介质波动问题的研究主要集中在几何特征为无限半空间区域或有限厚度的岩土类材料，对于饱和多孔材料的吻合效应分析研究远落后于对单相连续弹性介质的研究[16]。

本文根据不可压饱和多孔介质理论和吻合效应机理，研究了不可压含液饱和弹性板的吻合效应。对饱和多孔板的吻合频率和临界频率的影响因素(板厚、孔隙率、渗透系数、入射角等)进行了分析，比较了不同孔隙率下饱和多孔板和弹性板的吻合频率随厚度和入射角的变化情况，分析结果对多孔材料板结构在振动噪声控制中的应用具有一定的指导意义。

1 形成吻合效应的条件

平面声波以入射角θ向薄板透射时，在板内除了胀缩波外，同时将激发产生弯曲波。如图1所示，当入射声波向右上方传播时，板中产生向上传播的弯曲波。设入射声波的波前到达AC一线时，在板上A处开始振动，产生相应的弯曲波。经过一定时间后，弯曲波传播至板上B处。如果这时入射声波的波前刚好也到达B，那么入射声波和弯曲波在B处的相位完全一致，互相迭加后，B处的振动将得到加强。依次类推，随着弯曲波向上的传播，板振动将随距离越来越强烈。这种现象叫做吻合效应，它是两种类型的波动在空间迭加时相位上相互吻合的结果。可以看出，吻合效应与强迫振动过程中的共振现象是类似的，只是在共振中振动随时间不断加强，而在吻合效应中振动随空间不断加强。

图1 斜入射时的弯曲波

当板产生吻合效应时，振动越来越强烈，但实际上板振动也不会无限制地增大。因为板内部或多或少地存在阻尼，并且板振动辐射声波也会产生辐射阻尼。这类似于振动系统受迫共振时，由于存在阻尼使振动振幅不会无限增大。

由图1可知，产生吻合效应的条件

(1)

(2)

如果弯曲波的相速cb小于空气中的声速c0，sinθ将大于1，θ角相应为虚数，不会产生吻合效应；反之当cb≥c0时，取适当的θ角总能满足产生吻合效应的条件。在实际隔声问题中，声场一般为扩散，因此这时总能产生吻合效应。由上可知，是否会产生吻合效应的分界点是cb=c0。对于给定的板，弯曲波的相速cb随频率增大，因此存在一定的频率fcr，使相应的相速cb等于空气中声速c0。这个确定的频率叫做板的临界频率。当声波频率f等于或大于临界频率fcr时，cb≥c0，存在相应的入射角θcr，使式(1)满足。这个与频率f相应的入射角θ叫做临界角。

由上可知，当ffcr时，将产生吻合效应，板强烈振动，此时板中自由弯曲波将向外大量辐射声，从而使板的声辐射能力大大增加，隔声性能(透射损失)也显著变化。

2 饱和多孔薄板的临界频率和吻合频率

考虑一含液饱和的平板置于xoy平面内如图2所示，采用Biot多孔介质波动理论，考虑固相和液相不可压缩，基于经典板理论，其薄板的振动控制方程为[17]

(3)

图2 波入射到平面上的示意图

式(3)的解可以设为如下形式[18]

w=Aej(ωt-kxx-kyy)

(4)

将式(4)代入式(3)得到

(5)

(6)

如图2所示，当波速为c0的入射波以入射角θ射到板上。将激励起的弯曲波的波速是c0/sinθ。当它等于板上自由振动弯曲波的波数cb时，就会发生吻合效应,这时频率就是吻合频率。所以把cb=c0/sinθ代入式(6)中得到

(7)

求解式(7)，最终可得到吻合频率的公式为

(8)

由式(6)不难看出，随着入射声波的入射角的不同，薄板有无数个吻合频率。当θ=90°时，吻合频率取最小值。所以，临界频率为

(9)

对于单相弹性薄板，式(8)和式(9)中不含ρf、kf项，且φ→0，此时，式(8)和式(9)可退化为

(10)

(11)

式(10)或式(11)与王海军等的研究中给出的弹性薄板的吻合频率和临界频率完全一致。

3 数值算例

为了对饱和多孔板的吻合频率和临界频率进行参数分析，选取饱和多孔介质的材料物理力学参数为：ν=0.25，ρs=2 660 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3，E=3.6×108Pa，对于不同板厚h、不同入射角θ以及不同孔隙率φ、不同渗透系数kf下饱和多孔板的吻合频率fc0进行分析。

图3给出了孔隙率φ=0.1，渗透系数kf=1.9×10-5m4·N-1·s-1的条件下，不同入射角θ=30°,45°,60°,90°，板厚h=0.05～0.25 m下，饱和多孔板吻合频率fc0的变化规律。从图中可以看出，当饱和多孔板的密度ρ、 孔隙率φ、 渗透系数kf、入射角θ一定时，吻合频率fc0随着厚度h的增加非线性减小且变化速率逐渐变小；当改变入射角θ时，吻合频率随着入射角θ的增大而减小，当入射角θ=90°时，吻合频率达到最小，为临界频率fcr；入射角以及板厚对吻合频率和临界频率的影响比较明显。

为了分析孔隙率φ，渗透系数kf对吻合频率fc0的影响，取θ=30°，h=0.2 m，图4给出了渗透系数在kf=10-1m4·N-1·s-1，10-3m4·N-1·s-1，10-6m4·N-1·s-1三种情况下，孔隙率φ=0.05～0.5时，饱和多孔板吻合频率的变化曲线。可以看出，饱和多孔板的吻合频率随孔隙率的增加近似线性增加；孔隙率对吻合频率的影响较明显，而渗透系数的变化对饱和多孔板的吻合频率几乎没有影响。

为了得出弹性板和饱和多孔板吻合频率之间的关系，我们分别对比了不同孔隙率下饱和多孔板和弹性板的吻合频率随厚度、入射角的变化规律，如图5、图6所示。可以看出，弹性板的吻合频率远远大于饱和多孔板的吻合频率，且它们的吻合频率随板厚和入射角变化的趋势相同，都随板厚和入射角的增加非线性减小，弹性板的变化速率更大。

图3 不同入射角下，吻合频率随厚度变化

Fig.3 Relations between plate thickness and coincidence frequency under different incident angle

图4 不同渗透系数下，吻合频率随孔隙率变化

Fig.4 Relations between porosity and coincidence frequency under different permeability

图5 吻合频率随板厚的变化

Fig.5 Relations between plate thickness and coincidence frequency

图6 吻合频率随入射角的变化

Fig.6 Relations between incident angle and coincidence frequency

4 结 论

基于Biot饱和多孔介质理论， 通过理论分析获得了饱和多孔板吻合频率和临界频率的计算公式，通过数值算例、参数分析，讨论各影响因素对饱和多孔板吻合频率和临界频率的影响规律，并对比了弹性板和不同孔隙率下饱和多孔板的吻合频率，数值结果表明：

(1)饱和多孔板的厚度、入射角和孔隙率对吻合频率的影响较大，渗透系数对饱和多孔板的吻合频率几乎没有影响。

(2)饱和多孔板的吻合频率随板厚、入射角的增大而减小，随孔隙率的增大而增大；当入射角等于90°时，吻合频率最小，为临界频率。

(3)在相同条件下，弹性板的吻合频率和临界频率总大于饱和多孔板的吻合频率和临界频率，它们的吻合频率随厚度和入射角变化的趋势相同。

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