含裂纹故障的航空发动机转子系统动力学特性分析

路振勇, 侯 磊, 侯升亮, 陈予恕, 孙传宗

(1.哈尔滨工业大学 航天学院,哈尔滨 150001;2.山东师范大学 管理科学与工程学院,济南 250014)

转轴裂纹故障是航空发动机、燃气轮机等大型旋转机械的常见故障之一[1]，裂纹的出现对系统的危害极大。二十世纪七十年代，Gasch[2]提出铰链弹簧模型来研究简单实心轴裂纹转子的振动特性，Mayes等[3]研究裂纹转子的刚度模型时提出用余弦函数来模拟裂纹的开闭效应。迄今国内外学者围绕着转轴裂纹的刚度模型、裂纹的检测诊断识别、裂纹转子的非线性动力学特性、裂纹转子的实验研究等方向开展了大量工作。林言丽等[4]研究了裂纹转子的刚度问题，并提出了能更好地反映裂纹转子的刚度变化的应力强度因子为零法。王仲生等[5]研究了裂纹信号的提取、诊断和识别问题，指出倍频成分是裂纹转子的常伴频率；王国彪等[6]从小波有限元裂纹动态定量诊断等方面对裂纹转子的研究进行了全面综述。程礼等[7-8]研究了裂纹对转子系统临界转速的影响，指出裂纹会减小系统的刚度降低临界转速，同时会激起亚临界转速的共振。文献[9-10]研究了非线性油膜力支承下裂纹转子的稳定性、混沌等现象，Han等[11]研究了双裂纹转子的稳定性问题，Hou等[12-14]研究了机动飞行环境下裂纹转子系统的非线性动力学特性，于海等[15]研究了高维裂纹转子系统的动力学降维问题。

轴裂纹转子系统的研究关键在于刚度的求解。大部分研究对象都是轴裂纹位于圆盘根部的Jeffcott模型，忽略陀螺效应，从断裂力学角度出发，求解裂纹局部附加柔度，进而求解裂纹转子刚度。但该方法模型过于简单，无法研究裂纹位于不同位置的情况。Al-Shudeifat等[16-19]认为裂纹随着系统旋转会开闭，考虑了较为精确的呼吸开关函数，建立了求解裂纹刚度的有限元模型；然后考虑重力占优及不平衡激励，对实心轴横向裂纹转子的有限元建模、动力学求解分析及裂纹实验等方面做了大量工作。这些有限元研究方法适用于裂纹位于任意位置的情况，但是其对象是实心轴裂纹转子，轴段采用Rayleigh梁-轴模型。

为了提高效率，航空发动机一般采用双转子结构，高压转子为相对短粗型的空心轴转子。但目前为止，人们对空心轴裂纹转子系统的研究不多，文献[20-21]对空心轴常开裂纹转子和双转子裂纹系统的动力学特性进行了分析。本文以某航空发动机高压转子为研究对象，建立了含有横向弓形呼吸裂纹的单跨双盘有限元模型，推导了空心Timoshenko梁-轴裂纹转子系统的刚度矩阵，基于有限元法建立了系统的运动方程，采用谐波平衡法分析了系统的非线性响应等动力学特性，并用Newmark-β方法进行了数值验证。

1 空心轴呼吸裂纹转子系统建模

1.1 航空发动机高压转子-空心轴裂纹系统模型

某航空发动机高压转子系统，由多级压气机轮盘和一级涡轮轮盘、空心转轴和支承单元组成；转子为刚性连接，支承在两个支点上；转子支承形式采用1-0-1支承方案。假定在空心转轴某位置存在一横向裂纹，系统的有限元动力学模型如图1所示，模型共分成13个节点、12个轴段单元，集中后的压气机轮盘位于节点4，涡轮轮盘位于节点10。

图1 裂纹转子简化系统有限元模型

1.2 空心轴裂纹单元刚度矩阵推导

对于大型旋转机械系统，裂纹转子在重力占优等情况下，裂纹截面是时而张开时而闭合的“呼吸模式”。转子旋转过程中，裂纹面随转角的变化而周期性开闭，用开关函数来模拟裂纹的张开和闭合规律，本文中选取文献分析中常用的余弦模型

(1)

式中:Ω为转子旋转的速度，开闭规律见图2。

图2 裂纹截面余弦开闭规律图

裂纹截面图及坐标如图3所示，对于空心轴裂纹转子系统，裂纹截面分为裂纹贯穿内环和裂纹非贯穿内环两种情况。

(a) 未贯穿

(b) 贯穿情况

图3中阴影部分表示未开裂部分。o-xy为固定坐标系，ox和oy分别为垂直和平行于裂纹方向。o为不含裂纹时截面的中心，c为出现裂纹后截面的中心，e=oc为中心位置的变化量，h为裂纹的深度，φ为裂纹初始位置角(本文取0)，Ω为转子旋转速度，R为外半径，r为内半径，α为外圆环开裂时的裂纹角，α1为内圆环开裂时的裂纹角。

本文中假定裂纹截面对固定坐标轴的截面惯性矩随着旋转角度的变化不变，即认为当裂纹深度一定时，裂纹截面两个方向的惯性矩也为定值，但裂纹截面的形心(质心)会因为裂纹的产生而变化。裂纹部分对坐标轴ox和oy的惯性矩、裂纹单元剩余面积Ace、形心距离e及裂纹角α为

(2)

Ace=R2(π-cos-1(1-μ)+(1-μ)γ)-πr2

(3)

(4)

α=2arcos(1-μ)

(5)

除去裂纹部分，剩余部分对过新的形心轴cx和cy的惯性矩为

I=π(R4/4-r4/4)

(6)

(7)

对于裂纹贯穿内壁情况有

(8)

Ace=R2(π-cos-1(1-μ)+(1-μ)γ)-

(9)

(10)

α1=2arcos((R-h)/r)

(11)

当R=2，r=1时，图4给出了无量纲裂纹深度从0变化到半径深度时I1、I2的变化量。可知随着裂纹加深，两个方向上惯性矩减小量均增加，且增加量不相同。

图4 惯性矩减小量随裂纹深度的变化

Fig.4 The reduction in the moment of inertias of the cracked element versusμ

(12)

对于裂纹单元，新的刚度矩阵可写成

(13)

式中:kcp为无裂纹时单元cp的刚度矩阵，代入开关函数，我们有裂纹单元的刚度矩阵随着旋转角度的变化为

(14)

1.3 滚动轴承及支承组件线性化模型

根据航空发动机手册[22]，滚动轴承及支承组合系统可视为两个串联的弹簧，如图5所示。

图5 轴承及支承组件刚度计算示意图

图5中，1为支承组件，2为滚动轴承，滚动轴承和支承组件的组合刚度为

(15)

式中:k为轴承与支承组合件的线性化组合刚度;k1为支承组件的线性化刚度;k2为滚动轴承的线性化刚度。滚动轴承及支承组件的阻尼可以同理得到。

1.4 系统动力学方程

根据转子动力学有限元法[23]，考虑呼吸裂纹因素，

裂纹转子的动力学微分方程为

F1cos(Ωt)+F2sin(Ωt)+Fg

(16)

代入裂纹开关函数式(1)可得

F1cos(Ωt)+F2sin(Ωt)+Fg

(17)

2 方程求解

根据谐波平衡法[24]，设方程式(17)的解为

(18)

式中:k=1,2,…,n为谐波次数，本文中取n=4。代入系统的运动微分方程式(17)可得

(19)

确定系统的各项参数后，根据式(19)求得A0、Ak、Bk(k=1,2,…,n)，即可求得系统各点的稳态响应，继而分析空心轴呼吸裂纹转子系统的动力学特性。

3 计算结果与分析

根据式(19)，计算了含有横向空心轴呼吸裂纹转子系统的非线性动力学特性。轴段采用Timoshenko梁-空心轴，裂纹转子有限元模型是不对称的系统，集中简化后的压气机圆盘约为涡轮圆盘质量的1.83倍；仅在圆盘①处有不平衡量，空心轴内外半径比r/R≈0.97。计算时取四次谐波分量。下述情况取不平衡偏角和不平衡量为β=0，med=5×10-2kg·m，支承阻尼为1 000 Ns/m，裂纹初始位置角φ=0，由计算可得，对于无裂纹的线性转子系统，一、二阶同向临界转速为ωf1=912.9 rad/s和ωf2=2 054.5 rad/s，一、二阶反向临界转速为ωb1=850.8 rad/s和ωb2=1 785.7 rad/s。

图6给出了裂纹位于单元7、节点4处的无量纲裂纹深度-旋转速度-幅值三维瀑布图，图7给出了μ=0，μ=0.5，μ=0.9三种情况下节点4处亚临界转速范围内的幅值-转速图。分析图6可知，随着裂纹的产生及扩展，系统在一阶临界转速(同向和反向)处以及临界转速的1/2，1/3，1/4附近均会出现峰值，一阶临界转速大小随着裂纹深度增加略有减小；结合图7可知，裂纹转子系统在1/2，1/3，1/4临界转速附近的响应峰值随着裂纹的出现及加深而明显增加。总之，裂纹出现后，幅频图中临界转速和1/n(n=2，3，4)倍临界转速附近会出现峰值，这是裂纹存在的一个动力学特征。

图6 无量纲裂纹深度-旋转速度-幅值三维瀑布图

Fig.6 Waterfall of the shaft for non-dimensional crack depthμ, rotational speedΩand vibration amplitude

图7 不同无量裂纹深度下转速-幅值图

Fig.7 Vibration amplitudes of node 5 for the subcritical rotational speedΩwith different values ofμ

图8给出了裂纹存在于不同位置(单元1、单元3和单元7)，μ=0.75时节点4处亚临界转速范围内的幅值-转速图。分析图8可知，裂纹位于单元1支承端附近时，1/n(n=2，3，4)倍临界转速附近的幅值较小，裂纹信号较弱；裂纹位于单元3靠近压气机轮盘时，1/n(n=2，3，4)倍临界转速处峰值明显出现；裂纹位于单元7在轴段中间时，1/n(n=2，3，4)倍临界转速处峰值明显增大。可知，轴段中间位置出现裂纹时对系统的动力学响应影响较大。Al-shude fat等的研究结果也印证了这一规律。

图8 不同裂纹位置下转速-幅值图

Fig.8 Vibration amplitudes of node 5 for the subcritical rotational speedΩwith different positions of the crackcp

图9给出了裂纹位于单元7，μ=0.7时节点4处升速过程中的三维频谱图。分析图9，在升速过程中，系统响应成分以基频为主，同时出现明显的2X、3X、4X倍频成分，尤其以2X、3X成分为显著特征。

图9 三维频谱图

4 数值验证

本节用Newmark-β计算方法计算方程式(17)的数值解响应，与谐波平衡法的求解结果进行对比分析。图10给出了裂纹位于单元7、μ=0.7、Ω=600 rad/s时节点4处的响应结果对比图。分析可知，裂纹转子系统在Ω=600 rad/s非共振转速下，应用谐波平衡法取4次谐波得到的响应和应用Newmark-β数值计算得到的结果完全吻合。此外，非共振转速下系统的轴心轨迹是一个椭圆，频谱图中成分以基频成分1X为主，倍频成分出现，但不占优。

图11给出了裂纹位于单元7、μ=0.7、Ω=425 rad/s≈1/2ωb1时节点4处的响应结果对比图。分析可知，裂纹转子系统在1/2临界转速附近Ω=425 rad/s时(此时发生2阶超谐共振)，应用谐波平衡法取4次谐波得到的响应与应用Newmark-β数值计算得到的结果基本一致。同时，系统的轴心轨迹表现为2个叠加的椭圆，频谱图中成分表现为二倍频成分2X占优，基频成分1X次之，三倍频成分3X和四倍频成分4X相对较小。

(a) 水平方向时间历程

(b) 竖直方向时间历程

(c) 轴心轨迹图

(d) 水平方向频谱图

(a) 水平方向时间历程

(b) 竖直方向时间历程

(c) 轴心轨迹图

(d) 水平方向频谱图

5 结 论

本文针对某航空发动机高压转子-空心轴裂纹系统，研究了空心轴呼吸裂纹转子系统的动力学特性，建立了含有横向弓形呼吸裂纹的单跨双盘有限元模型，推导了空心Timoshenko梁-轴裂纹转子系统的刚度矩阵，基于有限元法建立了系统的运动方程，并用谐波平衡法对方程进行求解，分析了系统的非线性响应等动力学特性，最后用Newmark-β方法进行了数值验证，结论如下：

(1) 分析了裂纹位置和裂纹深度对系统响应的影响，结果表明，裂纹导致系统正反向临界转速和1/n(n=2，3，4)临界转速附近出现共振峰值；同时裂纹“削弱”了系统刚度，一阶临界转速略有降低；位于支承端附近的浅裂纹对系统的影响相对较小，而位于跨中的深裂纹对系统的影响相对较大。

(2) 计算了系统在升速过程中的三维频谱图，结果表明二倍频、三倍频、四倍频成分明显；同时在1/n(n=2，3，4)倍临界转速附近的非线性振动响应表明，系统会发生超谐共振现象，频率成分以对应共振超谐波阶数的倍频为主，轴心轨迹是叠加的椭圆。

(3) 本文建立的空心轴裂纹模型适用于空心轴裂纹转子系统的非线性动力学研究，为航空发动机裂纹转子系统非线性振动的理论分析与数值模拟提供了理论依据。

[1] 陈予恕, 张华彪. 航空发动机整机动力学研究进展与展望[J]. 航空学报, 2011, 32(8): 1371-1391.

CHEN Yushu, ZHANG Huabiao. Review and prospect on the research of dynamics of the aero-engine system[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2011, 32(8): 1371-1391.

[2] GASCH R. Dynamic behavior of a simple rotor with a cross sectional crack[M]. London: Vibrations in Rotating Machinery, 1976: 123-128.

[3] MAYES I W, DAVIES W G R. Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor[J]. ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability, 1984, 106(1): 139-145.

[4] 林言丽, 褚福磊. 裂纹转子的刚度模型[J]. 机械工程学报, 2008, 1(1):114-120.

LIN Yanli, CHU Fulei. Stiffness models for the cracked shaft of the rotor system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2008, 1(1):114-120.

[5] 王仲生, 姜洪开, 徐一艳. 发动机转子系统早期故障智能诊断[J]. 航空学报, 2009, 30(2):242-246.

WANG Zhongsheng, JIANG Hongkai, XU Yiyan. Early fault intelligent diagnosis of aero-engine rotor systems[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(2):242-246.

[6] 王国彪, 何正嘉, 陈雪峰,等. 机械故障诊断基础研究“何去何从”[J]. 机械工程学报, 2013, 49(1):63-72.

WANG Guobiao, HE Zhengjia, CHEN Xuefeng, et al. Basic research on machinery fault diagnosis—What is the prescription[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(1):63-72.

[7] 程礼, 何正嘉, 李宁, 等. 裂纹非线性呼吸行为对转子临界转速的影响[J]. 振动与冲击, 2010, 29(4): 44-47.

CHENG Li, HE Zhengjia, LI Ning, et al. Influence of crack nonlinear breathing behavior on critical speed of rotor[J]. Journal of Vibration & Shock, 2010, 29(4):44-47.

[8] AL-SHUDEIFAT M A, BUTCHER E A. New breathing functions for the transverse breathing crack of the cracked rotor system: approach for critical and subcritical harmonic analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(3): 526-544.

[9] HE Erming, REN Xingmin, QIN Weiyang. Chaotic response of cracked rotor supported on squeeze film damper and the routes to chaos[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2002, 15(3):145-149.

[10] 万方义, 许庆余, 华军. 非线性油膜支承裂纹转子振动特性分析[J]. 航空学报, 2002, 23(3):237-240.

WAN Fangyi, XU Qingyu, HUA Jun. Analysis on the vibration characteristics of cracked rotor with nonlinear oil film bearing[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2002, 23(3):237-240.

[11] HAN Qinkai, CHU Fulei. Parametric instability of a rotor-bearing system with two breathing transverse cracks[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2012, 36(36): 180-190.

[12] HOU Lei, CHEN Yushu. Super-harmonic responses analysis for a cracked rotor system considering inertial excitation[J]. Science China Technological Sciences, 2015, 58(11): 1924-1934.

[13] HOU Lei, CHEN Yushu, LU Zhenyong, et al. Bifurcation analysis for 2∶1 and 3∶1 super-harmonic resonances of an aircraft cracked rotor system due to maneuver load[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 81(1/2):531-547.

[14] 侯磊, 陈予恕, 李忠刚. 一类两自由度参激系统在常数激励下的响应研究[J]. 物理学报, 2014, 63(13):246-253.

HOU Lei, CHEN Yushu, LI Zhonggang, et al. Constant-excitation caused response in a class of parametrically excited systems with two degrees of freedom[J]. Acta Physica Sinica, 2014, 63(13):246-253.

[15] 于海, 陈予恕, 曹庆杰. 多自由度裂纹转子系统非线性动力学特性分析[J]. 振动与冲击, 2014, 33(7): 92-98.

YU Hai, CHEN Yushu, CAO Qingjie. Bifurcation analysis for a nonlinear cracked multi-degree-of-freedom rotor system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 92-98.

[16] AL-SHUDEIFAT M A, BUTCHER E A, STERN C R. General harmonic balance solution of a cracked rotor-bearing-disk system for harmonic and sub-harmonic analysis: analytical and experimental approach[J]. International Journal of Engineering Science, 2010, 48(10): 921-935.

[17] AL-SHUDEIFAT M A. On the finite element modeling of the asymmetric cracked rotor[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(11): 2795-2807.

[18] SINOU J J, LEES A. The influence of cracks in rotating shafts[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 285(4): 1015-1037.

[19] SINOU J J, LEES A. A non-linear study of a cracked rotor[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2007, 26(1): 152-170.

[20] 路振勇, 陈予恕, 侯磊,等. 常开空心轴裂纹转子系统的动力学特性[J]. 航空动力学报, 2015, 30(2): 422-430.

LU Zhenyong, CHEN Yushu, HOU Lei, et al. Dynamic characteristics of a open crack in hollow shaft rotor system[J]. Journal of Aerospace Power, 2015, 30(2):422-430.

[21] LU Zhenyong, HOU Lei, CHEN Yushu, et al. Nonlinear response analysis for a dual-rotor system with a breathing transverse crack in the hollow shaft[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 83(1/2):169-185.

[22] 航空发动机设计手册总编委会. 航空发动机设计手册(第19分册)转子动力学及整机振动[M]. 北京：航空工业出版社，2000:57-130.

[23] 钟一谔, 何衍宗, 王正, 等. 转子动力学[M]. 北京: 清华大学出版社, 1987:176-192.

[24] 陈予恕. 非线性振动[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002:53-57.