考虑桩土相互作用的车桥耦合动力分析

乔 宏， 夏 禾， 杜宪亭

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

近些年来，随着客运高速化、货运重载化及城市轨道交通的巨大发展，车桥耦合问题已经成为研究的热点[1-4]。另外，大量国内外研究也表明，作为桥梁结构的重要组成部分，基础对桥梁结构的动力响应有着不可忽视的影响，在设计与分析时应充分考虑[5-8]。综上所述，在研究桥梁，尤其是位于软土地基上的桥梁在列车作用下的动力响应时，考虑基础与结构的动力相互作用十分必要。

铁路桥梁多为桩基础。为研究桩土相互作用对车桥耦合系统动力响应的影响，李小珍等[9]将群桩基础中的每根桩视为弹性地基梁，通过一系列弹性支撑实现桩与土之间的相互作用，通过桩与桩之间的影响系数体现群桩效应，建立了包含桩基础在内的整体桥梁模型，但是该方法并没有考虑到桩基础阻抗函数的频率相关性，而事实上，外部荷载的频率对桩基础的动力刚度有着十分重要的影响。陈令坤等[10]给出群桩桩顶处的桩土相互作用系统的动刚度和阻尼系数，采用简化的桩底假定，基于空间梁单元有限元法，利用改进的Penzien模型建立了考虑桩土相互作用的列车-桥梁系统计算模型，分析了考虑桩土相互作用的车桥耦合系统的地震响应，但是其过程需要建立全桥空间分析模型，较为繁琐。边学成[11]利用子结构法，将车辆-桥梁-地基相互作用系统分成两个子系统，通过桩基承台上的共同结点将以上两个子系统结合，在频域内求解方程，通过逆变换得到时域解来计算桥梁的动力响应，其过程涉及时域和频域之间的相互转换，计算过程复杂。Yang等[12]利用有限元软件，建立了完整的地震作用下地基-基础-桥梁-列车有限元模型，通过并行计算，以一座斜拉桥为例，研究了地震动强度和列车的行驶速度对地震作用下车桥耦合系统的动力响应及行车安全性的影响，但是，其计算模型庞大，计算成本很高。因此，以上研究虽然在一定程度上考虑了土-结构相互作用对车桥耦合系统动力响应的影响，但它们或多或少存在一些不足。

基于以上方法中的不足，本文提出了一种既能够考虑阻抗函数频率相关性又简便高效的考虑桩土相互作用的车桥耦合动力分析模型，并且实现了整个计算过程的时域内求解。首先，基于子结构方法，将完整的列车-桥梁-桩基础-地基相互作用模型分解为列车-桥梁相互作用子系统和桩基础-地基相互作用子系统。通过连续时间有理近似将桩土相互作用子系统的阻抗函数用一个高阶弹簧-阻尼-质量模型表示。分别建立两个子系统的运动方程，两个子系统之间通过彼此的相互作用力联系。编制计算程序，通过迭代计算求解系统的动力响应。最后，以一辆8节编组的客车通过一座5跨简支梁为算例，研究了桩土相互作用对车桥耦合系统动力响应的影响。

1 桩土模型及运动方程

桩基础阻抗函数一般是频率相关的，为了能够将桩土相互作用子系统与车桥子系统联系起来，就需要将频域内的阻抗函数转化到时域内。使用集总参数模型对其进行拟合是一种简单有效的方法，近些年来被国内外学者广泛采用并不断改进[13-15]。赵密等提出的一种带有质量的高阶弹簧-阻尼-质量模型，其运动方程可以利用显示积分的方法进行求解，相较于其他模型，与车桥耦合动力方程进行迭代计算时更加方便，因此，在这里选用该集总参数模型模拟桩土相互作用子系统。模型由一个末端固定的并联弹簧-阻尼系统和一个由n个阻尼器-质量串联而成的末端自由的系统组成，在横向和竖向分别建立模型，可模拟横向和竖向桩土相互作用，其示意图如图1所示。

该模型的运动方程可以表示为

(1)

(l=1,2,…,N)

(2)

式中：u0=u,uN+1=cN+1=0;f为车桥子系统对桩土相互作用子系统的作用力；u为基础的位移；ul为模型中辅助内自由度的位移；k,ml,cl(包括c0)分别为待确定的弹簧、阻尼和质量参数，可根据文献[16]中的方法进行求解。

图1 集总参数模型示意图

以上参数确定之后，该模型的运动方程可以整理为[17]

(3)

其中,

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2 车桥耦合分析模型及运动方程

如图2所示为车桥耦合系统示意图，它由桥梁子模型和车辆子模型组成，桩土相互作用子系统对其的作用则视为系统外力。

图2 车桥耦合系统示意图

在建立车桥系统运动方程时，引入如下假定：

(1)忽略轨道结构的弹性变形，假设轨道运动与桥面运动相同；

(2)组成列车的8节车之间相互独立，每节车都由车体、转向架、轮对组成，且忽略车辆沿着列车行走方向的振动；

(3)列车通过桥梁时为匀速通过。

这样，车辆子模型和桥梁子模型的运动方程可以分别表示为

(9)

(10)

为了更加明确地表示FB,F，将桥梁结构分为上部结构和支撑处两部分，分别用下标s和b表示，则式(10)可以表示为

(11)

式中：ub即为桩基础由于受到车桥耦合系统的作用力而产生的位移；反过来，由于桥梁支撑处出现了位移，使得车桥耦合子系统受到了以位移形式施加的来自于桩土子系统的作用力，即FB,F，因此，式(11)中，FB,F是以ub的形式体现出来的。

将式(11)中的第一行展开，可以得到桥梁上部结构各节点的运动方程，即

(12)

对于集中质量矩阵，式(12)中等号右边的第三项变为0，且根据文献[18]，等号右边的第二项也可以不考虑。忽略以上两项，引入振型分解法对上式进行解耦[19]，则可以得到

(i=1,2,…,n)

(13)

式中：φi和qi分别为第i阶质量归一化后的振型和广义坐标；ωi为第i阶圆频率;n为分析中所用到的桥梁模态数;R为位移影响矩阵，按式(14)计算

(14)

式(3)、式(9)和式(13)构成了列车-桥梁-桩基础-地基系统动力平衡方程组，编制相应的计算程序，通过迭代求解即可得到考虑桩土相互作用的车桥系统的动力响应。

3 求解流程

如前所述，式(3)、式(9)和式(13)组成了列车-桥梁-桩基础-地基系统动力平衡方程组，彼此之间通过相互作用力联系。在求解时，可分别求解两个子系统的动力响应，但是由于每个子系统所受到的作用力与另一个子系统的动力响应有关，因此求解时需要进行时间步内的迭代，只有在每个时间步内两个子系统的动力响应均满足收敛条件后才能进行下一个时间步内的迭代。具体的求解流程如图3所示。

关于以上求解流程，有几点需要说明：

(a) 每一个时间步内，车桥耦合子系统和桩土子系统的动力响应均利用Newmark-β方法计算得到。

(b) 桩土子系统对车桥耦合子系统的作用力通过位移的形式施加，而车桥耦合子系统对桩土子系统的作用力则通过影响线获得。

(c) 每一时间步内，两个子系统的动力响应均满足收敛条件后才可以进行下一时间步的迭代，收敛标准为

(15)

式中：E为相对误差，可取值为0.01%；u为位移向量；上标i和i-1分别为本次和上次迭代。

4 算 例

以一列8节编组的客车通过总长为80 m的实际桥梁为算例，分析桩土相互作用对车桥耦合系统动力响应的影响。

4.1 桥梁及列车参数

如图4所示为分析中所使用的桥梁模型示意图。该桥为单线铁路桥，位于天津某铁路线上，由5座跨度为16 m的简支梁桥组成。桥梁梁体采用双T截面，梁高为1.6 m。桥墩为直径2.2 m的单圆柱桥墩，桥墩高度分别为4 m、6 m、6 m、4.5 m、4 m和4.5 m。

图3 计算程序流程

图4 桥梁示意图(单位：m)

建立桥梁三维有限元模型，如图5所示。选取桥梁前30阶模态(频率范围：8.5～37.2 Hz)进行车桥耦合分析，分析时各阶模态阻尼比均假设为0.025。

图5 桥梁有限元模型

车辆模型选取一列8节编组的客车，并假设各节车辆参数相同，车辆参数参见文献[20]。依据达朗贝尔原理推导其质量、阻尼和刚度矩阵，形成运动方程。

轮轨关系采用密贴假定，轨道不平顺选取某实测不平顺数据，其水平不平顺如图6所示。

图6 轨道水平不平顺

4.2 桩基础及周围土体参数

该桥梁基础为2×2群桩基础，桩径为1 m，桩长为35 m，其平面布置如图7所示。基础承台尺寸为5 m×5 m×2 m并完全埋置于土中。桥梁所在场地土层性质基本相同加之桥梁跨度不大，因此，假设各基础所在位置土体参数完全相同，如图8及表1所示。

图7 桩基础平面布置

图8 土层分布

基于以上桩基础及其周围的土体参数，可以得到桩基础的竖向和横向阻抗函数如图9中的实线所示。其中，前者表示桩的动刚度，后者则表示由于桩的振动在桩身周围的土体中向无限远场辐射振动能量时所产生的几何阻尼[21]。

表1 土层参数

以上得到的阻抗函数是频率相关的，为了将其用图1所示的集总参数模型表示出来并建立时域内的运动方程，需要首先将该阻抗函数进行连续时间有理近似，如式(16)所示

(16)

在近似过程中，目标函数的精度和稳定性是两个非常重要的标准。为实现上述目标，在这里选用赵密等提出的基于线性系统理论的稳定性条件和非线性优化的遗传-单纯形算法来对目标阻抗函数进行拟合。设置有理近似的阶数N=5，在拟合过程中对目标函数设置罚函数以确保稳定性条件，拟合结果如图9中的虚线和表2所示。

(a) 竖向

(b) 横向

Fig.9 Comparison between the impedance functions and approximated ones of the 2×2 pile foundation

从图9中实线和虚线的对比情况可以看出，在满足稳定性条件的前提下，该组参数拟合效果很好，满足计算精度要求。

基于表2中的参数，依据式(3)，建立桩土相互作用子系统的运动方程。

表2 拟合参数Fig.2 Fitting parameters

4.3 分析结果

基于以上分析分别建立车桥耦合子系统和桩土相互作用子系统的运动方程，设置分析车速V=160 km/h，依据图3中的流程进行考虑桩土相互作用的车桥耦合系统动力分析。

分析时，如前文所述，设置收敛标准E=0.01%，通过计算，每一个时间步内的迭代次数不超过7次，如图10所示。

图10 计算迭代次数(V=160 km/h)

如图11和图12所示为考虑与不考虑桩土相互作用条件下，第一跨简支梁跨中的位移时程和加速度时程的对比图。

(a)竖向(b)横向

图11 考虑/不考虑桩土相互作用时桥梁位移时程

Fig.11 Displacement time histories of the bridge with/without considering soil-pile interaction

(a)竖向(b)横向

图12 考虑/不考虑桩土相互作用时桥梁加速度时程

Fig.12 Acceleration time histories of the bridge with/without considering soil-pile interaction

从图中可以看出，考虑桩土相互作用以后，桥梁竖向位移和加速度均有所增加，其幅值分别为不考虑桩土相互作用时幅值的1.16倍和1.11倍，说明了在进行车桥耦合动力分析时应考虑桩土相互作用，否则会造成桥梁的竖向动力响应被低估。和竖向响应相反，车速为160 km/h情况下，考虑桩土相互作用以后，桥梁的横向位移和加速度均有所减小，其幅值分别变为不考虑桩土情况下的0.88和0.90。

如图13所示为考虑与不考虑桩土相互作用条件下，列车第一节车的车体加速度时程对比图。从图中可以看出，桩土相互作用对列车动力响应影响并不明显，考虑桩土相互作用后的车体竖向和横向加速度峰值分别为不考虑时相应值的1.027倍和1.004倍。

(a)竖向(b)横向

图13 考虑/不考虑桩土相互作用时车体加速度时程

Fig.13 Acceleration time histories of the 1st car-body with/without considering soil-pile interaction

如图14所示为考虑与不考虑桩土相互作用条件下，桥梁竖向和横向位移最大值随车速的变化情况。从图中可以看出，两种情况下，桥梁竖向和横向位移最大值随车速的变化规律相同；车速相同时，考虑桩土相互作用后，桥梁竖向位移幅值明显增大，而横向位移幅值则在不同车速条件下呈现不同的变化规律，但是总的来说，相比于竖向位移幅值，考虑桩土相互作用以后，横向位移幅值的变化幅度要小得多，这可能是由于横向激励只有轨道不平顺的缘故。

(a)竖向(b)横向

图14 考虑/不考虑桩土时桥梁位移幅值随车速变化

Fig.14 Comparison of maximum bridge displacements with/without considering soil-pile interaction

如图15所示为考虑与不考虑桩土相互作用条件下，车体加速度最大值随车速的变化情况。从图中可以看出，两种情况下，车体竖向和横向加速度最大值随车速的变化规律也基本相同；车速相同时，考虑桩土相互作用后，车体竖向加速度幅值稍有增大，而横向加速度则在不同车速条件下呈现不同的变化规律。

(a)竖向(b)横向

图15 考虑/不考虑桩土相互作用时车体加速度幅值随车速变化

Fig.15 Comparison of maximum car-body accelerations with/without considering soil-pile interaction

5 结 论

本文建立了完整的列车-桥梁-桩基础-地基系统动力分析模型，并在模型中考虑了桩土相互作用系统的频率相关性。以一列8节编组的列车通过5跨简支梁为算例，研究了桩土相互作用对车桥耦合系统动力响应的影响。依据上述理论分析和本文中算例的计算结果，可以得到如下结论：

(1)当列车行驶速度在80～160 km/h内变化时，考虑桩土相互作用以后，车桥耦合系统的竖向动力响应均增大，横向动力响应在某些列车行驶速度条件下也有所增加。因此，在进行车桥耦合动力分析时应充分考虑桩土相互作用的影响，否则会导致计算结果偏于不安全。

(2)相较于车辆子模型，桩土相互作用对桥梁子模型动力响应的影响更加明显。

(3)本文算例中，相较于桥梁横向动力响应，桩土相互作用对桥梁子模型竖向动力响应的影响更加明显。

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