利用概念图评价学生数学联结能力的策略探讨

过遥 薛愈

摘 要：概念图是建立思维联结的一个有效工具，被广泛地用于数学概念的教学。文章介绍了用概念图来评价学生数学联结能力的方法，旨在为教师提供一个衡量学生数学联结能力的有效方法。同时，作者认为培养学生的数学联结能力也符合学生核心素养自主发展的要求。

关键词：数学；概念图；联结能力

作者简介：过遥，华东师范大学教师教育学院硕士研究生，研究方向为课程与教学论（数学）（上海 普陀 200062）；薛愈，江苏省泰州市泰州中学教师。（江苏 泰州 225300）

中图分类号：G626 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）34-0081-02

2000年4月，美国数学教师协会在颁布的《学校数学的原则与标准》中提出6项数学能力：数学联结能力、数学运算能力、问题解决能力、逻辑推理能力、数学交流能力和数学表达能力。这是教育界首次提出数学联结能力，随后数学联结能力受到全球数学教育者的广泛关注。学生数学联结能力的培养成了数学教学的重点之一，学生的数学联结能力也成了评价学生数学知识掌握情况的重要标准。

一、数学联结能力与概念图的关系

数学联结能力是指将不同数学知识联结起来的能力，即发现各数学知识之间的联结的能力。具体表现为，能够形成数学知识的脉络，发现数学知识在这个脉络外的应用，通俗地说，就是数学知识与数学观念之间的联系。这种关联的内涵与外延分别对应内部联结和外部联结：内部联结能够促进学生数学思维方法的养成，提高学生的数学素养；外部的联结能够发展学生应用数学的能力，强化数学的思维训练作用。

在20世纪60年代，美国康奈尔大学诺瓦克（Joseph D. Novak）教授等首次提出了概念图（concept map）这一概念。概念图是一张表示概念和概念之间联系的平面网络结构图（如图1），以此呈现学生对概念、思想系统化的认识。从形式上看，概念图是将某一概念放在方框中，用连线将有关系的方框连接起来，再在连线上表明两个概念之间的关系。

用概念图来评价数学联结能力的理论依据是Houghetal的概念图研究方法，他提出通过统计数学知识概念图的节点和连线数即可评价数学联结能力。概念图是目前流行的一种对概念理解的评价工具，侧重对数学联结的考察。学生数学联结能力的强弱直接影响概念图的质量，因此概念图也可以作为一种评价学生数学联结能力的工具。

二、利用概念图评价学生数学联结能力策略

一般来说，学生制作概念图的过程有以下几个步骤：①确定一个知识领域；②确定该领域中不同概念的层次结构，选取一个关键概念；③判断概念图的纵向分层和横向分布；④确定概念之间的意义关系，创建联结并确定联结词；⑤随着知识的积累，不断扩充和改进概念图。因为概念图要考察对领域内众多概念的理解和概念之间的关系，因此概念图常常被用作考察学生对某一领域知识的理解。

利用概念图评价学生数学联结能力最为常见的方法是让学生在白纸上画出某一数学知识领域的概念图，然后对概念图进行评分，利用得分评价学生的数学联结能力。常见的概念图计分方式有三种：成分结构评分法、相似度评价法和综合评定法。简单来说，成分结构评定法是对概念图的不同组成部分加权然后计算总分；相似度评价法是利用计算机比较学生概念图和专家概念图，同时也需人工评判整体结构，并给出评价结果；综合评定法则是结合前两种评价法。

相似度评价法或综合评定法这两种评价方法受得分标准的制约较大，且难以评价概念图的整体结构，因此，从效率的角度和实施难度出发，本文更加推崇成分结构评定法。成分结构评定法有四个基本要素：关系、阶层、交叉联结和举例。评分是基于这四个要素进行加权计分，具体原则如下：

关系。是指两个节点之间的联结关系，两个节点联结构成一个命题，这个命题的结构是：概念—联结词—概念，其中联结词是判断这个命题是否有意义的关键。对于有意义且有效的命题通常计1分，无意义或错误的命题则计0分。

阶层。概念图中的概念排列应该具有阶层性，阶层是指概念图的纵向分层，从上至下是一个从一般到特殊的过程。由于概念图中有效联结的数量远超有效阶层的数量，因此对每一个有效阶层的计分应该是有效联结计分的3至10倍，即3至10分，通常计5分。若概念图的横向分布比较复杂，则选择分支较多的一个框架来计算阶层数。

交叉联结。指某一概念阶层的一部分与另一概念阶层的其他部分（即与前者没有上下关系）中概念的联结关系，能够显示不同概念群间的关系。交叉联结能够表征学生的创造力，表示学生能突破一个概念群的束缚，往外寻找新的联结关系，实现两个概念群之间的互相联系。因此，对于交叉联结的赋分要高于一般联结和阶层，独特或具有创造力的交叉联结可以给予特别的认可和额外的加分，对于每一个重要的且有效的交叉联结赋予10分，有效但不能清楚指出相互关系的交叉联结赋予2分。

举例。针对概念图最底端的概念，即最特殊和具体的概念，要求学生举出与教材上不同的且具有代表性的例子，以考察学生是否真正理解概念。有时，学生会根据机械记忆的结果举例，对于这种例子通常只能计一分。但是若从学生举出的例子中可以明显看出学生对知识已经融会贯通，对于这类例子可以赋予较高的分值，一般为5分。

根据上述计分原则，对学生绘制的概念图逐项计分，各项分值求和即为总分，以此来评估学生的数学联结能力，总分越高说明学生的数学联结能力越强。

三、運用概念图评价学生联结能力的实例探究

图1是一张有关圆的概念图。这张概念图中一共有11个节点（概念）、22条联结线和12个联结词。图中的基本元素共构成15个命题：圆有圆周，圆有半径，圆有圆心，半径的端点是圆心，圆心是直径的中点，圆心到圆周上的两个点距离相等，半径是直径的一半，直径联结圆周上的两个点，半径有长度，直径有长度，半径的长度是直径的一半，圆周有长度（周长），周长与圆周率有关，直径与圆周率有关，圆周率是周长与直径之比，这些命题均为真命题，因此共计15分。按照概念的从属关系，该概念图应该有4个阶层：第一阶层包含“圆”这一个概念；第二阶层包含圆周、半径、直径、圆心、圆周上的两个点，共五个概念；第三阶层包含半径长r、直径长D，周长，共三个概念；第四阶层包含圆周率，圆周长与直径之比两个概念。本文认定每一个有效阶层的计分为有效联结分值的5倍，因此该概念图阶层划分共计20分。图中“圆周上的两个点”的上级概念是“圆心”，但它与“直径”通过联结词“联结”构成了一个真命题，因此可算作一个交叉联结，同理命题直径与圆周率存在数量关系亦可作为一个交叉联结。此概念图中共有两个有效交叉联结，依据其重要性，本文计其分别得分5分，共计10分。由于该概念图并未对底层概念进行举例，因此举例部分的得分为0。综合关系、阶层、交叉联结、举例四个部分的得分，此概念图得分44分。由于成分结构评定法并未设置得分上限，因此若运用此方法对概念图评分，得分越高越佳。

概念众多是数学学科的一个显著特点，在学习数学的过程中，对概念的理解不应该是片面的、独立的，概念学习的最后一个环节应该是将新概念与已经掌握的概念联系起来，形成一个知识网络。概念图作为评价数学联结能力的重要工具，也应该充分利用至数学学习的评价机制中。

参考文献：

[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 侯美琦.高中生数学联结能力的调查研究[D].哈尔滨师范大学，2015.

责任编辑 陈 晨