避开分类有妙招

学完“一次函数”后，老师让我们对课本“小结与思考”后的复习题进行思考，其中一道题是这样的：

已知一次函數y=2x+b.（1）它的图像与两坐标轴所围成的图形的面积等于4，求 b的值；（2）它的图像经过一次函数y=-2x+1与y=x+4图像的交点，求b的值.

我的思考：第（1）题，先画出一次函数y=2x+b的图像，根据图像与两坐标轴围成的图形的形状，再考虑图形面积的求法.由于函数关系式y=2x+b中b的值未知，我想到按b>0，b=0，b<0三种情形分类，如图1所示.

观察发现，b=0时的图像不满足“图像与两坐标轴所围成的图形的面积等于4”，b>0与b<0时的图像符合题意，并且图像与两坐标轴所围成的图形都是直角三角形.下面便要考虑求直角三角形的两直角边长，可转化为求图像与坐标轴的交点坐标.

设一次函数y=2x+b的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，则有A（-[12]b，0），B（0，b）.

当b>0时，如图2，则OA=[12]b，OB=b.由题意得S△OAB=4.∴[12]OA·OB=4，解得b=4（舍去-4）.

[图2 图3]

当b<0时，如图3，则OA=-[12]b，OB=-b.∴[12]×（-[12]b）×（-b）=4.解得b=-4（舍去4）.

综上，b的值为±4.

做完后，我想起了老师对我们的要求：要进行解题反思.仔细回顾后我发现，b>0与b<0两种情形的解题过程类似，只是表示线段OA、OB长的代数式的符号不同，符号起什么作用呢？我沉思起来. 对了，线段OA、OB的长必须是正数，符号原来是确保线段长为正啊！那么能不能将两种情形统一起来，不分类求解呢？我又思考起来，翻阅起课外辅导资料……

有了！绝对值不能为负，可以将线段长用绝对值表示，我高兴地叫出声来.

于是我再次解答：设一次函数y=2x+b的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，则有A（-[12]b，0），B（0，b）.∴OA=[-12b]=[12][b]，OB=[b].由题意得S△OAB=4.∴[12]OA·OB=4，即[12]×[12][b]×[b]=4.∴[b]2=16，即b2=16.解得b=±4.

解法优化后，甭提我有多高兴了，我心里乐滋滋地盘算着：明天课堂讲题，一定要讲出我的风采！

教师点评：孙涛同学探究了“已知图形面积求一次函数关系式”问题的解法，不仅给出了自然、严谨的思考方法，而且很好地示范了如何做题，特别是各个思考环节的做法、主动学习（翻阅课外资料）的精神、对解题过程进行回顾与反思的学习方法、愿与同学分享的学习品质很值得同学们学习.解题反思环节往往是思维提升的过程.

（指导教师：王云峰）