利用对称性解决函数问题探析

（吉林省德惠市第四中学 吉林长春 130300）

高中数学阶段函数贯穿始末，占有很大比重，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的图像和性质是高考的重点与热点，其中函数的对称性是函数的一个基本性质。对称关系不仅广泛存在于数学问题当中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。考查对称性能有效地考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力，因而是高考和竞赛中命题的热点和重点。笔者在分析2009年和2010年高考试题时发现：09年全国卷Ⅰ选择题第11题、山东卷理科高考数学第16题，都是一些直接应用函数对称性解决的问题；10年全国卷Ⅰ填空题第15题，也涉及到函数图像对称性问题。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨与函数对称性有关的问题。

一、利用函数自身的对称性

性质1 函数y=f（x）的图象关于A（a，b ）对称的充要条件是f（x）+ f（2a-x）=2b。

推论：函数y=f（x）的图象关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0。

性质2 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。

推论：函数y=f（x）的图象关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.

性质3 （1）若函数y=f（x）的图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

（2）若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（ab），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

二、利用不同函数间的对称性

性质4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。

性质5 （1）函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。

（2）函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。

（3）函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。

推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。

三、巧用对称性解决数学中的动点最值问题

1.问题原型：

（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题

2.基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

3.例题解析与归纳经验

例1.要在河边修一个小泵站，分别向张村和李庄送水，问水泵站应建在河边的什么地方，可便所用的水管最短？

分析：如何证明两线段和最短？考虑到初一学的线段公理“两点之间，线段最短”，那么，如何把这两条线段转化成一条线段呢？此时，轴对称的性质，对称轴是轴对称连线的中垂线。作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B直线l于P点，此时，两线段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x轴上找一点P，使AP+BP最短。此时AP+BP的长为_______

分析：（与例1方法相同）过点P作水平线，过点P作垂直于x轴直线，两直线交于点C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的长为5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点。求PM+PB的最小值是________________.

分析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于对角线AC的对称点就是点D，连结PD.则PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是点DM的值。因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，△ABD是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是△ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以DM是△ABD高线。又因为AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。

例4.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形 ，点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上有一点P，求PD+PE的最小值____________.

分析：根据正方形的轴对称性可知，点D关于对角线AC的对称点就是点B，连结PB，则BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值为BE。因为正方形ABCD的面积为12，则AB=2，又因为△ABE是等边三角形。又M是AB的中点，所以DM是△ABD中线，又因为等腰三角形三线合一的性质，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。

归纳经验：此类问题的共同特点是将两条线段的和转化为一条线段，这条线段的长度就是最短距离，怎样找到这条线段呢？步骤如下（以最后一题为例）

1.动点P在AC直线上运动，这条直线AC即为对称轴。

2.找出（或作出）点D关于这条直线的对称点B

3.连结BE，BE即就是这条线段。BE的长度即是最短距离，（当PD+PE取最小值时，点P就是BE与对称轴的交点.。

4.利用所学的知识，求BE的长度。

总之，在这一类动点最值问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。