“数形结合”巧解题

杨泓轩

上课遇到数形结合的问题时，老师经常会提到著名数学家华罗庚的名言，“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休”.下面一道选择题，我就是用先“形”后“數”来解决的.具体如下：

三角形的三条外角角平分线所在直线相交构成的三角形（ ）.

A.一定是锐角三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形

D.无法确定

这类题目如果出现在考试卷上，一般都会放在选择题的最后两个题目中.这题没有图形，大多数人在考试时都会败下阵来.有些同学可能确实不会，而有些同学可能有能力解决，但没有画图的意识，往往成了解题的障碍！乍一看，题目确实无从下手.考试时，我遇到这道题也是这样的感觉，但我没放弃，而是结合题目的要求，在草稿纸上涂涂画画，一涂一画，这道题的答案就慢慢清晰了，显然，如图1，△DEF应该是锐角三角形，选答案A.

仅有一个图形不严谨，因为从“角度”来说，可以将三角形分为三类.于是，我又画出了直角三角形（如图2）与钝角三角形（如图3）的情况.发现最后的三角形都是锐角三角形.也就是说，不论原△ABC是何种三角形，最后的△DEF都是锐角三角形.

图形非常直观，但仅有直观的结论是不严谨的，还需要证明.可以从“数”的角度进行证明，设∠BAC、∠ABC、∠BCA的度数分别为x、y、z，则∠DAB=[12]（y+z），∠DBA=[12]（x+z），所以∠D=180°-[12]（y+z）-[12]（x+z）=90°-[12z]<90°.同样的道理，∠E=90°-[12y]<90°，∠F=90°-[12x]<90°.从而，得到△DEF是锐角三角形.

这道题发现结论、证明结论的过程充分体现了“数形结合”的好处.图形的直观帮我们找到答案与思路，但严谨性还需要结合图形，运用“数”来完成.