高中数学证明题的解答策略

☉江苏省苏州第十中学校 项冠炜

数学证明作为高考数学中必考题目，对学生的逻辑思维能力要求非常高，同时需要学生有较强的计算求解能力、推理论证能力，所以很多学生在面对高中数学证明题目时会出现多种多样的障碍.非常多的学生可以非常熟练地记住完整的数学概念及相关的定理和公式，甚至也清楚记得曾经解答过的证明题的解题步骤，但在遇到新题时，却依然不会做，究其本质，学生虽然接触了多种多样的证明题，却没有真正获得数学的思考能力和解决问题能力，导致不会灵活采用证明解答中的方法和方式，所以学生自身对证明题的解题方法和思维进行一定的研究是非常重要的.

一、综合知识法

首先，证明题都是比较综合的题目，涉及的方面非常广，所以也需要学生具有比较全面的知识系统，才能完美解决相关问题.综合法是高中数学中非常常见的证明方法，是一种三段式的演绎方法，主要是根据题目条件来进行顺推，或者是找到题干上的“因”，来导入相关的“果”的过程.这种方法是从一种已知状态到未知的逻辑，学生要从题目中涉及到的已知条件出发，进行一系列的推导过程，最后导出结论，来表明其的真实性和可靠性.一般在证明题中都会用上著名的符号“∵（因为）”、“∴（所以）”或者“→”.

比如，在例题中：已知x、y、z为三个不全部相同的实数，请证明：x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.通过观察，我们首先认识到这是一道代数不等式证明题，并且看到x4+y4+z4等式子，根据不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2等，又因为x、y、z是三个不全部相等的实数，所以得到上面三个式子中有一个式子是不能够取到等号的，所以得出x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，而又由x2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，所以很容易就得出x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.在整道题目的证明过程中，学生需要仔细观察，题目的开始用到了著名不等式x4+y4≥2x2y2，从这个不等式出发，根据知识和已知条件来推出想要证明的结论.学生要学会从证明的结果来对整道证明题进行分析，利用条件来完成证明过程.需要学生注意的是，某些题目有多个证明题，学生要学会观察各个问题间的联系，并且对条件进行逆推或者顺推，采用这两种方式结合，来对证明题进行解答.比如想要证明面面垂直，就需要找到线面垂直、线线垂直等条件.

二、分析法

分析法也是在高中数学证明题中常用的一种方法，它是一种逆证法，需要学生体验从未知到已知的过程，需要学生具备一定的逻辑.简单来说分析法在使用的过程中，学生要假设题目中需要证明的命题是正确的，然后再推出能够保证这个结论充分成立的结果，而且这些结论一定是已知的定理、已证的命题或者是题目中早就给出的条件.另外，还有一些证明题中出现信息量非常多的情况，大多数学生会觉得非常困难，毫无解题的头绪，从而不能够有效将题目中的信息进行消化，所以学生还应该积极根据题干中所给出的结论来找到满足结论存在的条件，然后再层层分析和展开，让所需要证明的目标越来越清晰和简单.充分利用结论，结合条件，分析要想该结论成立还需什么条件，有时候还需要学生具备画图作辅助线的意识.采用分析法进行证明解题，可以促进学生从多种方面来思考问题，从而探索解题的方法，拓宽解题的思路.需要学生注意的是，分析法并不是由命题的结论来证明前提条件.一般利用分析法来解决证明题时，常用的规范格式是：“要证明……只需要……”或者是符号“←”.

三、反证法

我们都接触过反证法，这种方法是非常常用的一种间接证明方法，如果在解决证明题的过程中，采用直接证明的方式遇到阻碍时，可以考虑采用反证法.一般学生采用反证法时，需要进行以下标准解题证明步骤：（1）反设，即假设题目中要求证明的结论不成立，设其否定命题成立；（2）归谬，即将假设成立的否定命题作为已知条件，从这个结论出发，通过正确的推理思路和过程，导出和题目中的已知条件、已经证明出来的定理、明确的事实相反且产生矛盾；（3）结论，即证明出假设错误，假设和已知事实存在明显的矛盾，从而假设结论是不存在的，所以否定命题不存在，间接肯定了结论的成立.

比如，已知a、b、c都在（0，1）这个区间上，请证明（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中，最少有一个小于或者等于.在本题中，如果要完成证明，就需要分别证明三个式子是否存在小于或者等于的情况，而利用反证法证明：假设三个式子同时都大于，此题就容易表达很多.因为0＜a＜1，所以1-a＞0，而通过著名的不等式结论可以得出：，而对于b和c，同理可得相同的式子，三个式子相加得到设矛盾，从而原命题成立.反证法是高考考查的重点和热点，学生要学会掌握反证法的使用，并且能够认识反证法的使用情况，从而保证解题的效率和正确性.

四、数学归纳法

数学归纳法是一种用来证明和正整数n有关的数学命题，这种方法的使用非常容易识别，也有固定的书写步骤.一般是由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法.证明的书写过程如下：（1）求出n取第一个值时，证明相关命题是成立的.（2）假设当n取第k个值时，命题成立，其中k属于正整数，k是大于或者等于0的，并且也证明当n取第k+1个值时，命题同样成立，所以证得这个命题对k取任意值都成立.采用这种方法时，学生需要清楚，验证是整个证明过程的基础条件，最为关键是对式子进行递推，再在其中寻找递推关系.

如下面例题：证明式子（3n+1）·7n-1能够被9整除.利用数学归纳法，首先，当n等于1的时候，原式等于4×7-1=27，可以被9整除，命题初步成立；其次，假设当n取k值时，命题成立，所以（3k+1）·7k-1能够被9整除；当n为k+1时，原式等于（3k+4）·7k+1-1=［（3k+1）·7k-1］+18k·7k+27·7k，由归纳假设（3k+1）·7k-1可以被9整除，因为18k·7k+27·7k能够被整除，所以（3k+4）·7k+1-1也可以，所以当n=k+1时，命题同样也成立.这种题目在解读的过程中，可以明显发现需要用数学归纳法，所以可以按照数学归纳法的固定步骤来进行假设，从而证明该结论.此方法关键就是在由已知推向未知的过程中，对式子进行变形时，要善于找出式子之间的联系.

总的来说，数学的证明题彰显了数学严密性的特征，所以学生在解决相关的证明题目时，一定要保证严密性和完整性.在训练证明题目的解答过程中，也可以很好的培养和锻炼学生的思维发散能力、逻辑思维能力、解决问题能力，还可以提高学生对问题进行分析和探索的能力.一个结论的证明，其证明思路和过程都不是单一的，上文笔者提到的都是比较基础的方式.学生要想真正掌握证明策略，还需要对大量的数学理论和定理进行反复证明实践，从而明确每种类型证明题的解题思路，使用正确的证明方法，并能举一反三，获得良好的学习效果.J