线性代数课程改革的思考与实践

◆张书华 赵俊英

1 线性代数教学中存在的普遍问题

线性代数课程是高等学校理工、经管类专业开设的一门重要公共基础课程，以线性问题为主要研究对象，处理问题的方法渗透到科学技术的各个方面，对培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、计算能力具有非常重要的作用。在后续的很多课程中都会涉及线性代数的相关理论知识，如信号处理、图像处理、电路基础、自动控制、计算机网络优化等。因此，线性代数是后续课程的前提条件，也是继续深造和进一步从事科学研究的理论基础，对它的学习是非常有必要的。

线性代数课程的特点是有较高的抽象性和严密的逻辑性，概念和定理较多，计算量大，学好线性代数有一定的难度。在课程学习中，学生由于对线性代数的应用不了解，学习处于被动地位；又由于课程理论抽象，计算较为烦琐，学生感觉不到线性代数理论体系存在的实际意义，对所学知识很迷茫，从而失去学习的兴趣。因此，为了激发学生的学习兴趣，提高学生学习课程的主动性，改革“黑板+多媒体”的教学模式势在必行。

天津商业大学理学院长期重视大学生综合素质的培养，不仅重视本科课堂教学的质量，更注重大学生创新能力的锻炼，通过线性代数课程组教师的共同努力，在教学中研究探索，在线性代数课程改革方面采取一系列措施，取得不俗的成绩。

2 课程改革应解决的问题

传统的线性代数教材追求逻辑推理的严密性和理论体系的完整性，往往重理论而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难以理解，且不利于与其他课程相联系，从而出现学生“学不懂，不会用”的局面。因此，根据多年线性代数课程教学经验，将线性代数课程改革目标定位为致力于解决线性代数课程“从何而来，为什么要学，学了有什么用”的问题，从教学内容、教学方式、考核方式等各个方面对课程进行改革，主要体现在通过重新编写教材，改革课堂教学模式（增强数值计算实际案例，并引入数学实验课教学），借助于网络教学平台，改革考核方式，使学生在获得知识的同时，在综合设计能力和创新能力方面有明显提高。

3 采取的措施

编写新的教材天津商业大学人才培养定位为培养复合型、创业型、应用型人才，根据学校的培养目标和学生的实际情况，于2010 年编写了新的教材《线性代数及其应用》及配套辅导书《伴你学数学》。教材注重从实际背景和几何问题引入概念，注重每章内容体现的数学思想，例如：通过行列式定义的引入，体现出由特殊到一般、由表及里的数学思想；通过矩阵运算的定义，体现数学中类比的思想等。结构安排逻辑性强，注重线性代数在经典案例中的应用。辅导书与教材紧密配合，给出各章节的基本题型和解题技巧，对于易错题型给出分析；并对于一些抽象概念的发展历史、几何应用、数学家的故事进行介绍，让学生明白线性代数课程中的概念“从何而来”。教材使用几年来，受到师生的一致好评。

实行分层教学根据不同专业对线性代数课程要求的不同，将课程分为64 学时、48 学时、32 学时三个层次，这三个层次主要在要求学生掌握知识的全面程度、计算能力、应用理论和计算机解决问题的能力方面有所差异。对有特殊培养目标（如卓越工程师试点班）的学生单独设立教学大纲和教学计划，着重引入线性代数工程上的应用能力，培养学生应用代数解决问题的能力。总之，要将线性代数“因班制宜”。

改革教学方法学生只有明白“为什么要学”，才会重视课程，而对课程的重视程度对学生的学习至关重要。重视课程学习的学生在学习中会充满热情，积极主动地学习，学习中遇见困难会想办法解决而不会被困难吓退。因此，在教学中主要从以下几方面入手。

1）让学生重视线性代数课程。每学期授课开始，都会有学生问这门学科是研究什么的，对他们的专业有什么帮助等问题。因此，在开学第一课给学生讲明线性代数的特点和内容之间的联系，和其他数学课程的联系，对今后学习专业课有什么帮助，使学生对线性代数的学习有一个初步的了解。可以举一些简单的例子来说明课程的目的和研究对象。如在第一次课上，可以向学生阐明“线性代数是解决数学中线性关系的问题”，因为线性关系对学生来说并不陌生，在中学就知道函数的线性关系，如y=2x，所以学生一开始就会有个直观的感觉；然后强调线性代数不仅仅是研究简单的一元变量之间的关系，它更强大的功能是解决多元变量之间的线性关系。

又如通过解线性方程组的思想告诉学生，线性代数的主要研究对象是变量之间的线性关系，同时让学生感受线性代数是解决实际问题不可缺少的工具，他们的专业课中凡是可以转化为线性方程组来解决的问题，都可用代数方法处理。

将最深奥的理论用最简单的语言来解释，例如：代数中“线性相关的定义”“向量空间的概念”等定义，可以借助于“三原色”来引入；而矩阵的运算，可以类比实数中的运算引入，让学生真实地感受到产生这些理论的思想和方法其实很自然也很简单，让学生明白线性代数的知识不是抽象独立的，增强学习的积极性。只有学生真正懂得一门课程的来龙去脉，体会到一门课程的重要性，才能做到想学、会学，能够学懂、会用。

2）不断提高教师的教学水平。要求教师认真设计每一节课“教”的方案，力求做到就像看精彩的电视连续剧一样，让学生听课时享受其中，课下盼着下次课的到来；还应该设计出难度梯度，就像人们玩电子游戏一样，既能过得了前面的关，又不会很顺利地玩到通关。教师不一定能做到和电视游戏一样，但只要以这个为目标去设计每一节课，总会有效果。另外，教师要及时总结教学过程，及时记录每次讲课成功的以及不成功的地方，以便下一轮备课时发扬优势，改变缺点；听取优秀教师、教学名师讲课，学习如何设计一节课的教学计划，如何处理重点、难点，如何引导启发学生思考，如何控制课堂的纪律，更为关键的是如何生动有趣地教学等。

力求做学生信任的教师，正如全国教学名师朱士信所说：“如果学生不信任你，怀疑你的水平或能力，你的教学效果肯定不好，你说的话或你要求做的事，学生肯定不听或不做；如果学生信任你，学生会尽力按你说的去做。”

3）让学生参与教学。学生是学习的主体，在教学中尽可能让学生参与其中，会充分调动学生的学习积极性。如果班级人数较少，给出讨论题目，在课上由学生自由分组讨论，教师做总结。

如一次讨论课提前给出讨论的题目：矩阵的初等变换及其应用。要求讨论内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等。自由结组，每组选出一位组长，每人写一份内容整理，由组内讨论整理，确定内容后选一位同学报告，每组讲解十分钟。内容提示：两个矩阵等价；将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形；求矩阵的秩；求解线性方程组；判断向量组的线性相关性；求向量组的极大无关组；应用案例（应用案例要结合自己的专业）。

通过分组讨论，学生对基本概念、知识点之间的联系、知识点的应用有了清晰的认识，巩固了知识，也了解了线性代数“学了有什么用”，激发了学好课程的热情，自觉地学习这门课程。如果班级人数较多，给出讨论题目和建模案例，由学生在课下讨论完成，教师做检查和课上点评。

利用数学软件进实验课教学在线性代数教学中，利用Mathematic 软件进行代数的运算和复杂数据的处理。线性代数课程通过上机练习，使学生学会利用数学软件处理计算问题。这样，学生在掌握课程的基本知识点和运算技能后，可以利用数学软件轻松地解决计算问题，不会因计算量太大而失去学习的兴趣。

利用网络教学资源进行教学教师的授课时间有限，但是学生的课外时间很充裕。学生课下的自习是课堂教学的延续，是提高教学质量的重要环节。线性代数课程引进网络教学资源“线性代数智能教学平台”，学生可以利用资源进行自主学习和自主测试。在测试系统中，系统能自动批改、记录成绩，可以分析各知识点的得分情况，能让学生及时发现自己掌握知识的不足。系统可以多次刷分，有利于学生实现自我挑战和自我超越，也有利于学生之间的相互竞争。

智能教学平台还有在线实验系统，包括平面图形的变换、矩阵在计算机图形学、线性方程组的应用、九宫格游戏等13 个实验。利用实验系统可以让学生了解线性代数“学了有什么用”，从而激发学生学习线性代数的兴趣。

考核方法的改革改革课程的考核方式，增加平时成绩在总评成绩中的比例，平时成绩由测试系统成绩、实验系统成绩、上机成绩、课堂练习成绩组成，通过细化学习过程的考核，督促学生平时认真学习。在期末考试中增加基础知识和应用的考核，减小计算量，重点考查学生对课程内容的理解能力和应用能力。将学习过程的形成性考核与期末考试的终结性考核有机结合，保证学习过程的连续性和完整性。

4 取得的初步成效

通过采取一系列措施，学生学习线性代数课程的兴趣逐步提高，课上主动与教师交流，课堂气氛热烈，课下测试系统的成绩不断刷新，大部分班级30%多的学生的测试系统成绩为满分，课程整体考核及格率、优秀率不断提高。学生参与数学建模空前积极，学校数学建模成绩不断刷新。

5 结语

多年来在线性代数课程的教学研究与改革上做了一系列尝试，取得一定的成绩，但课程的教学改革与建设是一项长期的系统工程，并且随着时代的发展需要赋予其新的内涵，需要不断探索，不断实践，不断创新，共同把线性代数教学改革引向深入。■