关于2-扭自由σ-素环上的左-(θ,θ)导子的一个研究①

(吉林师范大学研究生院，吉林 长春130000)

0 引 言

环上导子是微分的一种代数形态的推广,有久远及丰富的研究内容与背景.

从1957年Posner提出了素环上导子的性质,至今该方向被后人不断进行推广.1989年,Bell和Kappe,提出若素环R上的导子d在R的非零右理想I上同态或者反同态,则d=0.2003年Asharf等人提出了2-扭自由素环上平方封闭的Lie 理想上相关的性质.2004年Zaidi和Asharf提出了素环上Jordan理想和左(θ,θ)-导子的性质.2007年Oukhtite提出在σ-素环上Lie理想的相关性质.2010年又提出σ-素环Jordan理想的相关性质.作者主要将Aydin和Oukhtite的相关结果进行推广到2-扭自由σ-素环上.

1 预备知识

设R是环,若aRb=0,有a=0或b=0,则R为素环.设R是一个带对合(R,σ)的环,如果对于aRb=aRσ(b)=0,有a=0或者b=0并且2x=0,这里任意x∈R,有x=0,则称R为2-扭自由σ-素环.设R为环,若对于任意x,y∈R,d为R上可加映射,满足d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d为导子.设R为环,θ为R上的自同构,若对于任意的x,y∈R,d为R上可加映射,有d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),称d为左(θ,θ)-导子.定义R的加性子环J,当对任意u∈J,r∈R时,有u°r∈J,则称J是R的Jordan理想,若满足σ(J)=J,则称J是σ-Jordan理想.

以下通篇提到的R都是2-扭自由σ-素环,且R上有中心Z(R).在R上的任意x,y定义Lie乘和Jordan乘，[x,y]=xy-yx;x°y=xy+yx.

2 研究方法及结果

引理1[1]:R为2-扭自由素环,J为R上非零Jordan理想,θ,φ为R上自同构,d为R上的(θ,φ)-导子,若d(J)=0,则d=0或者J⊆Z(R).

引理2[2]:R为2-扭自由σ-素环,J为R上非零σ-Jordan理想,d为R上导子,若d(J)=0,则d=0或者J⊆Z(R).

定理R为2-扭自由σ-素环,J为R上非零σ-Jordan理想,θ为R上的自同构,d为R上左(θ,θ)-导子,若d(J)=0,则d=0或J⊆Z(R).

证明: 取任意j∈J,r∈R,

知j°r∈J，由d(J)=0,有d(j°r)=0

d(j°r)=d(jr+rj)=θ(j)d(r)+θ(r)d(j)+θ(r)d(j)+θ(j)d(r)=2θ(j)d(r)=0,

因为R是2-扭自由的，有θ(j)d(r)=0

(1)

在上式(1)中用j°s换j，这里任意的s∈R

有

θ(j°s)d(r)=θ(j)θ(s)d(r)+θ(s)θ(j)d(r)=

θ(j)θ(s)d(r)=0,

由于θ为R上的自同构,s为R上的任意一个元素，固有θ(j)Rd(r)=0

(2)

又因为J为非零σ-Jordan理想,有J=σ(J),结合(2)有

θ(σ(j))Rd(r)=0=σ(θ(j))Rd(r)=

θ(j)Rd(r)

由R为σ-素环的定义可知，θ(j)=0或者d(r)=0.

由于j和r都分别是J和R的任意元素,即可知θ(j)=0或者d=0.

又因为θ为R上的自同构,即J=0,矛盾.

最后d=0在R上.

综上得出结论，d=0或J⊆Z(R).

3 结 语

全文研究了在2-扭自由σ-素环Jordan理想上左(θ,θ)-导子的性质.若d(J)=0,则d=0或J⊆Z(R).把Oukhtite和Aydin的研究推广到左(θ,θ)-导子.这对进一步研究是有帮助的.