基于低耗齿轮的大速比行星齿轮传动固有特性及振动分析

夏炀志强， 秦大同

(重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆 400044)

NGWN型行星齿轮，是一种大速比行星齿轮传动机构，能有效地缩短系统传动链，减少零部件数，并实现大传动比，在航空航天、兵器装备、机器人和工业传动等领域具有广泛的应用前景[1]。然而，该行星齿轮传动存在效率较低的问题。目前国内外已经有不少学者进行了相关的研究[2-4]。曹焕亚、卢存光等对其效率和传动比的计算公式进行了推导，发现在实现大传动比的同时，该系统的传动效率较低。Jonathon则证明了该行星齿轮传动的效率是传动比的函数，且当传动比很大时，系统的效率迅速降低。为提高效率，Hohn等[5-6]率先从设计的角度，尝试将低耗齿轮应用到该大速比行星齿轮传动中，通过缩短齿轮副啮合线的长度来减小啮合功率损失，获得了较为显著的效果，但由此带来的齿轮副重合度减小的问题，可能会对传动系统的动力学性能产生影响。因此有必要研究该类行星齿轮传动系统的振动问题。然而与大量研究2K-H型行星齿轮动力学特性的文献[7-9]相比，有关NGWN型行星轮系动力学特性的研究很少，宋轶民等[10]建立了NGWN(Ⅱ)型行星轮系的平移-扭转动力学模型，研究了传动系统的固有频率和典型的振动模式，但没有研究该传动可能产生的共振情况和传动系统的动力学响应特性。除此之外，尚未见到其它深入研究该类传动系统动力学性能的文献发表。

本文以NGWN(Ⅰ)型行星齿轮为研究对象，通过设计采用低耗齿轮来提高该行星齿轮传动的效率。然后基于低耗齿轮，在系杆随动坐标系下建立该系统的纯扭转动力学模型；通过求解特征值问题和动力学方程，分别获得了该系统的固有特性和共振转速，并根据二者之间的联系验证了采用纯扭转动力学模型的可行性。最后以振动烈度为评价指标，进一步分析了低耗齿轮的相关参数对该传动系统动力学特性的影响规律，获得了该传动实现较高效率和较低振动的设计参数选择范围。

1 低耗齿轮

1.1 低耗齿轮设计原理

Hohn等[11]指出齿轮啮合功率损失占齿轮传动系统总功率损失的绝大部分，因此齿轮啮合功率损失可以较为准确地反映齿轮传动系统的效率。单对齿轮的啮合效率可以表示为：

η=1-μmzHv

式中:μmz是啮合过程中的平均摩擦因数，与齿面粗糙度、齿轮配对材料等有关，参考相关文献[12-13]，本文取值为0.1；Hv是功率损失因数，由下式给出：

式中:ε1和ε2分别是齿轮副啮入、啮出重合度；Kv由齿轮基本参数决定，计算如下：

式中:对于外啮合取“+”，对于内啮合取“-”，i是大、小齿轮的齿数比，z1是小齿轮齿数。

齿轮副的端面重合度εα可表示为：

εα=ε1+ε2

因此，应尽可能减小齿轮副的端面重合度εα，并使啮入重合度与啮出重合度相等，从而得到功率损失因数的最小值。这就是低耗齿轮设计的原理。

1.2 低耗齿轮参数设计与应用

NGWN(Ι)型行星齿轮传动系统机构简图如图1所示，其中A为太阳轮，C、E为内齿圈，B、D为双联行星轮，H为行星架。

图1 NGWN(Ι)型行星轮系机构简图Fig.1 Diagram of mechanism of the NGWN(Ι) planetary gearing

NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动中各齿轮副的啮入重合度和啮出重合度可表示为：

式中，ε1,ab，ε1,bc和ε1,de分别表示各对应齿轮副的啮入重合度；ε2,ab，ε2,bc和ε2,de分别表示各对应齿轮副的啮出重合度；αab，αbc和αde分别表示对应齿轮副的啮合角；αa, j(j=a,b,c,d,e)表示齿轮j齿顶圆的压力角。

显然，齿顶圆压力角与齿顶圆直径相关，而齿顶圆直径又与齿顶高系数以及变位系数密切相关。因此，通过同时调整轮齿的变位系数和齿顶高系数，来使得各齿轮副的啮入重合度与啮出重合度相等是可行的。考虑到齿轮的齿顶高系数与齿轮的强度密切相关，本文定义了如下的优化函数：

依据啮合功率法的思路，NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动的效率计算公式如下：

式中:ηab、ηbc、ηed分别为单对齿轮副的啮合效率，可由前面的效率公式计算；iac、iec、iea分别为传动比参数，计算公式如下：

iac=-zc/zaiec=zdzc/zezbiea=(za+zc)zbze/(zazbze-zazczd)

为简化计算过程，并通过单变量原则来研究低耗齿轮重合度对传动系统效率的影响，本文在这里仅将两对内啮合齿轮副设计成重合度相等的低耗齿轮副，而外啮合齿轮副，则根据设计计算的需要，将其重合度设定为较小的常值(εab=1.20)。以低耗齿轮副重合度εbc=εde=1.25为例，效率优化后，各基本参数如表1所示。

表1 优化后NGWN(Ι)型行星齿轮的基本参数

经过轮齿参数优化之后，NGWN(Ⅰ)型行星齿轮的传动效率随内啮合齿轮重合度变化的曲线如图2所示。

图2 效率随内啮合齿轮重合度变化的曲线Fig.2 Efficiency vs. contact ratio of internal gear pair

2 纯扭转动力学模型

为提高NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动的效率，将低耗齿轮的设计参数引入到该传动系统。为简化计算模型，将NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动简化为集中参数系统，支承、轮齿被简化为弹簧，齿轮轮体及系杆被视为刚体，此外仅考虑各构件的扭转振动，不计阻尼及齿侧间隙的影响。为便于描述该传动系统中各构件的相对运动关系，本文采用系杆随动坐标系，即定义参考系的坐标原点为系杆的几何形心，且该坐标系以系杆的理想转速随系杆做匀速转动。基于以上考虑，NGWN(Ι)型行星齿轮传动系统纯扭转动力学模型如图3所示。

图3 NGWN(Ι)型行星轮系纯扭转动力学模型Fig.3 Rotational dynamic model of the NGWN(Ι) planetary gearing

图3中，OXY为固定坐标系；Oxy为系杆随动参考坐标系，其坐标原点O为系杆的理论安装中心，且设定该坐标系以系杆的理想角速度绕系杆的理论安装中心匀速转动；坐标系Obnybnxbn和Odnydnxdn分别为双联行星轮B、D的坐标系，同样也随行星架等速旋转，其原点分别位于第n个双联行星轮B,D的理论中心，两坐标轴与Oxy的两坐标系分别平行。其他参数含义为：θi为由于系统振动而使构件i产生的角位移，在行星架动坐标系中度量，其中i=a,c,e,h,bn,dn，取ui=riθi。式中，ri为各齿轮的基圆半径，对行星架则为行星轮中心分布圆的半径。ui为由振动而产生的角位移折算到圆周上的线位移。φn为第n个行星轮理论中心到行星架理论中心的连线OObn与坐标轴X方向的夹角：

φn=2π(n-1)/N,n=1,2,…,N

式中：kit为中心构件的切向支承刚度，其中i=a,c,e,h。kabn、kcbn、kedn为各齿轮副的时变啮合刚度，由石川公式[14]计算得到，展开为傅里叶级数并略去高阶得：

式中：A0为常值;An为每阶分量的幅值;φn为每阶分量的初相位;ω0为啮频。

2.1 齿轮副之间相对位移分析

NGWN(Ι)型行星轮系中各齿轮间的相对位移关系如图4所示。αab为太阳轮与行星轮之间的啮合角；αcb为内齿圈C与行星轮之间的啮合角；αed为内齿圈E与行星轮之间的啮合角；Fabn、Fcbn、Fedn分别为行星轮受到的啮合力，其正方向如图所示。

将各齿轮之间的相对位移沿啮合线正方向投影，则有以下位移方程：

(1)太阳轮相对于第n个行星轮的位移沿外啮合线方向的投影:

δabn=ua-uhcosαab+ubn

(2)内齿圈C相对于第n个行星轮的位移沿内啮合线方向的投影:

δcbn=uc-uhcosαcb-ubn

(3)内齿圈E相对于第n个行星轮的位移沿内啮合线方向的投影:

δedn=ue-uhcosαed-udn

图4 各齿轮之间的相对位移示意图Fig.4 The displacement relationship between gears

2.2 传动系统运动微分方程

该传动系统中，内齿圈C为固定端，太阳轮A为输入端，内齿圈E为输出端。设输入扭矩为Ta，负载为Te；行星架H,内齿圈C,E，太阳轮A和双联行星轮B,D的转动惯量分别为Ih，Ic，Ie，Ia，Ibn，Idn；各行星轮的质量均为mn。依据牛顿第二定律可建立系统的运动微分方程：

式中:Ks0为双联行星轮之间传动轴的扭转刚度，可表示为

式中：Ip为极惯性矩;G为剪切模量;ls为轴长。

将运动微分方程整理成矩阵形式，可得NGWN(Ι)型行星齿轮传动系统矩阵形式的弹性动力学方程如下：

式中:q为系统广义坐标：

q=[uhucueuaubnudn]T

式中：M为质量矩阵;Km为刚度矩阵;T为激励力矩阵。

3 大速比行星齿轮传动固有特性分析

大速比行星齿轮传动的固有特性分析包括系统固有频率和振型向量的求解与分析。由前面的动力学矩阵方程所对应的特征值方程如下：

式中：ωi和φi分别为系统的第i阶固有频率和振型向量；M为质量矩阵，Km0为平均刚度矩阵。

以表2所示的NGWN(Ι)型行星轮系为例，对其进行固有特性分析。表3给出了具有不同行星轮数的NGWN(Ι)型行星齿轮传动的各阶固有频率和重根数。

表2 NGWN(Ι)型行星轮系基本参数

分析表3中数据可知，该传动系统只有两种重根数，且固有频率与重根数之间具有某种相关性。表中共有六阶单根的固有频率，其中零频代表系统的刚体运动；低阶非零的单根固有频率随着行星轮个数的增加而有增有减，高阶的单根固有频率随着行星轮个数的增加而增加。此外，当重根数为N-1时，系统的固有频率值与行星轮个数无关。进一步计算可获得传动系统各阶固有频率所对应的振型。在此，以行星轮个数N=3为例(后续的计算亦是如此)，给出系统几阶固有频率对应的振型坐标，如表4所示。

由表4中振型坐标的特点可以看出，二重根固有频率对应的振型中，中心构件没有振动，只有行星轮在振动，且振型中各分量的代数和为零，表现为行星轮振动模式；单根固有频率对应的振型中，各中心构件均作扭转振动，且同一级各行星轮的振动状态完全相同，表现为扭转振动模式。

表3 NGWN(Ι)型行星轮系的固有频率

表4 NGWN(Ι)型行星轮系的各阶振型

4 大速比行星齿轮传动动力学研究

4.1 大速比行星齿轮传动的共振转速

前面研究了含低耗齿轮的NGWN(Ι)型行星轮系的固有特性，并计算了系统的固有频率。接下来对该传动系统的共振转速做深入分析。具体为：输入扭矩Ta=1 909.8 N·m，负载Te=47.666 7Ta，在1 000～5 000 r/min以内，将该行星齿轮传动系统的输入转速均匀离散开，代入振动方程，然后分别求取不同转速下各齿轮副之间的动态啮合力，以输入转速n=1 500 r/min为例，各齿轮副之间的动态啮合力如图5所示。

图5 各齿轮副动态啮合力Fig.5 Dynamic force of each gear pair

再利用下式可求出动载系数：

Kv=Fδmax/Ft

式中:Ft为静态负载在啮合副间产生的圆周力；Fδmax为齿轮副的最大动态啮合力。关于齿轮副的动态啮合力Fδ，可按如下计算：

Fδ=ktδ

式中:kt为啮合副间的时变啮合刚度；δ为一对啮合副沿啮合线方向的相对位移。

传动系统中各齿轮副的动载系数随转速变化的曲线如图6所示。由图6可以看出，三组齿轮副的动载系数，在四个转速下都出现了明显的峰值，即产生了共振，由此可以认定这四个转速即为系统的共振转速：

n1=1 750 r/min,n2=2 125 r/min

n3=3 500 r/min,n4=4 250 r/min

大速比行星轮系共有两级啮频(即为齿轮啮合的频率)。在转速为n1和n3时，第一级啮频分别为：

在转速为n2和n4时，第二级啮频为：

对比表2可知，通过共振转速计算的啮频与系统固有频率十分接近。因此，本文建立的纯扭转模型能够较好地反映出系统的固有特性与动态特性。

图6 动载系数随输入转速的变化曲线Fig.6 Coefficient of dynamic load vs. input speed

4.2 低耗齿轮参数对系统振动的影响

由效率曲线可知，传动系统的效率随低耗齿轮重合度的减小而增大。然而，过小的重合度可能又会对系统的振动产生影响。因此，有必要从传动效率和振动这两个方面，去寻求低耗齿轮重合度的合理范围。具体为：以低耗齿轮重合度的大小作为变量，将相关设计参数(齿顶高系数、变位系数)所对应的时变啮合刚度，代入到前面所建立的纯扭转动力学方程中，然后分别求得不同重合度下各构件的振动速度响应。以低耗齿轮重合度εα=1.40为例，计算的各构件振动速度响应曲线如图7所示。

图7 各构件振动速度曲线图Fig.7 Vibration velocity of each component

再以国际标准中常用的振动烈度(即振动速度的均方根值)作为衡量振动强度的指标。最终计算出的系统中各构件振动烈度随低耗齿轮重合度的变化曲线如图8所示。

图8 振动烈度随低耗齿轮重合度变化的曲线Fig.8 Vibration severity vs. contact ratio of low-loss gear pair

在图8中，虚线以下的部分为可允许的振动烈度区域(0～4.5 mm/s)。如果振动烈度值超过了允许范围的上限，则认为该系统的振动情况较差。由图1和图8可以得出结论：低耗齿轮重合度的合理区间取为1.3～1.5，这个区间范围既保证传动系统具有较高的效率(超过92.5%)，又使得其振动烈度值较小(低于4.5 mm/s)。

5 结 论

本文首先针对NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动设计并应用了低耗齿轮，使得该传动系统的效率得到了提高；然后在采用低耗齿轮设计参数基础上，建立了NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动系统的纯扭转动力学模型，分析了该行星轮系的固有特性以及不同转速下的振动情况；最后深入分析了采用低耗齿轮的NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动系统的动力学特性。具体结论有：

(1)对NGWN(Ⅰ)型行星齿轮的内啮合齿轮副进行了低耗齿轮设计，获得了传动系统效率随低耗齿轮重合度变化的曲线。结果表明，采用低耗齿轮是提高传动效率的有效途径。

(2)采用低耗齿轮的NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动纯扭转模型具有两种典型的振动模式：扭转振动模式和行星轮振动模式。

(3)研究了采用低耗齿轮的NGWN(Ⅰ)型行星齿轮传动的共振转速，得到的系统动态响应情况与固有频率所对应的分析结果十分吻合。

(4)深入研究了传动系统中各构件的振动烈度随低耗齿轮重合度的变化。并结合效率曲线分析，确定了低耗齿轮重合度的合理设计区间为1.3～1.5。在这个区间范围内，系统的传动效率较高，且振动烈度值较小。

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