缠绕式多点提升系统钢丝绳变形失谐动力学分析

吴水源， 龚宪生， 罗宇驰， 李晓光

(1. 重庆大学 机械传动国家重点实验室, 重庆 400044； 2. 重庆大学 机械工程学院, 重庆 400044)

世界经济和社会发展对矿产资源的需求日益增加，我国现在正在转向地球的深部开采，开采井深深度将达到1 500 m以上的超深井。目前，我国矿井提升装备主要采用的单绳缠绕式提升机和摩擦式提升机，均不能满足超深井提升的需要[1]。多层缠绕多点提升组合拓扑结构有望成为超深井提升装备的有效型式，如图1所示。

图1 缠绕式多点提升系统Fig.1 Multi-point winding hoisting system

与传统矿井提升装备的不同在于：1个卷筒上分为两个或多个绳区，两根或多根钢丝绳分别多层缠绕于各绳区上，并通过天轮来同步高速提升重载。由于多绳拓扑提升较为复杂，故首先对双绳提升进行研究。在高速重载提升过程中，由于钢丝绳物理性能的差异、动态变形，层间和圈间过渡影响，缠绕半径差异引起的缠绕误差等等因素，两根钢丝绳会出现长度差异，长度差会引起两根钢丝绳间出现张力差，这种差异本文定义为“双绳间提升钢丝绳变形失谐”，简称“钢丝绳变形失谐”。钢丝绳变形失谐会造成钢丝绳间运动不同步，导致钢丝绳间张力差急剧加大，对提升系统造成大幅振荡，影响提升钢丝绳的使用寿命和安全性。张力差超过一定值时其中一根钢丝绳会断绳，引起坠罐，造成机毁人亡等安全事故发生。

国内外学者对提升机系统钢丝绳在提升过程中纵向、横向振动问题做了一定研究。Kaczmarczyk等[2-3]通过Hamilton原理对缠绕提升系统进行数学建模并建立振动微分方程，对深井提升系统钢丝绳振动现象进行了研究；邵杏国[4]在非光滑动力学理论框架下建立吊盘稳车机构的动力学模型，并进行了数值求解；吴仁愿等[5]采用瑞利法对曳引绳质量进行处理，建立了曳引电梯机械系统7自由度动力学模型，得出了电梯系统轿厢及对重动态特性的变化规律；严世榕等[6]对提升系统下放时钢丝绳的变形规律和张力变化进行了仿真，研究了变刚度变质量系统对钢丝绳的影响；寇保福等[7]结合Kevin黏弹性模型，建立了柔性提升系统钢丝绳横向振动的控制方程，分析了横向振动振幅与测点位置和提升高度的关系；吴娟等[8]将平衡钢丝绳质量等效在提升容器上，利用连续弹性体思想建立摩擦提升钢丝绳横向振动方程，分析了不同运行阶段钢丝绳横向振动规律及刚度、阻尼对横向振动的影响；Zhu等[15]研究了一端有附加质量的变长度运动弦线横向振动的稳定性。但是国内外关于超深矿井提升装备多绳缠绕提升系统钢丝绳之间变形失谐方面研究的文献较少。

为了对缠绕式多点提升钢丝绳张力系统变形失谐机理进行研究，本文拟建立缠绕式多点提升系统纵向振动数学模型，并对模型进行数值求解，得到提升容器纵向振动速度、加速度变化规律和钢丝绳张力、钢丝绳间张力差随缠绕半径误差变化规律，并运用软件进行仿真对比，为控制多点提升系统钢丝绳之间变形失谐提供理论参考。

1 多点提升系统纵向振动模型建立

针对模型建立有如下假设：

1) 钢丝绳简化为具有分布质量的线弹性体；

2) 钢丝绳变形符合虎克定律，其弹性模量沿钢丝绳全长是不变的；

3) 钢丝绳横向振动较纵向振动影响小，可忽略不计；

4) 不考虑钢丝绳扭转运动影响；

5) 罐道为刚性罐道，在提升系统运行过程中不发生变形；

设多点提升系统广义坐标为qi=[φ,x,y,θ]T，且是有阻尼系统，所以多点提升系统拉格朗日方程为：

式中：T,D和U分别为系统的动能、耗散能和势能。qi和Qi分别为第i个坐标的广义位移和广义力。

系统的动能包括钢丝绳、提升容器和卷筒的动能。对于钢丝绳的动能，本文采用瑞利法进行处理：假设钢丝绳的变形沿绳向是均匀的，如图3所示。

图2 多点提升系统纵向振动模型Fig.2 Vibration model of the multi-point hoisting system

图3 瑞利法Fig.3 Rayleigh method

根据瑞利法，振动时u1=u1(y)的关系与其在静变形时的关系相同，则钢丝绳任一点位移为：

式中：u1为1#钢丝绳坐标为y处点的位移；则l1段钢丝绳动能为：

同理得到l2段钢丝绳动能：

系统动能为：

对于系统耗散能和势能，可先得出罐道罐耳处弹簧的伸缩量：Δks=y±bθ。

系统耗散能为：

取罐笼质心位于井底静平衡时且平行于面所在平面为零势能面，则系统势能为：

这样，可以将上述结果代入拉格朗日方程并略去高阶项，列出四个方程分别为：

对φ列方程为

(1)

对x列方程为

(k1r1+k2r2)φ+(k1+k2)x+(k1-k2)aθ+mg=0

(2)

对y列方程：

(3)

对θ列方程为

(4)

现在采用状态方程的解法对上述4个方程联立的方程组进行求解。将二阶微分方程降为一阶，令：

分别代入上述4个方程重新得到4个方程，并将得到的新的4个方程用矩阵形式表示：

2 数值计算

式中,Φ(t,t0)为上式对应的齐次微分方程组t0到t时刻的状态转移矩阵[13]。本文采用数值计算的方法对此微分方程进行求解。具体是采用调用4个子函数的方法并运用Matlab中微分方程数值求解函数ode45进行求解。在进行数值计算之前，首先给出实验提升系统的相关参数和运动变化规律。提升系统相关参数表,见表1。

实验提升系统运动规律：

为便于计算两钢丝绳绳长，采取控制角速度的方式控制提升系统的运行。卷筒运动规律,如图4所示。

钢丝绳l1、l2不同时刻长度为：

表1 实验提升系统相关参数

图4 卷筒角速度随时间变化曲线Fig.4 Drum’s angular velocity curve over time

t>t3:l1=l0-r1βt1t2

l2=l0-r2βt1t2

3 仿真分析

运行主函数并对数据进行处理，可以得到提升容器纵向运动速度、加速度变化以及钢丝绳间绳长差和张力差变化，如图5所示。

式中：E为钢丝绳弹性模量(pa)；A为钢丝绳截面积(m2)；H为两根钢丝绳初始长度(m)；钢丝绳R为卷筒绳槽的平均半径；ΔR为卷筒某个绳槽半径和平均半径的差值(m)。

由上面仿真结果，可以分析得到以下结论：①对应于匀速提升阶段，提升容器纵向运动速度在0.30～0.36 m/s内波动，且由于阻尼的衰减作用，其波动幅值逐渐减小；② 提升容器加速度呈四段波动变化，且在起始加速和制动减速时加速度幅值有明显突变，最大达到幅值1.5 m/s2，说明控制提升系统运行曲线对减小系统冲击有重要作用；同时随着钢丝绳在卷筒上的缠绕，钢丝绳长度缩短，其等效刚度增大，振动频率升高，钢丝绳振荡加剧；③由于存在缠绕半径误差，两钢丝绳长度之差不断增大，当误差为1 mm时，最终绳长差为3.6 mm，张力差达到657 N。

(a)提升容器运动速度

(b)提升容器运动加速度

(c)钢丝绳间绳长差

(d)钢丝绳间张力差图5 提升容器纵向运动速度、加速度和钢丝绳间绳长差、张力差随时间变化曲线Fig.5 The hoisting conveyance’s vertical velocity, acceleration and ropes’ length difference and tension difference curves over time

下面分别对整个提升系统进行静力学和动力学仿真，并观察在变形失谐情况下提升系统速度、加速度和钢丝绳张力差变化情况。

4 软件静力学仿真模型建立

软件建模思路：提升机模型主要部件为钢丝绳、天轮、卷筒、罐笼、罐道、罐耳，其中建模最不易实现的是钢丝绳。虽然钢丝绳部件看似简单，但是用软件对其模拟时却存在一定的困难。钢丝绳的力学特性往往较为复杂，通常是通过细长的钢丝螺旋缠绕在一起形成的，工作时在其上施加拉力，除了材料自身的拉力作用外，各钢丝之间的外表面还有摩擦力的作用；并且在模拟钢丝绳的变形状态时，如弯转、缠绕等，往往使用离散元的思想，将整条钢丝绳离散成多个小段，在各个小段之间定义约束或柔性连接。如图6为建立的提升系统静张力模型。

图6 提升系统静张力模型Fig.6 Static tension model of hoisting system

5 仿真结果分析

为研究不同钢丝绳绳长差对两钢丝绳张力差的影响，分别计算出了绳长差为1.3 mm、2.0 mm、2.6 mm、3.0 mm、3.4 mm、3.7 mm、4.1 mm、4.4 mm、4.8 mm九个数据下两钢丝绳末端张力、顶端张力及张力差。计算数据，见表2。

表2 静张力和静张力差数据

计算两钢丝绳张力差并绘制直观图形如图7所示。

(a)钢丝绳间张力差

(b)钢丝绳间张力差比值图7 钢丝绳间张力差随绳长差变化关系Fig.7 Relationship between ropes’ tension difference and length difference

通过对图7研究分析可以得到：① 钢丝绳在末端(与罐笼连接处)之间的静张力差和顶端(天轮处)之间的静张力差是一致的；② 对于建立的提升高度为43 m、钢丝绳直径为10 mm的提升模型，钢丝绳之间张力差比值大致分别在Δl=3.2 mm和Δl=4.5 mm处达到5%和10%。

6 软件动力学仿真模型建立

在钢丝绳变形失谐张力系统模型中，可以仅考虑钢丝绳的纵向振动特性，而忽略钢丝绳的扭转和横向振动特性。同时为了进一步完整地对整个张力系统模型进行仿真，采取不考虑卷筒上钢丝绳多层缠绕对提升系统的影响，从而以一种简化卷筒的方式建立包括卷筒、天轮、钢丝绳、罐道罐耳及其接触的系统模型。最后通过控制两个卷筒缠绕半径之差达到控制两根钢丝绳长度不一致，进而模拟提升系统出现变形失谐的情况。模型建立如图8所示，钢丝绳被离散为由广义力耦合成的质量球，每个球体之间用力SFORCE连接，SFORCE表示每一对质量单元之间作用力。SFORCE[9]表达式如下所示：

SFORCE/0102,J=2,FUNCTION=-EA/(L0+ΔL)*[DM(1,2)-(L0+ΔL)]-C*VR(1,2)

式中：L0表示钢丝绳的初始长度，ΔL表示钢丝长度变化，C是钢丝绳的阻尼系数。DM和VR分别表示两质量球的距离和相对速度。离散质量球模型每根钢丝绳质量球为586个，质量球之间刚度为EA/(L0+ΔL) ，提升系统动力学模型,见图8。

图8 提升系统动张力模型Fig.8 Dynamic tension model of hoisting system

7 仿真结果分析

设定ADAMS求解校正器为Original，使其收敛性判定相对较为严格。

设定卷筒角速度：0～0.5 s加速上升到0.9 rad/s(相当于悬绳线速度360 mm/s)，0.5～4 s保持匀速，4～4.5 s减速到0 m/s，整个提升过程为5 s。

通过对照图9和图5提升容器速度和加速度变化曲线，可发现计算结果曲线基本吻合，验证了所建立数学模型的有效性和仿真模型的合理性。同时可以发现曲线不完全一致，主要原因是：在匀速阶段，数值计算忽略了钢丝绳转动惯量，所以计算得到提升容器运动速度比动力学软件仿真所得到结果小。同时，由于在数值计算时考虑了钢丝绳阻尼特性，所以在匀速阶段数值计算的提升容器加速度振动振幅会出现衰减，而动力学软件仿真所得到曲线则不会。

通过对图9张力随时间变化曲线分析可以得到，对应于加速、匀速、减速和停车阶段，钢丝绳张力呈现四段波动变化且加速减速阶段波动幅值较大。在加速阶段，钢丝绳张力峰值达到9 440 N，而在匀速阶段钢丝绳平均张力为8 375 N，可见加速阶段钢丝绳最大张力超过匀速阶段钢丝绳平均张力12.7%；在减速阶段张力最低达到7 090 N，较匀速阶段钢丝绳平均张力降低了15.3%；在停车阶段，钢丝绳张力基本在匀速阶段平均张力处上下波动且波动幅度较小。另外应当指出的是，在匀速阶段钢丝绳张力幅值是逐渐减小的，这是由于悬垂绳长减小引起钢丝绳等效刚度(K=EA/L(t)，K为钢丝绳等效刚度，A为钢丝绳横截面积，L(t)为钢丝绳长度)变大引起的；同样，在加速和减速阶段钢丝绳张力的幅值由于悬垂绳长减小引起等效刚度变大也是逐渐减小。

(a)提升容器纵向运动速度

(b)提升容器纵向运动加速度

(c)提升钢丝绳张力

(d)提升钢丝绳间张力差图9 提升容器纵向运动速度、加速度和钢丝绳张力、钢丝绳间张力差随时间变化曲线Fig.9 The hoisting conveyance’s vertical velocity, acceleration and ropes’ tension, tension difference curves over time

通过对图9张力差和绳长差随时间变化曲线分析可以得到，由于卷筒缠绕半径误差，钢丝绳张力差变化伴随绳长差变化较为明显：当绳长差(线1)达到3.0 mm时，张力差(线2)达到平均张力的5%；当绳长差达到4.2 mm时，张力差达到平均张力的10%，说明由于卷筒缠绕误差带来的钢丝绳变形失谐对钢丝绳张力差会造成显著的影响。

8 结 论

(1)采用瑞利法对钢丝绳质量进行处理并将其等效为刚度随绳长变化且具有一定阻尼的黏弹性体，建立了多点提升系统纵向振动方程。

(2)采用Matlab中ode45函数对转换的一阶线性微分方程求解，分析得到了多点提升系统加速度响应，其位于0～1.5 m/s2内波动且呈现四段明显波动变化，且当缠绕半径误差为1 mm时，最终绳长差为3.6 mm，张力差达到657 N，达平均张力8.4%。

(3)运用离散化方法将钢丝绳离散为用广义力耦合成的质量球，建立提升系统动力学仿真模型，并发得到仿真提升容器速度和加速度曲线和数值计算结果基本吻合，验证了所建立数学模型的有效性。

(4)通过对仿真结果进行研究：钢丝绳静张力差在绳长差为3.2 mm和4.5 mm达到平均张力的5%和10%；而动张力差在3.0 mm和4.2 mm时达到平均张力的5%和10%，说明钢丝绳变形失谐对张力差具有较大影响。

以上研究及其成果对于在多钢丝绳的多点提升组合拓扑结构中控制钢丝绳变形失谐进而控制钢丝绳张力差，提高超深井钢丝绳的安全性具有参考价值。

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