基于非线性能量俘获机制的直驱浮子式波浪能发电装置研究

肖晓龙， 肖龙飞,2， 李 扬

(1.上海交通大学 海洋工程国家重点实验室, 上海 200240；2.高新船舶与深海开发装备协同创新中心, 上海 200240)

在众多波浪能发电装置中，振荡浮子式波浪能发电装置是目前发展较好的装置[1]，而采用直线发电机的振荡浮子式波浪能发电装置减少了能量转换的中间环节，发电效率更高， 同时降低了装置的复杂性，且便于维护[2]。当前对直驱振荡浮子式波浪能发电装置能量俘获机制的研究主要集中在线性领域[3-5]，把能量输出系统简化为一个直线发电机和一个连接弹簧，浮子随着波浪起伏上下运动，从而带动直线发电机的动子切割磁感线产生电流，实现将波浪能转化为电能。对于带有线性能量俘获机制的直驱振荡浮子式波浪能发电装置，只有当入射波频率与装置固有频率相等时，俘获的能量最多，当入射波频率偏离装置固有频率时，俘获的能量就大幅度降低，特别是波浪响应谱比较窄的情况[6]。

为改善能量俘获特性，可考虑将非线性能量俘获机制应用于直驱浮子式波浪能发电装置。非线性能量俘获机制最先应用在机械振动领域而不是波浪能发电方面,Mann等[7]提出一种振动能量俘获机制，即在一个中心磁铁的上下和四周放置周围磁铁，磁铁间的作用力使系统形成负刚度，且势能位移图呈现双阱特性，理论和实验都表明双阱间全局运动能显著提高低频振动能量的俘获。鉴于海上可利用波浪频率通常较低，本文将该非线性能量俘获机制改进后应用在直驱振荡浮子式波浪能发电装置上，以改善发电装置的能量俘获特性，提高能量俘获效率，拓宽能量俘获频谱带宽。

1 物理模型

线性直驱振荡浮子式波浪能发电装置，以及所提出的非线性装置的示意图分别如图1(a)和(b)。直驱浮子式波浪能发电装置由浮子、能量输出系统、垂荡板和锚泊线组成。线性能量输出系统包含直线发电机和连接弹簧，直线发电机由定子和动子构成，定子上有感应线圈绕组，动子是一根裹着永磁体的轴。非线性能量输出系统与线性系统相似，但在直线发电机的周围增加了周围磁铁，文中周围磁铁数取N=4。由于垂荡板运动很小，假定其静止水中[8]，因此垂荡板和锚泊线使能量输出系统稳定在水中，直线发电机完全由振荡浮子的垂荡运动驱动，浮子带动发电机的动子上下运动，永磁动子运动时磁场将切割定子中绕组，从而在绕组中感应出电流。

图1 线性和非线性波浪能发电装置示意图Fig.1 Schematic of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

直线发电机的动子和定子相互感应，由法拉第电磁感应定律可推导出定子线圈中的感应电流公式：

(1)

Fc=γI

(2)

(3)

(4)

(5)

依据方程式(4)和式(5)将直线发电机用阻尼替代，建立线性和非线性直驱发电装置简化物理模型，分别如图2(a)和(b)所示。图中：m为浮子质量；K为能量输出系统弹簧刚度；Fm为周围磁铁对中心磁铁的作用力：

(6)

式中：μ0为真空磁导率；Mc为中心磁铁磁化强度；Vc为中心磁铁体积；Mo为周围磁铁磁化强度；Vo为周围磁铁体积；r0为中心磁铁到周围磁铁距离；z为动子上下运动，也是浮子垂荡运动。

图2 线性和非线性波浪能发电装置简化物理模型Fig. 2 Physical models of WECs with linear and nonlinear PTO systems.

2 参数选取

在40～100 m水深范围内，波浪的幅值较大，是布置波浪能发电装置的理想水深范围，水深太浅波浪衰减过快，水深太深不利于装置的安装[10]。本文取水深为h=50 m。圆柱形振荡浮子直径D=1 m，吃水d=5 m，用三维势流软件SESAM计算浮子的垂荡水动力参数。

为对比分析非线性装置的效果，最佳刚度系数和发电机阻尼参数的选取依据让线性装置获得最大俘获能量来确定，并用于之后线性和非线性装置的计算。要使发电装置从波浪能中俘获的功率P达到最大，最佳阻尼和弹簧刚度系数必须满足[11]:

(7)

由式(7)得出最佳刚度为负数，与实际不符合。弹簧刚度系数的选取与能量俘获效率及浮子的稳定性有关，根据Vicente等[12]研究，将弹簧刚度系数取为浮子静水恢复力系数的10%左右，即K=0.1rgS。由式(7)可得最佳发电机阻尼为:

(8)

式中：ρ为水的密度；g为重力加速度；S为浮子截面面积；A(ω)为浮子附加质量；ω为波浪频率。根据式(8)可计算出不同波浪频率下的最佳发电机阻尼，如表1。

表1 不同波浪频率下的最佳发电机阻尼

3 非线性能量俘获机制

非线性能量俘获机制示意图如图3所示，图3(a)显示了不稳定平衡状态，图3(b)和(c)分别显示弹簧压缩和拉伸时的稳定平衡状态。

图3 非线性能量俘获机制示意图Fig.3 Schematic of the bistable impulsive mechanism.

弹簧和磁力在垂向上的合力为：

(9)

令F=0, 可得到三个临界平衡位置ze1=-ze3及ze2=0。其中,ze1是负的稳定平衡位置,ze3是正的稳定平衡位置，ze2是不稳定平衡位置。将中心磁铁至周围磁铁的距离取为r0=ze3，磁铁参数可由ze3和K决定:

(10)

将方程式(10)代入方程式(9)，可得：

(11)

对方程(11)求导可得到能量输出系统的等效刚度为：

(12)

图4给出了线性装置和具有不同稳定平衡位置的非线性装置的能量输出系统垂向力F与垂荡位移z的关系，以及能量输出系统等效刚度KPTO与垂荡位移z的关系。可见，对线性能量输出系统，其等效刚度恒为正值，即弹簧恢复力与垂荡的方向相反；但对非线性的能量输出系统，在两个稳定平衡位置ze1、ze3之间存在一个位移区，使得弹簧力与磁铁力的合力与垂荡运动方向相同，即产生负刚度，且稳定位置ze3越大，能量输出系统产生负刚度区域的范围越大。

图4 线性装置和不同稳定平衡位置的非线性装置Fig.4 F as a function of z and KPTO as a function offor linear and nonlinear WECs with different values of ze3.

能量输出系统势能与垂荡位移的关系为

(13)

图5给出了线性装置和不同稳定平衡位置的非线性装置的能量输出系统势能位移图。相比于线性装置位移势能图的单阱，非线性能量俘获机制的势能图具有双阱特性。在三个临界平衡位置中，ze1和ze3是稳定的，ze2是不稳定的，因此该系统可能有两种形式的运动：阱内局部运动和阱间全局运动。阱内局部运动是由于外界激励太小，导致系统无法跨越势能屏障，当外界激励大到足够跨越势能屏障，振动从一个稳定平衡位置可以跨越到另一个稳定平衡位置，阱间全局运动产生。Tang等[13]研究表明，全局运动可以显著改善对振动能量的俘获。

图5 线性装置和不同稳定平衡位置的非线性装置-关系图Fig.5 Ep as a function of z for linear and nonlinear WECs with different values of ze3

4 不规则波响应

采用第17届ITTC会议推荐JONSWAP谱来生成随机不规则波时历，谱的数学表达式为

(14)

式中：H1/3为有义波高；Tp为谱峰周期；γ为谱峰因子, 文中取3.3；σ为谱峰形状参数，当ω≤ωp时σ=0.07，当ω>ωp时σ=0.09，其中谱峰频率ωp=2π/Tp。

(15)

对圆柱形振荡浮子等轴对称浮体，幅值响应函数可写为：

(16)

式中：

(17)

式中：k为波数；Bz(ω)为辐射阻尼，φi为波浪激励力的相位，θi为区间(0,2π)之间的随机数。

线性波浪能发电装置在不规则波中垂荡运动的时域方程为：

(18)

式中：A(∞)为ω→∞时的附加质量；Fe为波浪激励力；卷积项代表流体的记忆效应，kz被称为延迟函数，其表达式为：

(19)

将[0,t]划分为n份，t=nΔτ，方程(18)中卷积项可利用梯形法进行离散[14]求解：

(20)

非线性波浪能发电装置在不规则波中的垂荡运动方程为：

(21)

将方程式(6)和式(20)代入时域方程(21)，得：

(22)

(23)

或：

(24)

该方程作为一阶微分方程组，可以用四阶龙格库塔法数值求解,从而得到发电装置的垂荡运动和速度。

由方程式(5)，在[0,t]时间内波浪能发电装置俘获波浪能的平均功率为：

(25)

5 结果与分析

不规则波计算时长为2 000 s，平均俘获功率的计算时间取后1 000 s，不规则波的有义波高取H1/3=1 m。不同谱峰频率时，发电机阻尼依据表1选取。针对不同的谱峰频率ωp和稳定平衡位置ze3(分别取值0.1 m, 0.4 m, 0.7 m, 1.0 m, 1.3 m, 1.6 m)，得到线性和非线性波浪能发电装置的平均能量俘获频谱，如图6(a)，以及非线性装置与线性装置的俘获能量比，如图6(b)。

图6 非线性和线性装置在不规则波中Fig.6 Power obtained by nonlinear and linear WEC

由图6(a)可见，对线性波浪能发电装置，当不规则波谱峰频率接近装置的固有频率(1.42 rad/s)时，平均俘获波浪功率最大，偏离装置固有频率时，俘获功率减小；对非线性装置，随着稳定平衡位置的增大，最大平均能量俘获(平均能量俘获频谱最高点)对应的谱峰频率逐渐减小，且都低于装置固有频率。由图6(a)及(b)可见，当稳定平衡位置ze3=1 m时，即负刚度区域较小，周围磁铁影响较弱，非线性装置平均能量俘获与线性装置差别不大。随着稳定平衡位置的增大，非线性装置在不规则波谱峰频率比较低时，能量俘获比线性装置大很多，但当不规则波谱峰频率大于装置固有频率以后，非线性装置的能量俘获比线性装置小。当稳定平衡位置继续增大，非线性装置的能量俘获开始减小，但是在低频阶段仍然比线性装置的俘获能量大。

为进一步分析线性和非线性装置能量俘获差异的机理，以线性装置和稳定平衡位置ze3=1.0 m的非线性装置为例,考虑谱峰频率分别为ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不规则波，即分别对应图6(a)中A，B，C，D四点，求解其运动响应和瞬时功率。图7给出了线性和非线性装置在不规则波中的运动响应和瞬时功率时历。

图7 线性和非线性装置在不规则波中的运动响应和瞬时功率(自上而下分别为位移、速度、相位和瞬时功率时历图，其中蓝色直线代表平均功率)
Fig.7 Motion response and instantaneous power (Displacement-time response, velocity-time response, phase portrait and instantaneous power from upper to lower of the figure，the blue line represents the corresponding averaged power)for.

由图7(a)和(c)可见，由于线性装置势能位移图是单阱的，只有一个稳定平衡位置z=0 m，因此无论外界能量大或者小，线性装置位移均在z=0 m附近振动。由图7(b)可见，当ωp=0.75 rad/s时，非线性装置运动为全局运动，此时能量较大足以跨越势能屏障，振动从一个势能阱跳跃到另一个阱，因此俘获的能量较大；而图7(d)可见，当ωp=2.0 rad/s时，非线性装置运动为局部运动，此时外界能量激励使振动不足以跨越势能屏障，振动仅在某一阱内，俘获能量较小。由图7可知，对非线性装置，当外界能量足以跨越势能屏障，其能量俘获将显著优于线性装置，当外界能量较小不足以跨越势能屏障，其能量俘获要比线性装置差。由于波浪谱峰频率较低时，波浪激励力和能量均较大，易使非线性装置产生全局运动，所以低频时非线性装置能量俘获要显著优于线性装置，而高频则相反。这同样可以解释图6中，随着稳定平衡位置的持续增加，能量俘获开始减小，且高频时显著小于线性装置的现象。稳定平衡位置较高，势能屏障较高，外界能量难以跨越产生全局运动，所以稳定平衡位置的选取也具有最优区间，太高太低都不利于能量俘获。

为研究浮子速度响应的频域特性，对线性装置和稳定平衡位置的非线性装置ze3=1.0 m，在不规则波中速度响应的时历进行了傅里叶变换。图8给出了在谱峰频率分别为ωp=0.75 rad/s和ωp=2.0 rad/s的不规则波中，线性和非线性装置傅里叶变换后得到的速度响应频谱。由图8(a)可见，ωp=0.75 rad/s时，速度响应频谱的主要响应峰值对应不规则波的谱峰频率(ωp=1.0 rad/s)。非线性装置的速度响应在低频和波浪谱峰频率附近要优于线性装置，且速度响应频谱带宽更宽。由方程(5)可知，速度响应与瞬时俘获功率成正相关，可知此时非线性装置的瞬时能量俘获要优于线性装置，且瞬时能量频谱带宽更宽。由图8(b)可见，ωp=2.0 rad/s时，速度响应频谱有多个响应峰值，线性装置速度响应整体优于非线性装置，故在不规则波谱峰频率较高时，非线性装置能量俘获不如线性装置。

(a) ωp=0.75 rad/s

(b) ωp=2.0 rad/s

考虑到实际海况波浪谱峰频率较低，通常远低于波浪能发电装置的固有频率，如中国渤海一年一遇的海浪谱峰频率为0.79 rad/s[15]，因此在实际可利用海况中，非线性装置可以俘获更多的波浪能量。

6 结 论

(1) 在不规则波谱峰频率较低时，基于非线性能量俘获机制的直驱装置比线性直驱装置可以俘获更多的平均能量，且瞬时能量俘获频谱带宽也更宽，因此更有利于实际波浪能量的俘获，但谱峰频率较高时，俘获能量较低。

(2) 基于线性机制的直驱装置平均能量俘获频谱最高点对应的频率与装置固有频率一致，而基于非线性机制的直驱装置最高点对应的频率小于装置固有频率，且随着稳定平衡位置的增大，最高点对应的频率逐渐减小。

(3) 基于非线性机制的直驱装置的稳定平衡位置对能量俘获性能有很大影响。稳定平衡位置较低时，非线性装置平均能量俘获与线性装置相似；稳定平衡位置较高时，势能障碍难以越过，平均俘获能量较低，因此稳定平衡位置的选取根据谱峰频率的不同具有一个最优区间。

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