圆中的多解问题

文 /邓革周

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性.这些特性决定了与圆相关的某些问题会有多解.请看下面的例题.

一、点与圆的位置关系不确定产生多解

例1一个点到圆上的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则圆的半径为______cm．

解：该点不在圆上，但没有确定在圆内还是在圆外，应分点在圆内和圆外两种情况讨论．

（1）当点在圆内时，如图1，

由已知得MB=4cm，MA=9cm，

∴直径AB=4cm+9cm=13cm，

∴半径r=6.5cm.

（2）当点在圆外时，如图2，

由已知得MB=4cm，MA=9cm，

∴直径AB=9cm-4cm=5cm，

∴半径r=2.5cm.

答案为：6.5cm或2.5cm．

点评：涉及点与圆的位置关系的问题，当没有指明点的位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种情况．

图1

图2

二、两平行弦与圆心的位置关系不确定产生多解

例2 已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）

A．1cm. B．7cm. C．1cm或7cm. D．无法判断.

解：两弦可能在圆心的同侧，也可能在异侧，应分情况讨论.

（1）当AB和CD在O的同侧时，如图3，

过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

图3

在Rt△OAE中，由勾股定理得

同理可得OF=3cm，

∴EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；

（2）当AB和CD在O的异侧时，如图4，同理可得OE=4cm，OF=3cm，

则EF=OE+OF=4cm+3cm=7cm.

即AB与CD的距离是1cm或7cm.

选C．

点评：当两平行弦在圆心的同侧时，它们之间的距离为两弦心距之差；当两平行弦在圆心的异侧时，它们之间的距离为两弦心距之和．

图4

三、非直径的弦所对的弧有优弧和劣弧的不确定产生多解

例3⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A，B重合的任意一点，则∠APB等于______.

连接OA，OB.

风吹过草原，吹过人心与湖泊。夕阳下，那些奔跑着的蒙古马，享受着一份壮美与辽阔。蒙古马是以主要原产地命名的世界古老马种之一。特殊的物种基因、严酷的生存环境和长期的遗传变异，造就了蒙古马耐寒、耐旱、耐力强的特殊属性。

∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，

∴∠AOB=90°，

则∠AP′B=180°-∠APB=180°-45°=135°．

∴∠APB=45°或135°．

点评：在同一圆中，一条弦（不是直径）所对优弧和劣弧上的两个圆周角的和为180°．

图5

四、直线与圆的位置关系不确定产生多解

例4如图6，⊙O的半径为7cm，直线l⊥OA，垂足为B，OB=4cm，则直线l沿直线OA平移______cm时与⊙O相切．

解：延长AO交圆O于C，根据直线与圆相切的性质可知，当直线l平移到过A点或过C点时，直线l都与圆相切，因此应分两种情况讨论.

AB=OA-OB=7-4=3，

BC=OC+OB=7+4=11.

故答案为：3或11．

点评：平移圆内的直线与圆相切，要注意切点可能是某条直径的两个端点．

图6

五、圆心在圆周角的内部还是外部不确定产生多解

解：圆心可能在圆周角∠BAC的内部，也可能在其外部，应分两种情况讨论.

（1）点O在∠BAC内部时，

如图7所示，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∴∠OEA=∠OFA=90°，

∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，

∴∠BAC=30°+45°=75°；

（2）当O在∠BAC外部时，如图8所示，

同理可得∠OAF=45°，∠OAE=30°，

则∠BAC=45°-30°=15°，

故答案为：75°或15°．

点评：根据位置关系的不确定性，分情况画出图形，是解这类问题的关键．

图7

图8